专题3因数与倍数-2025年五升六数学暑假专项提升讲义（苏教版）
文档属性
| 名称 | 专题3因数与倍数-2025年五升六数学暑假专项提升讲义（苏教版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 961.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-27 16:54:02 | ||
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文档简介
2025年五升六数学暑假专项提升
专题3 因数与倍数
（16个知识点+7个易错点+50题强化练）
【知识点回顾】
1、在axb=c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
2、一个数的倍数大于或等于这个数，一个数的因数小于或等于这个数，一个数的倍数大于或等于这个数的因数。
3、找一个数的因数的方法：①列乘法算式。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中每个整数都是该数的因数。②列除法算式。用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。
4、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。
5、找一个数的倍数的方法：列乘法算式。用这个数依次和整数(0除外)相乘，积是哪个数，哪个数就是这个数的倍数。
6、5的倍数：个位上是0或5。
7、2的倍数：个位上是2，4，6，8或0。既是5的倍数，又是2的倍数的数的个位上是0。
8、是2的倍数的数叫作偶数，每相邻两个偶数之差为2。不是2的倍数的数叫作奇数，每相邻两个奇数之差为2。
9、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
10、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数(或素数)。一个数除了1和它
本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数，
11、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
12、几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。
13、几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。
14、求两个数的最大公因数的方法。
（1）列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。
（2）筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。
15、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。
16、几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。
17、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种。
（1）列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。
（2）筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。
【易错点解析】
易错点一：在一个乘法算式中，直接说某个乘数是因数，积是倍数。
判断:算式6×7=42中，6是因数，42是倍数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】错误解答错误的原因是没有理解因数和倍数的意义和关系，因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。
【正确答案】错误
易错点二：误认为一个数的因数都比它本身小,一个数的倍数都比它本身大。
判断：一个数的因数都比它本身小,一个数的倍数都比它本身大。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】一个数的最大因数是它本身,一个数的最小倍数也是它本身。所以,一个数的因数不一定比它本身小,一个数的倍数也不一定比它本身大。
【正确答案】错误
易错点三：不了解3的倍数的特征,导致判断错误。
判断：3、6、9是3的倍数,所以个位上是3、6、9的数都是3的倍数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】错在没能正确掌握3的倍数的特征。由于在概括2和5的倍数的特征时,只注意到了个位,在概括3的倍数时,也会很自然地寻找个位上的数字的特征。但通过计算发现个位上是3、6、9的数不都是3的倍数,比如,13、16、26、29等。3的倍数的特征;一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
【正确答案】错误
易错点四：认为所有的偶数都是合数。
判断：所有的偶数都是合数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】因为2是偶数,但不是合数,所以“所有的偶数都是合数”的说法是错误的。
【正确答案】错误
易错点五：把一个数分解质因数时,质因数相乘后写在了等号的左边。
把15分解质因数。
【错误答案】3×5=15
【错解分析】错误解答错在没能正确把握什么是分解质因数,错误地写成乘法算式。把一个数用几个质因数相乘的形式表示出来才是分解质因数。
【正确答案】15=3×5
易错点六：对题意分析不清,该用乘法计算时,误用了加法计算。
把长为20厘米、宽为16厘米的长方形剪成大小完全相同的小正方形(边长都是整厘米),且面积尽可能大,纸没有剩余,至少可以剪多少个
【错误答案】
【错解分析】错误解答错在最后计算剪成的总个数时,将每行可以剪成的个数加上每列可以剪成的个数。将大长方形剪成小正方形时,因为20和16的最大公因数是4,所以每个小正方形的边长就是4厘米,20÷4=5(个)表示大长方形的长是小正方形的边长的5倍,这样就可以得出每行可以剪5个小正方形。而16÷4=4(个)表示大长方形的宽是小正方形边长的4倍,得出的是每列可以剪4个小正方形。因为每行可以剪5个正方形,可以剪4列,所以用乘法来计算,5×4=20(个)。
【正确答案】
易错点七：不会找两个数的最小公倍数,导致解答错误。
填空:一个数既是6的倍数,又是10的倍数,这个数最小是( )。
【错误答案】60
【错解分析】错误解答错在将6和10直接相乘了,没有掌握求两个数最小公倍数的方法。求6和10的最小公倍数,我们可以分两步来完成,第一步,先写出10的倍数:10,20,30,40,50,60…第二步,在10的倍数中,按次序(从小到大)来找6的倍数,第一个找到的数就是6和10的最小公倍数。因为10不是6的倍数,20也不是6的倍数,30是6的倍数,所以30是6和10的最小公倍数。
【正确答案】30
【强化真题练习】
一、填空题
1．汽车站每15分钟向杭州发一次车，每20分钟向南京发一次车。6：00同时向杭州、南京发车后，下次同时发车的时间是( )。
2．五（1）班学生数在40~50人之间，在操场上排队时，6人一列或8人一列，最后都缺1人，这个班有学生( )人。
3．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测。
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
自古农历就借用天干地支来表示年份，十天干和十二地支依次顺位相配，例如：2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年……那么下一个乙巳年是( )年。
4．花店阿姨准备用56枝玫瑰和40枝康乃馨扎成花束。要使每束花里玫瑰的枝数相同，康乃馨的枝数也相同，且所有的花正好分完没有剩余，最多可以扎( )束花束，每束花最少有( )枝花。
5．张老师领回24瓶洗手液和32袋消毒湿巾，刚好平分给五年级每个班，且没有剩余。五年级最多可能有( )个班，每个班分得洗手液( )瓶，消毒湿巾( )袋。
6．小明的QQ号码时由10位数字组成的15A13B67CD。其中A的最大因数是8，B是最小的质数，C是8和12的最大公因数，D既是奇数又是合数，小明的QQ号码是( )。
7．甲数＝2×m×5，乙数＝2×m×7，甲数和乙数的最小公倍数是140，则m＝( )，甲数和乙数的最大公因数是( )。
8．五一劳动节来临，同学们做花装扮教室，四个小组的同学做的花恰好是连续的四个自然数，四个数的积是360，做得最少的一组做了( )朵花。
9． 既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最大是( )。要使2 同时是2，3，5的倍数，这个数最小是( )。
10．写出36的所有因数：( )。这些因数中，既是奇数又是合数的是( )，既是偶数又是质数的是( )，( )既不是质数又不是合数。
11．一个数的最大因数是12，这个数是( )，它的所有因数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )，从小到大写出四个它的倍数( )。
12．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。
13．两根木材，粗木材长36dm，细木材长24dm，要把它们截成同样长的小段（每段都是整分米数）且没有剩余，至少可以截( )段。
14．a、b是两个不为0的自然数，如果a＋1＝b，那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a＝b÷3，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
15．一个三位数43□，既是2的倍数又是5的倍数，□里填( )；若既是2的倍数又是3的倍数，□里填( )。
二、选择题
16．学校运动会即将召开，为了营造气氛，要在长60米的跑道的两边插彩旗。原来跑道两边各从一端起每隔3米插一面彩旗（原来跑道一边插彩旗如下图），现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。不需要重新插的彩旗共有（ ）面。
A．6 B．8 C．12 D．16
17．古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（ ）。
A．40 B．36 C．28 D．12
18．某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，（ ）可能是这个班的人数。
A．30 B．48 C．40 D．42
19．一个音乐闹钟，每15分钟就闪烁彩光，每20分钟就发出铃声。上午8：00刚好同时闪烁彩光和发出铃声，下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在（ ）。
A．8：20 B．8：30 C．8：40 D．9：00
20．我国火车车次一般是用字母加数字表示的，开头字母T——特快列车；K——快速列车；D——动车组列车等。字母后面的数字编号和上行、下行有关。规定进京方向为上行，车次为偶数，离北京方向为下行，车次为奇数。如图是一张旧的车票，请判断它的车次可能为（ ）。
A．次 B．次 C．次 D．次
21．在“35 0”的 里填上一个数字，使这个四位数既是2和5的倍数，又有因数3，这个数字最大是（ ）。
A．9 B．8 C．7 D．5
22．有4张卡片3、5、2、8，从中任意抽取2张，下面的游戏规则公平的是（ ）。
A．和是2的倍数甲胜，否则乙胜 B．积是2的倍数甲胜，否则乙胜
C．和是5的倍数甲胜；否则乙胜 D．积是3的倍数甲胜，否则乙胜
23．105名同学参加团体操表演，如果要求每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，符合条件的队列一共有（ ）种。
A．1 B．2 C．3 D．4
24．清明节张老师带学生去烈士陵园，让小亮把37面小红旗和39枝白菊花平均分给学生，结果小红旗多出来2面，白菊花少了3枝，张老师最多带了（ ）个学生。
A．35 B．42 C．7 D．14
25．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，这两个数是（ ）。
A．4和12 B．4和24 C．8和24 D．12和24
26．下面4个数都是六位数，A是1~9中任意一个数，M是0，其中一定能同时被3和5整除的数是（ ）。
A．AAAMAM B．AMMAMM C．AMAMAM D．AMMAMA
27．8和a的最大公因数是1，这两个数的最小公倍数是（ ）。
A．8 B．1 C．a D．8a
28．如果把A分解质因数是A＝2×3×3×5，那么A的因数有（ ）个。
A．4 B．6 C．3 D．12
29．非0自然数按因数的个数可以分为（ ）。
A．奇数和偶数 B．质数和合数 C．质数、合数和1 D．偶数和奇数
30．运动会上，五（1）班所有学生都参加了入场式和团体操表演。入场时队列如图，团体操表演时变换了队形。下面四个团体操表演的队形中，（ ）不可能是五（1）班。
A． B． C． D．
三、计算题
31．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
21和39 24和48 11和13 17和34
32．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
13和91 10和11 84和63 45和25
33．求下面各数的最大公因数和最小公倍数。
15和18 16和32 45和60 30和36
四、操作题
34．把下面的图分割成几个面积最大并且相等的正方形（没有剩余），写出计算过程，并在图中画一画。
35．黑色棋子每次走3格，白色棋子每次走4格，把两种棋子都走到的格子上涂上颜色。
五、解答题
36．学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同）
37．妈妈买了28个橘子和42个苹果，让小云把这些水果装入塑料袋，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同一种水果个数相同。小云最多需要多少个塑料袋？每个塑料袋中两种水果各放多少个？
38．把45块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个小组的同学，结果水果糖刚好分完，巧克力还剩2块。这个小组最多有几名同学？每名同学分到水果糖和巧克力各几块？
39．一种长方形地砖的长是90厘米，宽是60厘米。用这种地砖铺一块正方形地面，至少需要多少块这样的地砖？
40．张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。
他们谁数得对？为什么？
41．小宇、小恒、园园和乐乐四名同学一起去看电影。电影院的座位号奇数与偶数分区排列，例如：第一排座位号全是奇数，第二排座位号全是偶数。他们四人选了同一排的四个座位相邻的电影票，这四个座位号的和是44。这四个座位分别是多少号？
42．花店买来125枝郁金香，如果每5枝包装成1束，能正好包装完吗？如果每3枝包装成1束，能正好包装完吗？如果不能，至少加几枝能正好包装完？
43．105个同学参加团体操表演。如果要求每排人数相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？
44．小星家的客厅长4.2米，宽3.6米，如果不用切割的情况下，用边长是整分米的正方形地砖将它铺满，可以选择边长是几分米的地砖？至少需要多少块？
45．张阿姨买来一箱鸡蛋，有70多个，如果把它们装进8个一盒的蛋托中，正好装完；如果装进12个一盒的蛋托中，也正好装完。你能求出张阿姨一共买了多少个鸡蛋吗？
46．学校五年级有二百多人参加六一合唱表演，无论每行排20人还是24人，都能够排成整数行且没有剩余。五年级一共有多少人参加团体操表演？
47．母亲生日这天，小红买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员50元，营业员找回13元，小红立刻指出营业员找回的钱数不对，你知道小红是怎么判断的吗？请你写出你的思考过程。
种类 康乃馨 百合花
价格 5元/枝 10元/枝
48．某小区有一条人行道，工作人员给这条人行道的一侧安装路灯（两端不安装）。开始时每隔4米安装一盏路灯，共安装了23盏，后改为每隔6米安装一盏。这样，不用移装的路灯有几盏？
49．王叔叔计划在五一假期把客厅的地板砖重新铺装一下，客厅的长是6米，宽是4米，请你帮助王叔叔挑选一款适合的地板砖，要求正好铺满，并计算出地板砖的费用。
晨光彩釉地板砖一览表
规格（cm） 单位 价格 规格（cm） 单位 价格
30×30 元/片 17 60×60 元/片 26
40×40 元/片 20 70×70 元/片 35
50×50 元/片 23 80×80 元/片 48
50．将下面5张扑克牌洗一下反扣在桌上，从中任意摸一张。
（1）可能摸到哪一张牌？每张牌被摸到的可能性一样大吗？
（2）摸到的牌上的数是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？
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试卷第1页，共3页
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《专题3 因数与倍数-2025年五升六数学暑假专项提升（苏教版）》参考答案：
1．7：00
【分析】汽车站每15分钟向杭州发一次车，每20分钟向南京发一次车，那么同时向杭州、南京发车的间隔时间就是15和20的公倍数；先求出15和20的最小公倍数，再加上第一次同时发车的时刻，得出下次同时发车的时间。
【详解】15＝3×5
20＝2×2×5
15和20的最小公倍数：2×2×3×5＝60
即每60分钟向杭州、南京同时发一次车。
6时＋60分钟＝7时
所以，下次同时发车的时间是7：00。
2．47
【分析】6人一列或8人一列，最后都缺1人，说明总人数比6和8的公倍数少1，求出6和8的最小公倍数，最小公倍数分别乘1、2、3……，找到40~50之间的公倍数，减去1即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】6＝2×3、8＝2×2×2
2×2×2×3＝24
24×2＝48
40＜48＜50
48－1＝47（人）
这个班有学生47人。
3．2085
【分析】由题意可知，下一个乙巳年与上一个乙巳年相差的年数就是10和12的最小公倍数，可用短除法计算，于用10和12的最小公倍数加2025即可得解。
【详解】
10和12的最小公倍数是
（年）
2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年……那么下一个乙巳年是2085年。
4． 8 12
【分析】根据题意，所有的花正好分完没有剩余，就是扎的花束的数量能同时被56和40整除，即就是找出56和40的公因数，即最大的就是最多的花束数量。花束数量最大时，每束花的总枝数最少，则分别用56和40除以花束数量即可求出玫瑰花和康乃馨在每束花中的数量，相加即可。
【详解】56的因数：1、2、4、7、8、14、28、56；
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
56和40的公因数是1、2、4、8，最大公因数是8。
56÷8＝7（枝）
40÷8＝5（枝）
7＋5＝12（枝）
则最多可以扎8束花束，每束花最少有12枝花。
5． 8 3 4
【分析】由题意可知，五年级最多可能有的班数是24和32的最大公因数，可用短除法先求出最大公因数，再根据平均分用除法计算，用24和32分别除以这个最大公因数即可得解。
【详解】
（班）
（瓶）
（袋）
张老师领回24瓶洗手液和32袋消毒湿巾，刚好平分给五年级每个班，且没有剩余。五年级最多可能有8个班，每个班分得洗手液3瓶，消毒湿巾4袋。
6．1581326749
【分析】一个数的最大因数是它本身；整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此确定ABCD表示的数字，写出小明的QQ号码即可。
【详解】A的最大因数是8，则A是8；最小的质数是2，则B是2；8＝2×2×2、12＝2×2×3，2×2＝4，8和12的最大公因数是4，则C是4；9既是奇数又是合数，则D是9。
小明的QQ号码是1581326749。
7． 2 4
【分析】求两个数的最大公因数，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；据此解答即可。
【详解】甲数＝2×m×5
乙数＝2×m×7
甲数和乙数的最小公倍数是：m×2×5×7＝140
m＝140÷7÷2÷5
m＝2
甲数和乙数的最大公因数是：2×2＝4
所以甲数＝2×m×5，乙数＝2×m×7，甲数和乙数的最小公倍数是140，则m＝2，甲数和乙数的最大公因数是4。
8．3
【分析】由于四个数的积是360，我们可以先将360分解质因数得360＝2×2×2×3×3×5，再重新将这些质因数进行组合，组合成4个连续的自然数即可，在组合的过程中，优先确定最大的数，360的质因数中最大的是5，如果5再和其他质因数结合，剩下的数字不足以凑出与其接近的剩余3个数，因此，5要单独存在，即这连续的4个数在5的左右寻找即可。
【详解】360＝2×2×2×3×3×5
＝3×4×5×6
所以做的最少得一组做了3朵花。
9． 90 210
【分析】 既是3的倍数，又是5的倍数，那么这个数的个位是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数；要求这个数最大是多少，则这个数的十位是9，再结合3的倍数的特征判断个位上的数字即可；要使2 同时是2，3，5的倍数，那么这个数的个位是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数；要求这个数最小是多少，再根据原有的数字判断十位上的数字即可。
【详解】9＋0＝9，9是3的倍数，则这个两位数是90，符合个位是0或5；
9＋3＝12，12是3的倍数，则这个两位数是93，不符合个位是0或5；
9＋6＝15，15是3的倍数，则这个两位数是96，不符合个位是0或5；
9＋9＝18，18是3的倍数，则这个两位数是99，不符合个位是0或5。
因此这个数最大是90。
2＋0＋1＝3，3是3的倍数，因此这个数最小是210。
因此 既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最大是90；要使2 同时是2，3，5的倍数，这个数最小是210。
10． 1，2，3，4，6，9，12，18，36 9 2 1
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】36的所有因数：（1，2，3，4，6，9，12，18，36）。这些因数中，既是奇数又是合数的是（9），既是偶数又是质数的是（2），（1）既不是质数又不是合数。
11． 12 1、2、3、4、6、12 18 18、36、54、72
【分析】在一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此分别确定这两个数。
列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。
【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4
18×1＝18、18×2＝36、18×3＝54、18×4＝72…
一个数的最大因数是12，这个数是12，它的所有因数是1、2、3、4、6、12；一个数的最小倍数是18，这个数是18，从小到大写出四个它的倍数18、36、54、72。
12． 3 24
【分析】把72本练均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。
【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9
3×24＝72（本）
每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。
13．5
【分析】要将36dm和24dm长的木材结成相同的长度且没有剩余，则截成小段的长度都能整除36和24，即36和24的公因数；求公因数可用分解因数法得到因数，至少截的段数，即求出最大公因数，可得出答案。
【详解】36＝2×2×3×3，24＝2×2×2×3，则最大公因数为：2×2×3＝12，即截成的长度最大是12dm，则至少可以截：
（36＋24）÷12
＝60÷12
＝5（段）
因此，至少可以截5段。
14． 1 ab a b
【分析】如果a＋1＝b，说明a和b是相邻的两个自然数，它们是互质数；根据“两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积”进行解答。
如果a＝b÷3，说明a和b是倍数关系，且a＜b，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。
【详解】a、b是两个不为0的自然数，如果a＋1＝b，那么a与b的最大公因数是（1），最小公倍数是（ab）；如果a＝b÷3，那么它们的最大公因数是（a），最小公倍数是（b）。
15． 0 2或者8
【分析】2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8；5的倍数的特征是个位上是0或5；
2的倍数个位上是0、2、4、6、8，所以□可能是0、2、4、6、8 ；3的倍数特征是这个数各个数位上的数字之和是3的倍数。
【详解】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上只能是0，所以这个三位数43□，□里填0；
4＋3＝7，当□＝0时，4＋3＋0＝7，7不是3的倍数；当□＝2时，4＋3＋2＝9，9是3的倍数；当□＝4时，4＋3＋4＝11，11不是3的倍数；当□＝6时，4＋3＋6＝13，13不是3的倍数；当□＝8时，4＋3＋8＝15，15是3的倍数，所以这个三位数43□，□里填2或8。
16．A
【分析】在长60米的跑道上插彩旗，原来从一端起每隔3米插一面彩旗，共60÷3＋1＝21面，改成每隔4米插一面，共有60÷4＋1＝16面，要求彩旗不需要重新插上的位置，只要求出在60里的4和3的公倍数即可解答，即3米和4米公倍数的米数是不动的，据此解答。
【详解】3和4的最小公倍数是3×4＝12。
60÷12＋1
＝5＋1
＝6（面）
学校运动会即将召开，为了营造气氛，要在长60米的跑道的两边插彩旗。原来跑道两边各从一端起每隔3米插一面彩旗（原来跑道一边插彩旗如下图），现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。不需要重新插的彩旗共有6面。
故答案为：A
17．C
【分析】根据“完全数”的意义：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。结合因数的意义逐项分析解答。
【详解】A．40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，除40本身外，还有1、2、4、5、8、10、20七个因数，1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＝50，所以40不是“完全数”；
B．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除36外，其余的因数的和为：1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝58，所以36不是“完全数”；
C．28的因数有1、2、4、7、14、28，除28外，其余因数的和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是“完全数”；
D．12的因数有1、2、3、4、6、12，除12外，其余的因数和为：1＋2＋3＋4＋6＝16，所以12不是“完全数”。
所以是“完全数”的是28。
故答案为：C
18．D
【分析】根据题意，不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，说明这个班的人数是6和7的公倍数，先求出6和7的最小公倍数，再找出这个最小公倍数的倍数，然后看三个选项中的数是否是这个最小公倍数的倍数，进而得解。
【详解】6和7的最小公倍数是：
某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，42可能是这个班的人数。
故答案为：D
19．D
【分析】同时闪烁彩光和发出铃声的间隔时间是闪烁彩光间隔时间和发出铃声间隔时间的最小公倍数，求出两个间隔时间的最小公倍数，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同时闪烁彩光和发出铃声的时刻即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】15＝3×5
20＝2×2×5
2×2×3×5＝60（分钟）
8：00＋60分钟＝9：00
下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在9：00。
故答案为：D
20．D
【分析】我国火车车次一般是用字母加数字表示的，开头字母T——特快列车；K——快速列车；D——动车组列车等。字母后面的数字编号和上行、下行有关。规定进京方向为上行，车次为偶数，离北京方向为下行，车次为奇数。根据车票上的文字可知，这是一张特快列车，所以字母应该是T，方向是进京，应该是偶数。据此解答。
【详解】A．K——快速列车，次不符合题意；
B．次列车，车次为奇数，说明是离北京方向为下行，不符合题意；
C．D——动车组列车，次不符合题意；
D．T110次列车，车次为偶数，符合题意；
故答案为：D
21．C
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】“35 0”的个位上是0，则这个数是2和5的倍数；
3＋5＋0＝8，8不是3的倍数；
8＋1＝9，9是3的倍数；
8＋4＝12，12是3的倍数；
8＋7＝15，15是3的倍数；
7＞4＞1
所以，在“35 0”的 里填上一个数字，使这个四位数既是2和5的倍数，又有因数3，这个数字最大是7。
故答案为：C
22．D
【分析】任意抽取2张，可能是3和5、3和2、3和8、5和2、5和8、2和8。分别按照每个选项的规则计算出甲、乙获胜的可能性，看哪种规则下双方获胜的可能性相同，游戏规则就公平，据此解答。
【详解】从4张中任意抽取2张共6种组合情况：
3和5，3＋5＝8，3×5＝15；2和8，2＋8＝10，2×8＝16；
3和2，3＋2＝5，3×2＝6；5和8，5＋8＝13，5×8＝40；
3和8，3＋8＝11，3×8＝24；2和5，2＋5＝7，2×5＝10。
A．和是2的倍数的情况共有3和5、2和8两种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
B．积是2的倍数的情况共有3和2、2和8、5和8、3和8、2和5五种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
C．和是5的倍数的情况共有3和2、2和8两种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
D．积是3的倍数的情况共有3和2、3和8、3和5三种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性相同，游戏规则公平。
故答案为：D
23．B
【分析】根据题意可知，每排人数×排数＝总人数，要求每排人数必须相等，说明每排人数是105的因数；先列举出105的所有因数，再从中找出每排不少于10人，不多于30人的因数，即是符合条件的队列。
【详解】105的因数：1，3，5，7，15，21，35，105；
在10～30之间的因数是：15，21；
符合条件的队列是：
①每排15人，共7排；
②每排21人，共5排；
符合条件的队列一共有2种。
故答案为：B
24．C
【分析】首先计算实际可用于平均分的小红旗和白菊花数量，已知有37面小红旗，分完后多出来2面，那么实际用于平均分的小红旗数量是37－2＝35面，有39枝白菊花，分的时候少了3枝，那么实际需要的白菊花数量是39＋3＝42枝；然后，求学生最多的人数，也就是求35和42的最大公因数。据此解答即可。
【详解】37－2＝35（面）
39＋3＝42（面）
35＝5×7
42＝2×3×7
所以35和42的最大公因数是7，即张老师最多带了7个学生。
故答案为：C
25．B
【分析】可用短除法分别求出各选项的最大公因数和最小公倍数，即可得解。
【详解】A．
4和12的最大公因数是
4和12的最小公倍数是
不符合题意。
B．
4和24的最大公因数是
4和24的最小公倍数是
符合题意。
C．
8和24的最大公因数是
8和24的最小公倍数是
不符合题意。
D．
12和24的最大公因数是
12和24的最小公倍数是
不符合题意。
故答案为：B
26．C
【分析】能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数能被5整除。因为M＝0，所以只需看个位是M的数，选项D不符合要求，选项A、B、C都满足能被5整除这一条件；能被3整除的数的特征：一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，所以需要计算各位上的数字之和。逐项分析解答。
【详解】A．AAAMAM的个位上是0，一定能被5整除，A＋A＋A＋A＋M＋M＝4A＋2M＝4A＋2×0＝4A＋0＝4A，4A不一定是3的倍数，所以这个数不一定能同时被3和5整除；
B．AMMAMM个位上是0，一定能被5整除；A＋M＋M＋A＋M＋M＝2A＋4M＝2A＋4×0＝2A＋0＝2A，2A不一定是3的倍数，所以这个数不一定能同时被3和5整除；
C．AMAMAM个位上是0，一定能被5整除；A＋M＋A＋M＋A＋M＝3A＋3M＝3A＋3×0＝3A＋0＝3A，3A÷3＝A，所以这个数一定能同时被3和5整除；
D．AMMAMA的个位上是A，A是1~9中任意一个数，不一定是5，所以这个数不一定能同时被3和5整除。
故答案为：C
27．D
【分析】如果两个数只有公因数1，则它们是互质关系；存在互质关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
【详解】因为8和a的最大公因数是1，所以它们是互质关系，则它们的最小公倍数是8×a＝8a；
8和a的最大公因数是1，这两个数的最小公倍数是8a。
故答案为：D
28．D
【分析】因数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，如：4×9＝36，4和9是36的因数，分析题目，先用乘法求出A的值，再找出这个数的因数即可。
【详解】2×3×3×5＝90
90＝1×90＝2×45＝3×30＝5×18＝6×15＝9×10
90的因数有：1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90；有12个。
故答案为：D
29．C
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数，所以非0自然数按因数的个数可以分为三类；自然数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数，所以自然数按照是不是2的倍数可以分为两类，据此解答。
【详解】A．自然数按照是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类，其中0也是偶数，并不是按因数的个数分类，不符合题意；
B．非0自然数按因数的个数可以分为1（只有一个因数）、质数（两个因数）、合数（三个或三个以上因数）三类，选项中缺少1，不符合题意；
C．非0自然数按因数的个数可以分为1（只有一个因数）、质数（两个因数）、合数（三个或三个以上因数）三类，符合题意；
D．自然数按照是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类，其中0也是偶数，并不是按因数的个数分类，不符合题意。
故答案为：C
30．D
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据入场时队列刚好站两行，可知五（1）班学生人数是偶数。分析计算各选项队形中的人数，是奇数的则不可能是五（1）班。
【详解】A．（人），30是偶数，不符合题意。
B．
（人）
32是偶数，不符合题意。
C．
（人）
28是偶数，不符合题意。
D．
（人）
31是奇数，符合题意。
故答案为：D
31．21和39的最大公因数是3；最小公倍数是273；
24和48的最大公因数是24，最小公倍数是48；
11和13的最大公因数是1，最小公倍数是143；
17和34的最大公因数是17，最小公倍数是34
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。
当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；
当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
【详解】（1）21＝3×7
39＝3×13
21和39的最大公因数是3；
21和39的最小公倍数是3×7×13＝273。
（2）24和48是倍数关系；
24和48的最大公因数是24，最小公倍数是48。
（3）11和13是互质数；
11和13的最大公因数是1，最小公倍数是11×13＝143。
（4）17和34是倍数关系；
17和34的最大公因数是17，最小公倍数是34。
32．13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91；
10和11的最大公因数是1，最小公倍数是110；
84和63的最大公因数是21，最小公倍数是252；
45和25的最大公因数是5，最小公倍数是225
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。
当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；
当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
【详解】（1）13和91是倍数关系，所以13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91；
（2）10和11是互质数，所以10和11的最大公因数是1，最小公倍数是10×11＝110；
（3）84＝2×2×3×7
63＝3×3×7
84和63的最大公因数是3×7＝21，最小公倍数是2×2×3×3×7＝252；
（4）45＝3×3×5
25＝5×5
45和25的最大公因数是5，最小公倍数是3×3×5×5＝225。
33．
3；90；16；32；15；180；6；180
【分析】可用短除法去计算，把所有的除数相乘可得最大公因数，把所有的除数和最后的两个商相乘可得最小公倍数，据此解答。
【详解】
15和18的最大公因数是3
15和18的最小公倍数是
16和32的最大公因数是
16和32的最小公倍数是
45和60的最大公因数是
45和60的最小公倍数是
30和36的最大公因数是
30和36的最小公倍数是
34．见详解
【分析】分别数出整个长方形的长和宽，求出长和宽的最大公因数就是分割成的最大正方形的边长，全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此确定正方形的边长，作图即可。
【详解】长方形的长16cm，宽12cm。
16＝2×2×2×2
12＝2×2×3
2×2＝4（cm）
正方形边长最长是4cm，作图如下：
35．见详解
【分析】由题意可知，黑色棋子每次走3格，白色棋子每次走4格，两种棋子都走到的格子上涂上颜色，涂色的数字必须是3和4的公倍数，先找到3和4的最小公倍数，再进一步解答即可。
【详解】3和4的最小公倍数是12，则两种棋子都走到的格子必须是12的倍数（不超过36）
12×1＝12
12×2＝24
12×3＝36
作图如下：
36．乐乐数对了
【分析】因为行数和每行玫瑰花的棵树都是质数，可以分别把68、70、77和72这四个数分解质因数，判断哪个数可以分解成两个质数相乘的形式，那么这个数就是玫瑰花正确的总棵树。
【详解】68＝2×2×17
70＝2×5×7
77＝7×11
72＝2×2×2×3×3
这四个数中，只有77可以分解成两个质数相乘的形式，因此玫瑰花总棵树是77棵。
答：乐乐数对了。
37．14个；橘子2个，苹果3个
【分析】求最多需要多少个塑料袋，就是求28和42的最大公因数，先将28和42分解质因数，这两个数公有质因数的乘积就是它们的最大公因数。最后用这两个数分别除以最大公因数即可求出每个塑料袋中两种水果各有的个数。
【详解】28＝2×2×7
42＝2×3×7
28和42的最大公因数是：2×7＝14
28÷14＝2（个）
42÷14＝3（个）
答：小云最多需要14个塑料袋，每个塑料袋中橘子有2个，苹果3个。
38．9名；5块；4块
【分析】把45块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个小组的同学，结果水果糖刚好分完，巧克力剩2块；则45、38减去2后就都能平均分给这个小组的学生，要求这个组最多有几位同学，只要求出这45和36的最大公因数即可；然后根据水果糖和巧克力的块数和学生数即可求出每个同学分到水果糖和巧克力的块数，据此解答。
【详解】38－2＝36（块）
45＝3×3×5
36＝2×2×3×3
所以45和36的最大公因数是3×3＝9。
即这个小组最多有9名同学。
45÷9＝5（块）
36÷9＝4（块）
答：这个小组最多有9名同学，每名同学分到水果糖5块，巧克力4块。
39．6块
【分析】要用长90厘米、宽60厘米的长方形地砖铺成正方形地面，正方形地面的边长应是90和60的公倍数，要求至少需要多少块地砖，就是求90和60的最小公倍数作为正方形地面的边长，用分解质因数法求出90和60的最小公倍数；在正方形地面的长的方向，所需地砖数量为180÷90＝2（块） ，在正方形地面的宽的方向，所需地砖数量为180÷60＝3（块）；总共所需地砖数量为长方向所需地砖数乘宽方向所需地砖数，即2×3＝6（块）。
【详解】90＝2×3×3×5
60＝2×2×3×5
60和90的最小公倍数是：
2×2×3×3×5
＝4×3×3×5
＝12×3×5
＝36×5
＝180
180÷90＝2（块）
180÷60＝3（块）
2×3＝6（块）
答：至少需要6块这样的地砖。
40．笑笑；理由见详解
【分析】先根据质数和合数的意义，分析43、47、48是质数还是合数，质数不可能有几行，且每行的棵数相同；合数才可能有几行，且每行的棵数相同。据此解答。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】43的因数：1，43；
48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；
47的因数：1，47；
43、47是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；
48是合数，有可能种了2行，每行24棵；或种了3行，每行16棵；或种了4行，每棵12棵；或种了6行，每行8棵；或种了8行，每行6棵；或种了12行，每行4棵；或种了16行，每行3棵；或种了24行，每行2棵。
答：笑笑数对了。43、47都是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；48是合数，才可能有几行，且每行的棵数相同。
41．8号、10号、12号、14号
【分析】相邻的奇数相差2，相邻的偶数也相差2，四个座位号的和÷4，结果是奇数，就是中间两个偶数之间的奇数，中间两个偶数之间的奇数分别加1和减1是中间两个偶数，中间两个偶数分别加2和减2，是最大和最小两个偶数，据此分析。
【详解】44÷4＝11
11＋1＝12
11－1＝10
12＋2＝14
10－2＝8
这四个座位分别是8号、10号、12号、14号。
42．见详解
【分析】根据5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】125是5的倍数，所以如果每5枝包装成一束，能正好包装完；
1＋2＋7＝8
8不是3的倍数
最接近8的3的倍数是9
9－8＝1
答：如果每5枝包装成一束，能正好包装完，如果每3枝包装成一束，至少再加1枝能正好包装完。
43．2种
【分析】分析题目，先根据乘法的方法找出105的所有因数，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即105的一个因数应大于或等于10人且小于或等于30，据此解答。
【详解】105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15
10＜15＜21＜30
答：符合要求的队列有2种，①每排15人，排成7排；②每排21人，排成5排。
44．1分米、2分米、3分米、6分米；42块
【分析】先根据进率“1米＝10分米”把4.2米换算成42分米，3.6米换算成36分米。
如果不用切割的情况下，用边长是整分米的正方形地砖将它铺满，则地砖的边长是长、宽的公因数；先列举出42和36的所有因数，相同的因数即是它们的公因数，也就是可以选择地砖的边长。
求至少需要正方形地砖的块数，那么地砖的边长要最大，从42和36的公因数中找出最大公因数，也就是地砖的最大边长；然后再看长、宽分别有几个这样的最大公因数，最后相乘，求出至少需要地砖的块数。
【详解】4.2米＝42分米
3.6米＝36分米
42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42；
36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；
42和36的公因数：1，2，3，6；
42和36的最大公因数：6；
即可以选择地砖的边长是1分米、2分米、3分米、6分米，最大的边长是6分米。
42÷6＝7（块）
36÷6＝6（块）
一共：7×6＝42（块）
答：可以选择边长是1分米、2分米、3分米、6分米的地砖，至少需要42块。
45．72个
【分析】由题意可知，张阿姨购买鸡蛋的数量同时是8和12的倍数，先求出8和12的最小公倍数，再按顺序求出最小公倍数的倍数并且这个数是70多，据此解答。
【详解】
8和12的最小公倍数为：2×2×2×3＝24
24×1＝24，不符合题意；
24×2＝48，不符合题意；
24×3＝72，符合题意；
24×4＝96，不符合题意。
所以，张阿姨一共买了72个鸡蛋。
答：张阿姨一共买了72个鸡蛋。
46．240人
【分析】无论每行排20人还是24人，都能够排成整数行且没有剩余，就是求出20和24的最小公倍数，然后找出最小公倍数在200到300之间的倍数，就是五年级的人数。
【详解】
2×2×5×6＝120
120×2＝240（人）
答：五年级一共有240人参加团体操表演。
47．见详解
【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；据此分析解答。
【详解】因为一枝康乃馨的价钱是5的倍数，一枝百合花的价钱也是5的倍数，所以无论怎么购买，买花的总钱数一定是5的倍数，50是5的倍数，找回的钱数也必定是5的倍数，而13不是5的倍数。
48．7盏
【分析】因为两端都不安装路灯，根据“间隔数＝灯的数量＋1”，已知开始安装了23盏路灯，所以间隔数是23＋1＝24个；又因为每个间隔是4米，根据“距离＝间隔数×间隔长度”，可得人行道长度为24×4＝96米；分别对4和6分解质因数计算出4和6的最小公倍数是12，这意味着每隔12米处的路灯不用移栽；最后用总长度除以最小公倍数可得间隔数，由于两端都不安装路灯，根据“灯的数量＝间隔数－1”计算出不用移栽的路灯数量。
【详解】4×（23＋1）
＝4×24
＝96（米）
4＝2×2
6＝2×3
所以4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12
96÷12－1
＝8－1
＝7（盏）
答：不用移装的路灯有7盏。
49．50×50的地砖；2208元
【分析】从题意可知：所有的地板砖都是正方形。要求正好铺满，那么正方形的边长就是客厅的长（6米＝600厘米）和宽（4米＝400厘米）的公因数。据此选出所有边长是长和宽的公因数的地板砖。再用客厅面积除以地板砖面积，求出所需块数。用每块的价格乘地板砖块数即可求出总费用，比较总费用即可。
【详解】6米＝600厘米
4米＝400厘米
600＝40×15＝50×12
400＝40×10＝50×8
地砖规格是600和400的公因数的有40×40、50×50
所需块数：
600×400÷（40×40）
＝600×400÷1600
＝150（块）
所需钱数：20×150＝3000（元）
600×400÷（50×50）
＝600×400÷2500
＝96（块）
所需钱数：96×23＝2208（元）
3000＞2208
答：可以选择50×50的地砖，需要2208元。
50．（1）可能摸到6、7、8、9、10，一样大；
（2）偶数
【分析】（1）从5张牌中摸出1张，每张牌都可能摸到，并且摸到每张牌的可能性是一样大的，据此解答；
（2）奇数：不能被2整除的数，偶数：能被2整除的数，据此分别找出奇数和偶数，哪种类型的牌多摸到哪种类型的牌的可能性就大。
【详解】（1）答：每张牌都可能摸到，可能摸到6、7、8、9、10，每张牌被摸到的可能性一样大。
（2）奇数有：7，9共2张；偶数有：6，8，10，共3张；
2＜3，摸到偶数的可能性大。
答：摸到偶数的可能性大。
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专题3 因数与倍数
（16个知识点+7个易错点+50题强化练）
【知识点回顾】
1、在axb=c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
2、一个数的倍数大于或等于这个数，一个数的因数小于或等于这个数，一个数的倍数大于或等于这个数的因数。
3、找一个数的因数的方法：①列乘法算式。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中每个整数都是该数的因数。②列除法算式。用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。
4、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。
5、找一个数的倍数的方法：列乘法算式。用这个数依次和整数(0除外)相乘，积是哪个数，哪个数就是这个数的倍数。
6、5的倍数：个位上是0或5。
7、2的倍数：个位上是2，4，6，8或0。既是5的倍数，又是2的倍数的数的个位上是0。
8、是2的倍数的数叫作偶数，每相邻两个偶数之差为2。不是2的倍数的数叫作奇数，每相邻两个奇数之差为2。
9、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
10、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数(或素数)。一个数除了1和它
本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数，
11、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
12、几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。
13、几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。
14、求两个数的最大公因数的方法。
（1）列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。
（2）筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。
15、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。
16、几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。
17、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种。
（1）列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。
（2）筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。
【易错点解析】
易错点一：在一个乘法算式中，直接说某个乘数是因数，积是倍数。
判断:算式6×7=42中，6是因数，42是倍数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】错误解答错误的原因是没有理解因数和倍数的意义和关系，因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。
【正确答案】错误
易错点二：误认为一个数的因数都比它本身小,一个数的倍数都比它本身大。
判断：一个数的因数都比它本身小,一个数的倍数都比它本身大。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】一个数的最大因数是它本身,一个数的最小倍数也是它本身。所以,一个数的因数不一定比它本身小,一个数的倍数也不一定比它本身大。
【正确答案】错误
易错点三：不了解3的倍数的特征,导致判断错误。
判断：3、6、9是3的倍数,所以个位上是3、6、9的数都是3的倍数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】错在没能正确掌握3的倍数的特征。由于在概括2和5的倍数的特征时,只注意到了个位,在概括3的倍数时,也会很自然地寻找个位上的数字的特征。但通过计算发现个位上是3、6、9的数不都是3的倍数,比如,13、16、26、29等。3的倍数的特征;一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
【正确答案】错误
易错点四：认为所有的偶数都是合数。
判断：所有的偶数都是合数。（ ）
【错误答案】正确
【错解分析】因为2是偶数,但不是合数,所以“所有的偶数都是合数”的说法是错误的。
【正确答案】错误
易错点五：把一个数分解质因数时,质因数相乘后写在了等号的左边。
把15分解质因数。
【错误答案】3×5=15
【错解分析】错误解答错在没能正确把握什么是分解质因数,错误地写成乘法算式。把一个数用几个质因数相乘的形式表示出来才是分解质因数。
【正确答案】15=3×5
易错点六：对题意分析不清,该用乘法计算时,误用了加法计算。
把长为20厘米、宽为16厘米的长方形剪成大小完全相同的小正方形(边长都是整厘米),且面积尽可能大,纸没有剩余,至少可以剪多少个
【错误答案】
【错解分析】错误解答错在最后计算剪成的总个数时,将每行可以剪成的个数加上每列可以剪成的个数。将大长方形剪成小正方形时,因为20和16的最大公因数是4,所以每个小正方形的边长就是4厘米,20÷4=5(个)表示大长方形的长是小正方形的边长的5倍,这样就可以得出每行可以剪5个小正方形。而16÷4=4(个)表示大长方形的宽是小正方形边长的4倍,得出的是每列可以剪4个小正方形。因为每行可以剪5个正方形,可以剪4列,所以用乘法来计算,5×4=20(个)。
【正确答案】
易错点七：不会找两个数的最小公倍数,导致解答错误。
填空:一个数既是6的倍数,又是10的倍数,这个数最小是( )。
【错误答案】60
【错解分析】错误解答错在将6和10直接相乘了,没有掌握求两个数最小公倍数的方法。求6和10的最小公倍数,我们可以分两步来完成,第一步,先写出10的倍数:10,20,30,40,50,60…第二步,在10的倍数中,按次序(从小到大)来找6的倍数,第一个找到的数就是6和10的最小公倍数。因为10不是6的倍数,20也不是6的倍数,30是6的倍数,所以30是6和10的最小公倍数。
【正确答案】30
【强化真题练习】
一、填空题
1．汽车站每15分钟向杭州发一次车，每20分钟向南京发一次车。6：00同时向杭州、南京发车后，下次同时发车的时间是( )。
2．五（1）班学生数在40~50人之间，在操场上排队时，6人一列或8人一列，最后都缺1人，这个班有学生( )人。
3．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测。
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
自古农历就借用天干地支来表示年份，十天干和十二地支依次顺位相配，例如：2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年……那么下一个乙巳年是( )年。
4．花店阿姨准备用56枝玫瑰和40枝康乃馨扎成花束。要使每束花里玫瑰的枝数相同，康乃馨的枝数也相同，且所有的花正好分完没有剩余，最多可以扎( )束花束，每束花最少有( )枝花。
5．张老师领回24瓶洗手液和32袋消毒湿巾，刚好平分给五年级每个班，且没有剩余。五年级最多可能有( )个班，每个班分得洗手液( )瓶，消毒湿巾( )袋。
6．小明的QQ号码时由10位数字组成的15A13B67CD。其中A的最大因数是8，B是最小的质数，C是8和12的最大公因数，D既是奇数又是合数，小明的QQ号码是( )。
7．甲数＝2×m×5，乙数＝2×m×7，甲数和乙数的最小公倍数是140，则m＝( )，甲数和乙数的最大公因数是( )。
8．五一劳动节来临，同学们做花装扮教室，四个小组的同学做的花恰好是连续的四个自然数，四个数的积是360，做得最少的一组做了( )朵花。
9． 既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最大是( )。要使2 同时是2，3，5的倍数，这个数最小是( )。
10．写出36的所有因数：( )。这些因数中，既是奇数又是合数的是( )，既是偶数又是质数的是( )，( )既不是质数又不是合数。
11．一个数的最大因数是12，这个数是( )，它的所有因数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )，从小到大写出四个它的倍数( )。
12．五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。
13．两根木材，粗木材长36dm，细木材长24dm，要把它们截成同样长的小段（每段都是整分米数）且没有剩余，至少可以截( )段。
14．a、b是两个不为0的自然数，如果a＋1＝b，那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a＝b÷3，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
15．一个三位数43□，既是2的倍数又是5的倍数，□里填( )；若既是2的倍数又是3的倍数，□里填( )。
二、选择题
16．学校运动会即将召开，为了营造气氛，要在长60米的跑道的两边插彩旗。原来跑道两边各从一端起每隔3米插一面彩旗（原来跑道一边插彩旗如下图），现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。不需要重新插的彩旗共有（ ）面。
A．6 B．8 C．12 D．16
17．古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，6＝1＋2＋3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（ ）。
A．40 B．36 C．28 D．12
18．某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，（ ）可能是这个班的人数。
A．30 B．48 C．40 D．42
19．一个音乐闹钟，每15分钟就闪烁彩光，每20分钟就发出铃声。上午8：00刚好同时闪烁彩光和发出铃声，下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在（ ）。
A．8：20 B．8：30 C．8：40 D．9：00
20．我国火车车次一般是用字母加数字表示的，开头字母T——特快列车；K——快速列车；D——动车组列车等。字母后面的数字编号和上行、下行有关。规定进京方向为上行，车次为偶数，离北京方向为下行，车次为奇数。如图是一张旧的车票，请判断它的车次可能为（ ）。
A．次 B．次 C．次 D．次
21．在“35 0”的 里填上一个数字，使这个四位数既是2和5的倍数，又有因数3，这个数字最大是（ ）。
A．9 B．8 C．7 D．5
22．有4张卡片3、5、2、8，从中任意抽取2张，下面的游戏规则公平的是（ ）。
A．和是2的倍数甲胜，否则乙胜 B．积是2的倍数甲胜，否则乙胜
C．和是5的倍数甲胜；否则乙胜 D．积是3的倍数甲胜，否则乙胜
23．105名同学参加团体操表演，如果要求每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，符合条件的队列一共有（ ）种。
A．1 B．2 C．3 D．4
24．清明节张老师带学生去烈士陵园，让小亮把37面小红旗和39枝白菊花平均分给学生，结果小红旗多出来2面，白菊花少了3枝，张老师最多带了（ ）个学生。
A．35 B．42 C．7 D．14
25．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，这两个数是（ ）。
A．4和12 B．4和24 C．8和24 D．12和24
26．下面4个数都是六位数，A是1~9中任意一个数，M是0，其中一定能同时被3和5整除的数是（ ）。
A．AAAMAM B．AMMAMM C．AMAMAM D．AMMAMA
27．8和a的最大公因数是1，这两个数的最小公倍数是（ ）。
A．8 B．1 C．a D．8a
28．如果把A分解质因数是A＝2×3×3×5，那么A的因数有（ ）个。
A．4 B．6 C．3 D．12
29．非0自然数按因数的个数可以分为（ ）。
A．奇数和偶数 B．质数和合数 C．质数、合数和1 D．偶数和奇数
30．运动会上，五（1）班所有学生都参加了入场式和团体操表演。入场时队列如图，团体操表演时变换了队形。下面四个团体操表演的队形中，（ ）不可能是五（1）班。
A． B． C． D．
三、计算题
31．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
21和39 24和48 11和13 17和34
32．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
13和91 10和11 84和63 45和25
33．求下面各数的最大公因数和最小公倍数。
15和18 16和32 45和60 30和36
四、操作题
34．把下面的图分割成几个面积最大并且相等的正方形（没有剩余），写出计算过程，并在图中画一画。
35．黑色棋子每次走3格，白色棋子每次走4格，把两种棋子都走到的格子上涂上颜色。
五、解答题
36．学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同）
37．妈妈买了28个橘子和42个苹果，让小云把这些水果装入塑料袋，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同一种水果个数相同。小云最多需要多少个塑料袋？每个塑料袋中两种水果各放多少个？
38．把45块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个小组的同学，结果水果糖刚好分完，巧克力还剩2块。这个小组最多有几名同学？每名同学分到水果糖和巧克力各几块？
39．一种长方形地砖的长是90厘米，宽是60厘米。用这种地砖铺一块正方形地面，至少需要多少块这样的地砖？
40．张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。
他们谁数得对？为什么？
41．小宇、小恒、园园和乐乐四名同学一起去看电影。电影院的座位号奇数与偶数分区排列，例如：第一排座位号全是奇数，第二排座位号全是偶数。他们四人选了同一排的四个座位相邻的电影票，这四个座位号的和是44。这四个座位分别是多少号？
42．花店买来125枝郁金香，如果每5枝包装成1束，能正好包装完吗？如果每3枝包装成1束，能正好包装完吗？如果不能，至少加几枝能正好包装完？
43．105个同学参加团体操表演。如果要求每排人数相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？
44．小星家的客厅长4.2米，宽3.6米，如果不用切割的情况下，用边长是整分米的正方形地砖将它铺满，可以选择边长是几分米的地砖？至少需要多少块？
45．张阿姨买来一箱鸡蛋，有70多个，如果把它们装进8个一盒的蛋托中，正好装完；如果装进12个一盒的蛋托中，也正好装完。你能求出张阿姨一共买了多少个鸡蛋吗？
46．学校五年级有二百多人参加六一合唱表演，无论每行排20人还是24人，都能够排成整数行且没有剩余。五年级一共有多少人参加团体操表演？
47．母亲生日这天，小红买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员50元，营业员找回13元，小红立刻指出营业员找回的钱数不对，你知道小红是怎么判断的吗？请你写出你的思考过程。
种类 康乃馨 百合花
价格 5元/枝 10元/枝
48．某小区有一条人行道，工作人员给这条人行道的一侧安装路灯（两端不安装）。开始时每隔4米安装一盏路灯，共安装了23盏，后改为每隔6米安装一盏。这样，不用移装的路灯有几盏？
49．王叔叔计划在五一假期把客厅的地板砖重新铺装一下，客厅的长是6米，宽是4米，请你帮助王叔叔挑选一款适合的地板砖，要求正好铺满，并计算出地板砖的费用。
晨光彩釉地板砖一览表
规格（cm） 单位 价格 规格（cm） 单位 价格
30×30 元/片 17 60×60 元/片 26
40×40 元/片 20 70×70 元/片 35
50×50 元/片 23 80×80 元/片 48
50．将下面5张扑克牌洗一下反扣在桌上，从中任意摸一张。
（1）可能摸到哪一张牌？每张牌被摸到的可能性一样大吗？
（2）摸到的牌上的数是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？
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试卷第1页，共3页
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《专题3 因数与倍数-2025年五升六数学暑假专项提升（苏教版）》参考答案：
1．7：00
【分析】汽车站每15分钟向杭州发一次车，每20分钟向南京发一次车，那么同时向杭州、南京发车的间隔时间就是15和20的公倍数；先求出15和20的最小公倍数，再加上第一次同时发车的时刻，得出下次同时发车的时间。
【详解】15＝3×5
20＝2×2×5
15和20的最小公倍数：2×2×3×5＝60
即每60分钟向杭州、南京同时发一次车。
6时＋60分钟＝7时
所以，下次同时发车的时间是7：00。
2．47
【分析】6人一列或8人一列，最后都缺1人，说明总人数比6和8的公倍数少1，求出6和8的最小公倍数，最小公倍数分别乘1、2、3……，找到40~50之间的公倍数，减去1即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】6＝2×3、8＝2×2×2
2×2×2×3＝24
24×2＝48
40＜48＜50
48－1＝47（人）
这个班有学生47人。
3．2085
【分析】由题意可知，下一个乙巳年与上一个乙巳年相差的年数就是10和12的最小公倍数，可用短除法计算，于用10和12的最小公倍数加2025即可得解。
【详解】
10和12的最小公倍数是
（年）
2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年……那么下一个乙巳年是2085年。
4． 8 12
【分析】根据题意，所有的花正好分完没有剩余，就是扎的花束的数量能同时被56和40整除，即就是找出56和40的公因数，即最大的就是最多的花束数量。花束数量最大时，每束花的总枝数最少，则分别用56和40除以花束数量即可求出玫瑰花和康乃馨在每束花中的数量，相加即可。
【详解】56的因数：1、2、4、7、8、14、28、56；
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
56和40的公因数是1、2、4、8，最大公因数是8。
56÷8＝7（枝）
40÷8＝5（枝）
7＋5＝12（枝）
则最多可以扎8束花束，每束花最少有12枝花。
5． 8 3 4
【分析】由题意可知，五年级最多可能有的班数是24和32的最大公因数，可用短除法先求出最大公因数，再根据平均分用除法计算，用24和32分别除以这个最大公因数即可得解。
【详解】
（班）
（瓶）
（袋）
张老师领回24瓶洗手液和32袋消毒湿巾，刚好平分给五年级每个班，且没有剩余。五年级最多可能有8个班，每个班分得洗手液3瓶，消毒湿巾4袋。
6．1581326749
【分析】一个数的最大因数是它本身；整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此确定ABCD表示的数字，写出小明的QQ号码即可。
【详解】A的最大因数是8，则A是8；最小的质数是2，则B是2；8＝2×2×2、12＝2×2×3，2×2＝4，8和12的最大公因数是4，则C是4；9既是奇数又是合数，则D是9。
小明的QQ号码是1581326749。
7． 2 4
【分析】求两个数的最大公因数，先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；据此解答即可。
【详解】甲数＝2×m×5
乙数＝2×m×7
甲数和乙数的最小公倍数是：m×2×5×7＝140
m＝140÷7÷2÷5
m＝2
甲数和乙数的最大公因数是：2×2＝4
所以甲数＝2×m×5，乙数＝2×m×7，甲数和乙数的最小公倍数是140，则m＝2，甲数和乙数的最大公因数是4。
8．3
【分析】由于四个数的积是360，我们可以先将360分解质因数得360＝2×2×2×3×3×5，再重新将这些质因数进行组合，组合成4个连续的自然数即可，在组合的过程中，优先确定最大的数，360的质因数中最大的是5，如果5再和其他质因数结合，剩下的数字不足以凑出与其接近的剩余3个数，因此，5要单独存在，即这连续的4个数在5的左右寻找即可。
【详解】360＝2×2×2×3×3×5
＝3×4×5×6
所以做的最少得一组做了3朵花。
9． 90 210
【分析】 既是3的倍数，又是5的倍数，那么这个数的个位是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数；要求这个数最大是多少，则这个数的十位是9，再结合3的倍数的特征判断个位上的数字即可；要使2 同时是2，3，5的倍数，那么这个数的个位是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数；要求这个数最小是多少，再根据原有的数字判断十位上的数字即可。
【详解】9＋0＝9，9是3的倍数，则这个两位数是90，符合个位是0或5；
9＋3＝12，12是3的倍数，则这个两位数是93，不符合个位是0或5；
9＋6＝15，15是3的倍数，则这个两位数是96，不符合个位是0或5；
9＋9＝18，18是3的倍数，则这个两位数是99，不符合个位是0或5。
因此这个数最大是90。
2＋0＋1＝3，3是3的倍数，因此这个数最小是210。
因此 既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最大是90；要使2 同时是2，3，5的倍数，这个数最小是210。
10． 1，2，3，4，6，9，12，18，36 9 2 1
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】36的所有因数：（1，2，3，4，6，9，12，18，36）。这些因数中，既是奇数又是合数的是（9），既是偶数又是质数的是（2），（1）既不是质数又不是合数。
11． 12 1、2、3、4、6、12 18 18、36、54、72
【分析】在一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此分别确定这两个数。
列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。
【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4
18×1＝18、18×2＝36、18×3＝54、18×4＝72…
一个数的最大因数是12，这个数是12，它的所有因数是1、2、3、4、6、12；一个数的最小倍数是18，这个数是18，从小到大写出四个它的倍数18、36、54、72。
12． 3 24
【分析】把72本练均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。
【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9
3×24＝72（本）
每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。
13．5
【分析】要将36dm和24dm长的木材结成相同的长度且没有剩余，则截成小段的长度都能整除36和24，即36和24的公因数；求公因数可用分解因数法得到因数，至少截的段数，即求出最大公因数，可得出答案。
【详解】36＝2×2×3×3，24＝2×2×2×3，则最大公因数为：2×2×3＝12，即截成的长度最大是12dm，则至少可以截：
（36＋24）÷12
＝60÷12
＝5（段）
因此，至少可以截5段。
14． 1 ab a b
【分析】如果a＋1＝b，说明a和b是相邻的两个自然数，它们是互质数；根据“两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积”进行解答。
如果a＝b÷3，说明a和b是倍数关系，且a＜b，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。
【详解】a、b是两个不为0的自然数，如果a＋1＝b，那么a与b的最大公因数是（1），最小公倍数是（ab）；如果a＝b÷3，那么它们的最大公因数是（a），最小公倍数是（b）。
15． 0 2或者8
【分析】2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8；5的倍数的特征是个位上是0或5；
2的倍数个位上是0、2、4、6、8，所以□可能是0、2、4、6、8 ；3的倍数特征是这个数各个数位上的数字之和是3的倍数。
【详解】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上只能是0，所以这个三位数43□，□里填0；
4＋3＝7，当□＝0时，4＋3＋0＝7，7不是3的倍数；当□＝2时，4＋3＋2＝9，9是3的倍数；当□＝4时，4＋3＋4＝11，11不是3的倍数；当□＝6时，4＋3＋6＝13，13不是3的倍数；当□＝8时，4＋3＋8＝15，15是3的倍数，所以这个三位数43□，□里填2或8。
16．A
【分析】在长60米的跑道上插彩旗，原来从一端起每隔3米插一面彩旗，共60÷3＋1＝21面，改成每隔4米插一面，共有60÷4＋1＝16面，要求彩旗不需要重新插上的位置，只要求出在60里的4和3的公倍数即可解答，即3米和4米公倍数的米数是不动的，据此解答。
【详解】3和4的最小公倍数是3×4＝12。
60÷12＋1
＝5＋1
＝6（面）
学校运动会即将召开，为了营造气氛，要在长60米的跑道的两边插彩旗。原来跑道两边各从一端起每隔3米插一面彩旗（原来跑道一边插彩旗如下图），现在改成每隔4米插一面，有些位置已经插好的就不需要重新插。不需要重新插的彩旗共有6面。
故答案为：A
17．C
【分析】根据“完全数”的意义：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。结合因数的意义逐项分析解答。
【详解】A．40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，除40本身外，还有1、2、4、5、8、10、20七个因数，1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＝50，所以40不是“完全数”；
B．36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除36外，其余的因数的和为：1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝58，所以36不是“完全数”；
C．28的因数有1、2、4、7、14、28，除28外，其余因数的和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是“完全数”；
D．12的因数有1、2、3、4、6、12，除12外，其余的因数和为：1＋2＋3＋4＋6＝16，所以12不是“完全数”。
所以是“完全数”的是28。
故答案为：C
18．D
【分析】根据题意，不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，说明这个班的人数是6和7的公倍数，先求出6和7的最小公倍数，再找出这个最小公倍数的倍数，然后看三个选项中的数是否是这个最小公倍数的倍数，进而得解。
【详解】6和7的最小公倍数是：
某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，42可能是这个班的人数。
故答案为：D
19．D
【分析】同时闪烁彩光和发出铃声的间隔时间是闪烁彩光间隔时间和发出铃声间隔时间的最小公倍数，求出两个间隔时间的最小公倍数，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同时闪烁彩光和发出铃声的时刻即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】15＝3×5
20＝2×2×5
2×2×3×5＝60（分钟）
8：00＋60分钟＝9：00
下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在9：00。
故答案为：D
20．D
【分析】我国火车车次一般是用字母加数字表示的，开头字母T——特快列车；K——快速列车；D——动车组列车等。字母后面的数字编号和上行、下行有关。规定进京方向为上行，车次为偶数，离北京方向为下行，车次为奇数。根据车票上的文字可知，这是一张特快列车，所以字母应该是T，方向是进京，应该是偶数。据此解答。
【详解】A．K——快速列车，次不符合题意；
B．次列车，车次为奇数，说明是离北京方向为下行，不符合题意；
C．D——动车组列车，次不符合题意；
D．T110次列车，车次为偶数，符合题意；
故答案为：D
21．C
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】“35 0”的个位上是0，则这个数是2和5的倍数；
3＋5＋0＝8，8不是3的倍数；
8＋1＝9，9是3的倍数；
8＋4＝12，12是3的倍数；
8＋7＝15，15是3的倍数；
7＞4＞1
所以，在“35 0”的 里填上一个数字，使这个四位数既是2和5的倍数，又有因数3，这个数字最大是7。
故答案为：C
22．D
【分析】任意抽取2张，可能是3和5、3和2、3和8、5和2、5和8、2和8。分别按照每个选项的规则计算出甲、乙获胜的可能性，看哪种规则下双方获胜的可能性相同，游戏规则就公平，据此解答。
【详解】从4张中任意抽取2张共6种组合情况：
3和5，3＋5＝8，3×5＝15；2和8，2＋8＝10，2×8＝16；
3和2，3＋2＝5，3×2＝6；5和8，5＋8＝13，5×8＝40；
3和8，3＋8＝11，3×8＝24；2和5，2＋5＝7，2×5＝10。
A．和是2的倍数的情况共有3和5、2和8两种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
B．积是2的倍数的情况共有3和2、2和8、5和8、3和8、2和5五种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
C．和是5的倍数的情况共有3和2、2和8两种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性不同，游戏规则不公平；
D．积是3的倍数的情况共有3和2、3和8、3和5三种。甲获胜的可能性是，乙获胜的可能性是，双方获胜可能性相同，游戏规则公平。
故答案为：D
23．B
【分析】根据题意可知，每排人数×排数＝总人数，要求每排人数必须相等，说明每排人数是105的因数；先列举出105的所有因数，再从中找出每排不少于10人，不多于30人的因数，即是符合条件的队列。
【详解】105的因数：1，3，5，7，15，21，35，105；
在10～30之间的因数是：15，21；
符合条件的队列是：
①每排15人，共7排；
②每排21人，共5排；
符合条件的队列一共有2种。
故答案为：B
24．C
【分析】首先计算实际可用于平均分的小红旗和白菊花数量，已知有37面小红旗，分完后多出来2面，那么实际用于平均分的小红旗数量是37－2＝35面，有39枝白菊花，分的时候少了3枝，那么实际需要的白菊花数量是39＋3＝42枝；然后，求学生最多的人数，也就是求35和42的最大公因数。据此解答即可。
【详解】37－2＝35（面）
39＋3＝42（面）
35＝5×7
42＝2×3×7
所以35和42的最大公因数是7，即张老师最多带了7个学生。
故答案为：C
25．B
【分析】可用短除法分别求出各选项的最大公因数和最小公倍数，即可得解。
【详解】A．
4和12的最大公因数是
4和12的最小公倍数是
不符合题意。
B．
4和24的最大公因数是
4和24的最小公倍数是
符合题意。
C．
8和24的最大公因数是
8和24的最小公倍数是
不符合题意。
D．
12和24的最大公因数是
12和24的最小公倍数是
不符合题意。
故答案为：B
26．C
【分析】能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数能被5整除。因为M＝0，所以只需看个位是M的数，选项D不符合要求，选项A、B、C都满足能被5整除这一条件；能被3整除的数的特征：一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，所以需要计算各位上的数字之和。逐项分析解答。
【详解】A．AAAMAM的个位上是0，一定能被5整除，A＋A＋A＋A＋M＋M＝4A＋2M＝4A＋2×0＝4A＋0＝4A，4A不一定是3的倍数，所以这个数不一定能同时被3和5整除；
B．AMMAMM个位上是0，一定能被5整除；A＋M＋M＋A＋M＋M＝2A＋4M＝2A＋4×0＝2A＋0＝2A，2A不一定是3的倍数，所以这个数不一定能同时被3和5整除；
C．AMAMAM个位上是0，一定能被5整除；A＋M＋A＋M＋A＋M＝3A＋3M＝3A＋3×0＝3A＋0＝3A，3A÷3＝A，所以这个数一定能同时被3和5整除；
D．AMMAMA的个位上是A，A是1~9中任意一个数，不一定是5，所以这个数不一定能同时被3和5整除。
故答案为：C
27．D
【分析】如果两个数只有公因数1，则它们是互质关系；存在互质关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
【详解】因为8和a的最大公因数是1，所以它们是互质关系，则它们的最小公倍数是8×a＝8a；
8和a的最大公因数是1，这两个数的最小公倍数是8a。
故答案为：D
28．D
【分析】因数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，如：4×9＝36，4和9是36的因数，分析题目，先用乘法求出A的值，再找出这个数的因数即可。
【详解】2×3×3×5＝90
90＝1×90＝2×45＝3×30＝5×18＝6×15＝9×10
90的因数有：1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90；有12个。
故答案为：D
29．C
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数，所以非0自然数按因数的个数可以分为三类；自然数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数，所以自然数按照是不是2的倍数可以分为两类，据此解答。
【详解】A．自然数按照是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类，其中0也是偶数，并不是按因数的个数分类，不符合题意；
B．非0自然数按因数的个数可以分为1（只有一个因数）、质数（两个因数）、合数（三个或三个以上因数）三类，选项中缺少1，不符合题意；
C．非0自然数按因数的个数可以分为1（只有一个因数）、质数（两个因数）、合数（三个或三个以上因数）三类，符合题意；
D．自然数按照是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类，其中0也是偶数，并不是按因数的个数分类，不符合题意。
故答案为：C
30．D
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据入场时队列刚好站两行，可知五（1）班学生人数是偶数。分析计算各选项队形中的人数，是奇数的则不可能是五（1）班。
【详解】A．（人），30是偶数，不符合题意。
B．
（人）
32是偶数，不符合题意。
C．
（人）
28是偶数，不符合题意。
D．
（人）
31是奇数，符合题意。
故答案为：D
31．21和39的最大公因数是3；最小公倍数是273；
24和48的最大公因数是24，最小公倍数是48；
11和13的最大公因数是1，最小公倍数是143；
17和34的最大公因数是17，最小公倍数是34
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。
当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；
当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
【详解】（1）21＝3×7
39＝3×13
21和39的最大公因数是3；
21和39的最小公倍数是3×7×13＝273。
（2）24和48是倍数关系；
24和48的最大公因数是24，最小公倍数是48。
（3）11和13是互质数；
11和13的最大公因数是1，最小公倍数是11×13＝143。
（4）17和34是倍数关系；
17和34的最大公因数是17，最小公倍数是34。
32．13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91；
10和11的最大公因数是1，最小公倍数是110；
84和63的最大公因数是21，最小公倍数是252；
45和25的最大公因数是5，最小公倍数是225
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。
当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；
当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
【详解】（1）13和91是倍数关系，所以13和91的最大公因数是13，最小公倍数是91；
（2）10和11是互质数，所以10和11的最大公因数是1，最小公倍数是10×11＝110；
（3）84＝2×2×3×7
63＝3×3×7
84和63的最大公因数是3×7＝21，最小公倍数是2×2×3×3×7＝252；
（4）45＝3×3×5
25＝5×5
45和25的最大公因数是5，最小公倍数是3×3×5×5＝225。
33．
3；90；16；32；15；180；6；180
【分析】可用短除法去计算，把所有的除数相乘可得最大公因数，把所有的除数和最后的两个商相乘可得最小公倍数，据此解答。
【详解】
15和18的最大公因数是3
15和18的最小公倍数是
16和32的最大公因数是
16和32的最小公倍数是
45和60的最大公因数是
45和60的最小公倍数是
30和36的最大公因数是
30和36的最小公倍数是
34．见详解
【分析】分别数出整个长方形的长和宽，求出长和宽的最大公因数就是分割成的最大正方形的边长，全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此确定正方形的边长，作图即可。
【详解】长方形的长16cm，宽12cm。
16＝2×2×2×2
12＝2×2×3
2×2＝4（cm）
正方形边长最长是4cm，作图如下：
35．见详解
【分析】由题意可知，黑色棋子每次走3格，白色棋子每次走4格，两种棋子都走到的格子上涂上颜色，涂色的数字必须是3和4的公倍数，先找到3和4的最小公倍数，再进一步解答即可。
【详解】3和4的最小公倍数是12，则两种棋子都走到的格子必须是12的倍数（不超过36）
12×1＝12
12×2＝24
12×3＝36
作图如下：
36．乐乐数对了
【分析】因为行数和每行玫瑰花的棵树都是质数，可以分别把68、70、77和72这四个数分解质因数，判断哪个数可以分解成两个质数相乘的形式，那么这个数就是玫瑰花正确的总棵树。
【详解】68＝2×2×17
70＝2×5×7
77＝7×11
72＝2×2×2×3×3
这四个数中，只有77可以分解成两个质数相乘的形式，因此玫瑰花总棵树是77棵。
答：乐乐数对了。
37．14个；橘子2个，苹果3个
【分析】求最多需要多少个塑料袋，就是求28和42的最大公因数，先将28和42分解质因数，这两个数公有质因数的乘积就是它们的最大公因数。最后用这两个数分别除以最大公因数即可求出每个塑料袋中两种水果各有的个数。
【详解】28＝2×2×7
42＝2×3×7
28和42的最大公因数是：2×7＝14
28÷14＝2（个）
42÷14＝3（个）
答：小云最多需要14个塑料袋，每个塑料袋中橘子有2个，苹果3个。
38．9名；5块；4块
【分析】把45块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个小组的同学，结果水果糖刚好分完，巧克力剩2块；则45、38减去2后就都能平均分给这个小组的学生，要求这个组最多有几位同学，只要求出这45和36的最大公因数即可；然后根据水果糖和巧克力的块数和学生数即可求出每个同学分到水果糖和巧克力的块数，据此解答。
【详解】38－2＝36（块）
45＝3×3×5
36＝2×2×3×3
所以45和36的最大公因数是3×3＝9。
即这个小组最多有9名同学。
45÷9＝5（块）
36÷9＝4（块）
答：这个小组最多有9名同学，每名同学分到水果糖5块，巧克力4块。
39．6块
【分析】要用长90厘米、宽60厘米的长方形地砖铺成正方形地面，正方形地面的边长应是90和60的公倍数，要求至少需要多少块地砖，就是求90和60的最小公倍数作为正方形地面的边长，用分解质因数法求出90和60的最小公倍数；在正方形地面的长的方向，所需地砖数量为180÷90＝2（块） ，在正方形地面的宽的方向，所需地砖数量为180÷60＝3（块）；总共所需地砖数量为长方向所需地砖数乘宽方向所需地砖数，即2×3＝6（块）。
【详解】90＝2×3×3×5
60＝2×2×3×5
60和90的最小公倍数是：
2×2×3×3×5
＝4×3×3×5
＝12×3×5
＝36×5
＝180
180÷90＝2（块）
180÷60＝3（块）
2×3＝6（块）
答：至少需要6块这样的地砖。
40．笑笑；理由见详解
【分析】先根据质数和合数的意义，分析43、47、48是质数还是合数，质数不可能有几行，且每行的棵数相同；合数才可能有几行，且每行的棵数相同。据此解答。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】43的因数：1，43；
48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48；
47的因数：1，47；
43、47是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；
48是合数，有可能种了2行，每行24棵；或种了3行，每行16棵；或种了4行，每棵12棵；或种了6行，每行8棵；或种了8行，每行6棵；或种了12行，每行4棵；或种了16行，每行3棵；或种了24行，每行2棵。
答：笑笑数对了。43、47都是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；48是合数，才可能有几行，且每行的棵数相同。
41．8号、10号、12号、14号
【分析】相邻的奇数相差2，相邻的偶数也相差2，四个座位号的和÷4，结果是奇数，就是中间两个偶数之间的奇数，中间两个偶数之间的奇数分别加1和减1是中间两个偶数，中间两个偶数分别加2和减2，是最大和最小两个偶数，据此分析。
【详解】44÷4＝11
11＋1＝12
11－1＝10
12＋2＝14
10－2＝8
这四个座位分别是8号、10号、12号、14号。
42．见详解
【分析】根据5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】125是5的倍数，所以如果每5枝包装成一束，能正好包装完；
1＋2＋7＝8
8不是3的倍数
最接近8的3的倍数是9
9－8＝1
答：如果每5枝包装成一束，能正好包装完，如果每3枝包装成一束，至少再加1枝能正好包装完。
43．2种
【分析】分析题目，先根据乘法的方法找出105的所有因数，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即105的一个因数应大于或等于10人且小于或等于30，据此解答。
【详解】105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15
10＜15＜21＜30
答：符合要求的队列有2种，①每排15人，排成7排；②每排21人，排成5排。
44．1分米、2分米、3分米、6分米；42块
【分析】先根据进率“1米＝10分米”把4.2米换算成42分米，3.6米换算成36分米。
如果不用切割的情况下，用边长是整分米的正方形地砖将它铺满，则地砖的边长是长、宽的公因数；先列举出42和36的所有因数，相同的因数即是它们的公因数，也就是可以选择地砖的边长。
求至少需要正方形地砖的块数，那么地砖的边长要最大，从42和36的公因数中找出最大公因数，也就是地砖的最大边长；然后再看长、宽分别有几个这样的最大公因数，最后相乘，求出至少需要地砖的块数。
【详解】4.2米＝42分米
3.6米＝36分米
42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42；
36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；
42和36的公因数：1，2，3，6；
42和36的最大公因数：6；
即可以选择地砖的边长是1分米、2分米、3分米、6分米，最大的边长是6分米。
42÷6＝7（块）
36÷6＝6（块）
一共：7×6＝42（块）
答：可以选择边长是1分米、2分米、3分米、6分米的地砖，至少需要42块。
45．72个
【分析】由题意可知，张阿姨购买鸡蛋的数量同时是8和12的倍数，先求出8和12的最小公倍数，再按顺序求出最小公倍数的倍数并且这个数是70多，据此解答。
【详解】
8和12的最小公倍数为：2×2×2×3＝24
24×1＝24，不符合题意；
24×2＝48，不符合题意；
24×3＝72，符合题意；
24×4＝96，不符合题意。
所以，张阿姨一共买了72个鸡蛋。
答：张阿姨一共买了72个鸡蛋。
46．240人
【分析】无论每行排20人还是24人，都能够排成整数行且没有剩余，就是求出20和24的最小公倍数，然后找出最小公倍数在200到300之间的倍数，就是五年级的人数。
【详解】
2×2×5×6＝120
120×2＝240（人）
答：五年级一共有240人参加团体操表演。
47．见详解
【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；据此分析解答。
【详解】因为一枝康乃馨的价钱是5的倍数，一枝百合花的价钱也是5的倍数，所以无论怎么购买，买花的总钱数一定是5的倍数，50是5的倍数，找回的钱数也必定是5的倍数，而13不是5的倍数。
48．7盏
【分析】因为两端都不安装路灯，根据“间隔数＝灯的数量＋1”，已知开始安装了23盏路灯，所以间隔数是23＋1＝24个；又因为每个间隔是4米，根据“距离＝间隔数×间隔长度”，可得人行道长度为24×4＝96米；分别对4和6分解质因数计算出4和6的最小公倍数是12，这意味着每隔12米处的路灯不用移栽；最后用总长度除以最小公倍数可得间隔数，由于两端都不安装路灯，根据“灯的数量＝间隔数－1”计算出不用移栽的路灯数量。
【详解】4×（23＋1）
＝4×24
＝96（米）
4＝2×2
6＝2×3
所以4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12
96÷12－1
＝8－1
＝7（盏）
答：不用移装的路灯有7盏。
49．50×50的地砖；2208元
【分析】从题意可知：所有的地板砖都是正方形。要求正好铺满，那么正方形的边长就是客厅的长（6米＝600厘米）和宽（4米＝400厘米）的公因数。据此选出所有边长是长和宽的公因数的地板砖。再用客厅面积除以地板砖面积，求出所需块数。用每块的价格乘地板砖块数即可求出总费用，比较总费用即可。
【详解】6米＝600厘米
4米＝400厘米
600＝40×15＝50×12
400＝40×10＝50×8
地砖规格是600和400的公因数的有40×40、50×50
所需块数：
600×400÷（40×40）
＝600×400÷1600
＝150（块）
所需钱数：20×150＝3000（元）
600×400÷（50×50）
＝600×400÷2500
＝96（块）
所需钱数：96×23＝2208（元）
3000＞2208
答：可以选择50×50的地砖，需要2208元。
50．（1）可能摸到6、7、8、9、10，一样大；
（2）偶数
【分析】（1）从5张牌中摸出1张，每张牌都可能摸到，并且摸到每张牌的可能性是一样大的，据此解答；
（2）奇数：不能被2整除的数，偶数：能被2整除的数，据此分别找出奇数和偶数，哪种类型的牌多摸到哪种类型的牌的可能性就大。
【详解】（1）答：每张牌都可能摸到，可能摸到6、7、8、9、10，每张牌被摸到的可能性一样大。
（2）奇数有：7，9共2张；偶数有：6，8，10，共3张；
2＜3，摸到偶数的可能性大。
答：摸到偶数的可能性大。
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