湖南省长沙市长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷（含解析）

湖南省长沙市长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ）
A． B．10 C． D．2
3．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为45°、点B处测得其顶点P的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度为（ ）
A．米 B．55米 C．米 D．米
5．已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若对任意正实数都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在扇形中，半径，圆心角，是上的动点（点不与、及的中点重合），矩形内接于扇形，且．，设矩形的面积与的关系为，则最大值为（ ）

A． B． C． D．
8．已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在复平面内，复数 对应点满足.点与关于轴对称.则复数为（ ）
A． B．
C． D．
10．在棱长为正方体中，点是线段上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A．无论点在线段的什么位置，三棱锥的体积为定值
B．无论点在线段的什么位置，都有
C．当时，与异面
D．若直线与平面所成的角为，则的最大值为
11．通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ）
A．
B．，
C．若，且m，n均不等于1，，则
D．若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0
三、填空题
12．2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有 个.
13．如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为，，四边形的面积为，则 ．
14．设函数，若恰有个零点，.
则下述结论中:
①若恒成立，则的值有且仅有个；
②在上单调递增；
③存在和，使得对任意恒成立；
④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件.
所有正确结论的编号是 ；
四、解答题
15．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)若函数在存在零点，求实数a的取值范围．
16．已知复数，其中，为虚数单位.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）定义，是否存在，使得 若存在，求出；若不存在，说明理由.
17．某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点，当凹多边形的面积最大时制冷效果最好．

(1)设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
(2)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽
18．已知数列为等差数列，，且数列是公比为2的等比数列，.
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.
19．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
(1)若，且，求A和；
(2)若求的值．
参考答案
1．B
【详解】，
而，故，
故选：B．
2．B
【详解】若向量，，则，
，则，
.
故选：B
3．B
【详解】，故.
故选：B
4．A
【详解】设，由已知，，，，
则，又，
在中：，则
解得或（舍去），所以解放碑的高度为米.
故选：A.
5．B
【详解】令，则，
由，可得，
即，.
因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数，
故，即.
因为，所以，即实数的取值范围是.
故选：B
6．A
【详解】化简不等式可得，即：，
令（），则对任意的，，
所以，设，，
则，令，
所以，所以在上单调递减，
又因为，
所以，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：，即：的取值范围为.
故选：A.
7．A
【详解】依题意，在中，，
由正弦定理得，即，
，
而，因此当，即时，.
故选：A
8．C
【详解】设切点为，，
曲线在切点处的切线方程为，
整理得，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
则的取值范围是．
故选：C.
9．CD
【详解】由于复数 对应点满足
所以，所以，或
又点与关于轴对称，所以点或
所以复数为或.
故选：CD.
10．BCD
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，其中.
对于A选项，因为平面平面，平面，平面，
，故点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，
，因此，，A错；
对于B选项，，，则，故，B对；
对于C选项，，，
若，则，无解，故与不可能平行，
若，设点，
，，因为，则，则，
，，
因为，则，解得.
所以，当时，即当时，与异面，C对；
对于D选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，点到平面的距离为，
由已知可得，当取最小值时，取最大值，此时取最大值，
且，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为，故的最大值为，D对.
故选：BCD.
11．ACD
【详解】由题意知，则，
对于A，，A正确；
对于B，，，不妨取，则，B错误；
对于C，，且m，n均不等于1，
由得，即，结合可知，
则，故，
当且仅当，即时等号成立，C正确；
对于D，当时，，则由恒成立，
得恒成立，即恒成立，
令，则，
设，由于在上单调递减，故，
则，故；
当时，，结合题意可知得恒成立，
即恒成立，
此时令，同理可得，
由于在上单调递增，在上单调递减，
故，则，故，
综合上述可知m的值为0，D正确，
故选：ACD
12．
【详解】因为集合中有52个元素，所以集合的非空真子集的个数为.
故答案为：.
13．
【详解】连接、，因为圆的半径为，，则是等边三角形，
所以，
四边形的面积
，
解得.
因为，所以，则，
所以是等边三角形，所以.
故答案为：
14．①③④
【详解】恰有个零点，，，函数的图像如图：

①如图，即有两个交点，正确；
②结合右图，且当时，在递增，错误；
③，，
，存在为最小值，为最大值，正确；
④结合右图，若方程在内恰有五个解，需满足，即，同时结合左图，当，不一定有五个解，正确.
故答案为：①③④.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）对于函数
，
所以函数的最小正周期为，
令，则，
∴函数的单调递增区间为.
（2）令，即，则，
∵在存在零点，则方程在上有解，
若时，则，可得，
∴，得
故实数的取值范围是．
16．（1）；（2）不存在
【详解】（1）由于为纯虚数，
所以.
（2）依题意，
即，，
，
，
所以，解得.
17．(1)
(2)长为米，宽为米时，制冷效果最好
【详解】（1）由题意，，．
因，故．
设，则．因△ADP≌△CB'P，故．
由，得．
（2）记凹多边形的面积为S，则
求导得，
当时，；当时，．
故函数S在上递增，在上递减．
所以当时，S取得最大值．
故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好．
18．(1)，
(2)
【详解】（1）设的公差为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）将及其后中的两项看成一组，故需要组再加上第组的前两项，
所以
.
19．(1)，
(2)3
【详解】（1）∵，∴，∵，，
∴，
∴，∴，即，又，
由勾股定理得，则．
在中，设，则，
由正弦定理可得，
所以，化简可得．
综上，，．
（2）
，所以．
在，，中，分别由余弦定理得：
，，，
三式相加整理得：，
由上面可得，
所以，
先求，
在中，由正弦定理可得，
所以，
同理可得，，
所以
再求．
在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，
，，
三式相加可得：，
由（2）可知，所以；
所以
．