辽宁省鞍山市2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含详解)

2025年辽宁省鞍山市九年级第二次质量调查数学试卷（中考二模）
一、单选题
1．气调库是通过精准调挖库内的气体成分、温度、湿度等环境因素，延缓食材的衰老与变质过程，现在库内温度为，持续下降以后的温度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将直角三角形绕直角边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
3．在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．我国体育健儿在最近五届的奥运会上获得的奖牌如图，则增长最快的一届是（ ）
A．第28届 B．第29届 C．第30届 D．第31届
5．与能合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
6．当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点M对应点的坐标是，已知点A的坐标是，则平移后点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》卷七“盈不足”中（一四）题：“今有大器五，小器一容三斛；大器一，小器五容二斛，问大，小器各容几何？”其译文是：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器，小容器的容积各是多少？”如果设大容器容积为x，小容器容积为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图1，一组活动衣架由三个菱形组成，其拉伸后形状如图2所示，若菱形的边长为，，则其拉伸后的最大距离的长度大约是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．m的值为 B．正方形的边长是
C．的面积是 D．直线的解析式是
二、填空题
11．一元二次方程的两个根分别为，，则 ．
12．在某一时刻，测得一名身高1.8米的同学的影长是3米，同一时刻，测得学校教学楼的影长是40米，学校教学楼的高度是 米.
13．一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 .
14．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ．
15．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上时，的值是 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．如图，校园围墙内有一块等腰直角三角形区域，学校想要对此区域进行绿化改造：首先在区域内种植一棵景观树，然后再把区域分成三块分别种上不同花卉.
(1)请在内部找一点M，在点M处种植景观树，并到三边距离相等，并分别连接将分为三个三角形（保留作图痕迹，不写画法）；
(2)已知学校种植的三种花卉价格不同，第一种花卉需要的资金是a元，第二种花卉需要资金比第一种花卉需要资金的2倍还多100元，第三种花卉的资金是前两种花卉资金的和，若学校计划种植花卉资金不超过800元，试求第一种花卉需要的资金最多是多少元？
18．每年4月23日为“世界读书日”.某学校图书馆在当天接受了2000册图书的社会捐赠.管理员将图书分类如下表：
类别 数量（单位：本） 占捐赠图书百分比
第一大类（哲学类） 125
第二大类（社会科学类） 500
第三大类（自然科学类）
第四大类（综合类） 275
(1)完成上述表格；
(2)图书馆原有图书约30000本，其中社会科学类约占，请计算：接受捐赠后，学校社会科学类图书大约有多少本？
(3)学生上阅读课时，需要通过抽签任选一类图书去专用图书室阅读，小明和小华想选择同一类图书，请通过树状图或表格求出他们抽到同一类图书的概率．
19．某景区要在其辖区内的山峰修建索道，经了解，索道夹角在到之间符合工程规范，更为合理和安全．如图，已知该山峰海拔高度为850米，从山脚A测量到山顶B的仰角，距其山顶高度为150米处有平坦的空地适合修建索道终点，且，为了符合工程要求，在距离山脚A高度为100米的点M处修建休闲平台，使得，试求出：的长度是多少时索道符合要求？（结果精确到1米，参考数据：，，，）
20．投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分.某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是米，水平距离米时达到最大高度，最大高度为米.
(1)如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）；
(2)若实心球落地后距离投掷点米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分.
21．如图，中，为对角线，且，的外接圆交边于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)设，当时，求的值．
22．如图1，矩形中，，点E是边上一点，连接，以为对称轴将翻折，若点B的对称点是对角线的中点.
(1)求n的值；
(2)将沿射线的方向平移到，以为对称轴，将四边形沿翻折，点A，B的对称点分别为，.
①如图2，若，点M是边中点，求的长；
②如图3，点N在延长线上，点M在边上，且，与交于点F，判断，的数量关系，并证明.
23．数学活动小组在函数学习中发现，研究不同函数的方法是一致的，因此，他们对一个分段函数开展了研究.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，经过点A的函数G的解析式为：.
(1)试求出k，a的值；
(2)点A关于原点的中心对称点为，判断点是否在函数G的图象上；
(3)点，是函数G上的两点.
①若点M，N之间的函数图象有确定的最大值或最小值，求出m的取值范围；
②连接，若直线与线段没有交点，求出m的取值范围.
参考答案
1．D
解：根据题意得：，
故选：D．
2．C
解：由旋转的性质可得：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，
故选：C．
3．A
解：在数轴上表示不等式的解集为．
故选：A．
4．B
解：根据题意，得；，，，
故第29届增长最快，
故选：B．
5．D
解：，
根据同类二次根式的定义可知能与合并，
故选：D．
6．B
解：根据题意，得，
故，
又，
故，
又，
故，
故选：B．
．
7．C
解：∵点，先向右平移，再向下平移，得到点的坐标是，
∴平移规律为：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
∵点A的坐标，
∴点的坐标，
故选：C．
8．A
解：设大容器容积为x，小容器容积为y，
由题意可得：，
故选：A．
9．C
解：如图，连接交于点，
∵菱形的边长为，，
∴是等边三角形，
∴
∴
故选：C．
10．D
解：依题意得：，，
当时，，
∴，
∴在正方形中，，
∴，
设直线的解析是，
将点B的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析是
当时，，
即：，
∴，
∴直线与围成的阴影三角形的面积为：，
解得：(舍去)，
∴m的值为2，正方形的边长是2，直线的解析式是，，
∴，
∴的面积是，
∴选项A、B、C错误，选项D正确，
故选：D．
11．
解：∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，
故答案为：．
12．24
解：设学校教学楼的高度是x米，根据同一时刻物高与影长成正比可得
，
解得．
故答案为：24．
13．/
解：根据题意有：，
解得：，
故答案为：．
14．
解：∵，
∴，
∴，
∴，点M为的中点，
∵点O为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵的半径是6，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
15．/
解：∵在中，，，，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上，
∴，
∴，
如图：过C作，即，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
16．（1）；（2）
解：（1）原式；
（2）整理得：，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的根．
17．(1)见解析
(2)第一种花卉需要的资金最多是元
（1）解：如图所示为所求：
（2）解：根据题意：第二种花卉需要的资金为元，第三种花卉需要的资金为元，
则，
解得：，
答：第一种花卉需要的资金最多是元.
18．(1)见解析
(2)本
(3)
（1）解：第三大类的数量为：本，
第二大类占捐赠图书的百分比为：，
补全表格如下：
类别 数量（单位：本） 占捐赠图书百分比
第一大类（哲学类） 125
第二大类（社会科学类） 500
第三大类（自然科学类） 1100
第四大类（综合类） 275
（2）本；
（3）将四大类图书设为A、B、C、D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能结果，其中小明和小华想选择同一类图书的结果有4种，
∴他们抽到同一类图书的概率为．
19．的长度约在629米到1321米之间符合要求
解：延长交于点，延长交于点，过点作于点，
∵，
，
由已知得米，米，
∴米，
∵，
，
∴四边形为矩形，
∴米，
在中，
当时，，
米，
当时，，
米，
在中，，
米，
米，
或米，
∴的长度约在629米到1321米之间符合要求．
20．(1)
(2)这名同学实心球成绩不能得满分，计算见解析
（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得．
∴该实心球运动时符合的抛物线解析式为；
（2）解：令，
解得（负值已舍去），
∴实心球出手点与着陆点的水平距离为．
∴这名同学实心球成绩不能得满分．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接并延长交于点，连接，则：，
∵，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
作平分交于点，作于点，则：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
22．(1)
(2)①；②，证明见解析
（1）解：∵矩形中，，
∴是直角三角形，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴；
（2）①解：过点作交延长线于点H，
由（1）知，
∵，
∴，，
∵点M是边中点，
∴，
由平移的性质得：，
∴，，
∴，，
由对称的性质得：，，
在中，，，
∴，
在中，；
②，证明如下：
延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点三点共线，
由折叠的性质得：，
∴是直角三角形，
∵，即点是的中点，
∴.
23．(1)，；
(2)点在函数G的图象上；
(3)①或；②m的取值范围为或或．
（1）解：∵函数G经过点，
∴将代入，得，
将代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）得函数G的解析式为：，
∵点关于原点的中心对称点为，
当时，，
∴在函数G的图象上；
（3）解：①对于点，，
观察函数图象，有确定的最大值为2，
此时，
解得；
有确定的最小值为，
此时，
解得；
综上，m的取值范围为或；
②当点和点都在上时，此时，即，
观察图象，直线与线段始终有交点，不符合题意，舍去；
当点和点都在时，此时，
设直线的解析式为，
∵点，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
当时，则，
解得或，
则或，
当时，则，
解得（舍去）或，
当点在上，点在时，
此时，即，
则点，，
临界点为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得（舍去）或（舍去）或，
结合图象得，
综上，m的取值范围为或或．