江苏省扬州市2024-2025学年高一下学期期末调研数学试卷（含答案）

江苏省扬州市2024-2025学年高一下学期期末调研数学试卷
注意事项：
1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)
1.sin 15°cos 15°的值为 （ ）.
A.－ B. C.－ D.
2.在一次数学测试中，有8位同学的分数分别是：115，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是 （ ）.
A.130 B.132 C.134 D.136
3.若，则的值为 （ ）.
A. B. C. D.
4.用二分法可将函数在区间中的零点精确到区间 （ ）.
A. B. C. D.
5.已知向量，若在上的投影向量为，则实数为（ ）.
A. B. C. D.
6.在中，内角的对边分别是，若，则为 （ ）.
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
7.已知圆锥底面半径为，其侧面展开图是半圆.用一个平行于底面的平面截此圆锥，截去一个高为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ）.
A. B. C. D.
8.如图，已知与为全等的正六边形，且，点为边IJ的中点，则的值为( ).
A.30 B.32 C.35 D.36
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的有 （ ）.
A.若，，则 B.若，，则
C.若， ，则 D.若，， 则
10.在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有唯一解的有（ ）.
A.，， B.，，
C.，， D.，，
11.连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有 （ ）.
A.若，则与互斥 B.若，则与不相互独立
C.若，则与不互斥 D.若，则与相互独立
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知一组数据的方差为2，则数据的方差为 .
13.已知向量满足，则与的夹角为 .
14.如图为三棱锥的展开图，其中，，，，则三棱锥的顶点到平面的距离为 ；三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知向量，，其中，且.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
16.（本小题满分15分）某机构为调查本市不同年龄的市民对“奥运会”相关知识的认知程度，对不同年龄的人举办了一次“奥运会”知识竞赛.其中认知程度高的共有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
（1）求的值，并根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄（同一组中的数据用该组的组中值做代表值）；
（2）现从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，随机抽取2名作为组长.已知甲（年龄38岁），乙（年龄41岁）两人已确定入选宣传使者，求甲、乙两人中恰有一人被选上的概率.
17.（本小题满分15分）已知函数，.
（1）设，将表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）若，求函数的值域；
（3）若函数存在零点，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，平面平面，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若，，与平面所成角为，求二面角的正弦值.
19.（本小题满分17分）中，内角所对的边分别为，为的角平分线，且，.
（1）求的值，并说明理由；
（2）求面积的最大值；
（3）求与内切圆半径之比的取值范围.
参考答案
1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C
9．BC 10．ABD 11．BCD 12．18 13． 14．
15．解：（1），且，
，……………………………………………………………………………………………………3分
．……………………………………………………………………6分
（2）由及得；
,…………………………9分
，且，……………………………11分
．…………………………13分
16．解：（1）由得；………………………………………………………………3分
；…7分
（2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲）,B,C,D，第五组抽取人，记为（乙），.
对应的样本空间为：，．记“甲、乙两人中恰有一人被选上”为事件，则，
所以甲、乙两人中恰有一人被选上的概率为．………………………………………………15分
17．解：（1），
，
；………………………………………………5分
（2）当时，的值域即为的值域．，的值域为；……………………………8分
（3）若函数存在零点，即函数在区间上存在零点，
即关于的方程在上有解，………………………………………………10分
①当时，不存在；…………………………………………………………………………………11分
②当时，（当且仅当即时取等号）
同理可得：当时，；
综上：．………………………………………………………………15分
18．证明：（1）如图I，连接MO．因为四边形ABCD是菱形，AC交BD于点，
所以为AC的中点，又因为为PC的中点，所以；
因为平面平面MBD，所以平面MBD．………………………………4分
（2）证明：如图II，因为四边形ABCD是菱形，所以，因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，所以平面PAC，因为平面PAC，所以．………………………………………………………………………………………………8分
（3）如图III，过点作，垂足为．因为平面平面ABCD，平面平面平面PAC，所以平面ABCD，所以为PA与平面ABCD所成角，所以．……………………………………………………………………………………………10分
方法1：如图III，因为，所以，由II得，，且面MBD，所以面MBD，又平面MBD，所以，所以即为二面角的平面角．…………………………………………………………13分
方法2：如图III，因为为PC的中点，，所以为PC的中点，所以，由II得，且平面MBD，所以平面MBD，又平面MBD，所以，所以即为二面角的平面角．…………………………………………………………………………………………………………13分
方法3：如图III，由（2）得平面平面PAC，所以，又为BD的中点，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，在Rt中，为AC的中点，所以，所以RtRt，所以，又为PC的中点，所以，所以即为二面角的平面角．…13分
不妨设，因为四边形ABCD是菱形，所以为等边三角形，在中，，所以，在Rt中，，所以，又因为O,M分别为AC,PC的中点，所以，又因为平面平面MBD，所以，又为BD的中点，所以，在Rt中，，
在中，，
所以．
所以二面角的正弦值为．…………………………………………………………17分
19．解：（1）设．
在中，；在中，，
所以，则；因为，所以；………………4分
（2）由（1）知：．
在中，，则，
方法1：（构建三角函数）………………………………………8分
因为，则，所以，当且仅当时取“等号”，
所以；……………………………………………………………………………………10分
方法2：（构建二次函数）由得，
所以………………………………8分
因为且，所以且，解得；
所以当时，；…………………………………………………………………10分
（3）不妨设与内切圆的半径分别为与．
因为且，所以且，解得；
记，则，
所以，
因为（为顶点到AB的距离），
又，
,
所以，则
，……………………15分
因为，所以，所以，
所以与内切圆半径之比的取值范围为．………………………………………17分