2.2.4均值不等式及其应用（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共33张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.2.4均值不等式及其应用（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共33张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 42.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-27 19:23:04 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
2.2.4均值不等式及其应用
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握均值不等式
01
掌握两个正变量的和或积为常数的最值问题
02
掌握均值不等式的实际应用
03
探索新知
给定两个正数 a，b，数 称为 a，b 的算术平均值；
数 称为 a，b 的几何平均值．
两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
探索新知
尝试与发现
(1) 假设一个矩形的长和宽分别为 a 和 b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
探索新知
尝试与发现
(2) 如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据 (1) 说出结论的几何意义．
a 1 2 4 6 8 10
b 1 4 6 8 10 12
1
1
算数平均值等于几何平均值或算数平均值大于几何平均值
探索新知
均值不等式
如果 a，b 都是正数，那么 ，
当且仅当 a＝b 时，等号成立．
证明 因为 a，b 都是正数，所以
即
而且，等号成立时，当且仅当 ，即 a＝b．
探索新知
思考：能否通过重要不等式证明均值不等式？
方法一
方法二
且
用分别代替
有：
即：
探索新知
值得注意的是，均值不等式中的 a，b 可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的 a，b 还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？
探索新知
均值不等式的几何意义
将均值不等式两边平方可得 ≥ab．
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab， 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
探索新知
想一想
你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？
周长相等的三角形中，正三角形的面积最大. 平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近圆，故圆的面积最大.
探索新知
探索与研究
如图所示半圆中，AB 为直径，O 为圆心．已知 AC＝a，BC＝b，D 为半圆上一点，且 DC⊥AB，算出 OD 和 CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？
半径
半弦
在 Rt△ABD 中，由于 DC⊥AB，利用射影定理可得
CD＝ ，又 CO＝ ，由图可知 CO≥CD，
所以 ，变形为 a＋b≥ ．
均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．
探索新知
一元二次不等式的解集
一般地，如果 x1＜x2，则不等式 (x－x1)(x－x2)＜0 的解集是(x1，x2)，
不等式 (x－x1)(x－x2)＞0 的解集是
(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
典型例题
例 1 已知 x＞0，求 y＝x＋ 的最小值，并说明 x 为何值时 y取得最小值．
典型例题
例 2 已知 ，求证 ， 并推导出等号成立的条件.
典型例题
例 3 (1) 已知矩形的面积为 100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
分析：在 (1) 中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；
解：(1) 设矩形的长与宽分别为 x 与 y，依题意得 xy＝100．
所以 2 (x＋y)≥40．
因为 x＞0，y＞0，所以 ，
因此，当矩形的长和宽都是 10 时，它的周长最短，最短周长为 40．
当且仅当 x＝y 时，等号成立，
由 ，可知此时 x＝y＝10．
典型例题
例 3 (2) 已知矩形的周长为 36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
分析：在 (2) 中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．
解： (2) 设矩形的长与宽分别为 x 与 y，
依题意得 2 (x＋y) ＝36，即 x＋y＝18．
因为 x＞0，y＞0，所以 ，
因此 ≤9，即 xy≤81．
当且仅当 x＝y 时，等号成立，由 ，可知此时 x＝y＝9．
因此，当矩形的长和宽都是 9 时，它的面积最大，最大面积为 81．
当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
例 4
典型例题
例 5 已知 a，b 是实数，求证：a2＋b2≥2ab．并说明等号成立的条件
典型例题
证明：因为 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
所以 a2＋b2－2ab≥0，即 a2＋b2≥2ab．
等号成立时，当且仅当 (a－b)2＝0，即 a＝b．
例 5 的结论也是经常要用的. 不难看出，均值不等式与例 5 的结论既有联系，又有区别. 区别在于例 5 中去掉了 a，b 是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例 5 结论的一种特殊情况.
例 6 已知a，b∈R，求证：
(1) (a＋b) 2≥4ab；
(2) 2(a2＋b2) ≥(a＋b) 2．
典型例题
证明： (1) 因为 a2＋b2≥2ab，两边同时加上 2ab，得
a2＋b2＋2ab≥4ab，
即 (a＋b)2≥4ab；
例 6 已知a，b∈R，求证：
(1) (a＋b) 2≥4ab；
(2) 2(a2＋b2) ≥(a＋b) 2．
典型例题
证明： (2) 因为 a2＋b2≥2ab，两边同时加上 a2＋b2，得
2(a2＋b2) ≥a2＋b2＋2ab，
即 2(a2＋b2) ≥(a＋b) 2．
(a＋b) 2≥4ab 以及 2(a2＋b2)≥(a＋b) 2 都是均值不等式的变形，
又其中 2(a2＋b2)≥(a＋b) 2 又常变形为 ．
探索新知
探索与研究
用 Excel 或其他计算机软件，完成下列数学实验：
(1) 任取多组三个正数 a，b，c，计算 和 运后，比较它们的大小，总结出一般规律；
(2) 对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地， ，
当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
当堂检测
当堂检测
B
当堂检测
D
当堂检测
C
当堂检测
当堂检测
当堂检测
C
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.均值不等式；
2.均值不等式的变式与推广.
感谢观看
祝同学新学期新气象
2.2.4均值不等式及其应用
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握均值不等式
01
掌握两个正变量的和或积为常数的最值问题
02
掌握均值不等式的实际应用
03
探索新知
给定两个正数 a，b，数 称为 a，b 的算术平均值；
数 称为 a，b 的几何平均值．
两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
探索新知
尝试与发现
(1) 假设一个矩形的长和宽分别为 a 和 b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
探索新知
尝试与发现
(2) 如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据 (1) 说出结论的几何意义．
a 1 2 4 6 8 10
b 1 4 6 8 10 12
1
1
算数平均值等于几何平均值或算数平均值大于几何平均值
探索新知
均值不等式
如果 a，b 都是正数，那么 ，
当且仅当 a＝b 时，等号成立．
证明 因为 a，b 都是正数，所以
即
而且，等号成立时，当且仅当 ，即 a＝b．
探索新知
思考：能否通过重要不等式证明均值不等式？
方法一
方法二
且
用分别代替
有：
即：
探索新知
值得注意的是，均值不等式中的 a，b 可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的 a，b 还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？
探索新知
均值不等式的几何意义
将均值不等式两边平方可得 ≥ab．
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab， 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
探索新知
想一想
你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？
周长相等的三角形中，正三角形的面积最大. 平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近圆，故圆的面积最大.
探索新知
探索与研究
如图所示半圆中，AB 为直径，O 为圆心．已知 AC＝a，BC＝b，D 为半圆上一点，且 DC⊥AB，算出 OD 和 CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？
半径
半弦
在 Rt△ABD 中，由于 DC⊥AB，利用射影定理可得
CD＝ ，又 CO＝ ，由图可知 CO≥CD，
所以 ，变形为 a＋b≥ ．
均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．
探索新知
一元二次不等式的解集
一般地，如果 x1＜x2，则不等式 (x－x1)(x－x2)＜0 的解集是(x1，x2)，
不等式 (x－x1)(x－x2)＞0 的解集是
(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
典型例题
例 1 已知 x＞0，求 y＝x＋ 的最小值，并说明 x 为何值时 y取得最小值．
典型例题
例 2 已知 ，求证 ， 并推导出等号成立的条件.
典型例题
例 3 (1) 已知矩形的面积为 100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
分析：在 (1) 中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；
解：(1) 设矩形的长与宽分别为 x 与 y，依题意得 xy＝100．
所以 2 (x＋y)≥40．
因为 x＞0，y＞0，所以 ，
因此，当矩形的长和宽都是 10 时，它的周长最短，最短周长为 40．
当且仅当 x＝y 时，等号成立，
由 ，可知此时 x＝y＝10．
典型例题
例 3 (2) 已知矩形的周长为 36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
分析：在 (2) 中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．
解： (2) 设矩形的长与宽分别为 x 与 y，
依题意得 2 (x＋y) ＝36，即 x＋y＝18．
因为 x＞0，y＞0，所以 ，
因此 ≤9，即 xy≤81．
当且仅当 x＝y 时，等号成立，由 ，可知此时 x＝y＝9．
因此，当矩形的长和宽都是 9 时，它的面积最大，最大面积为 81．
当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
例 4
典型例题
例 5 已知 a，b 是实数，求证：a2＋b2≥2ab．并说明等号成立的条件
典型例题
证明：因为 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
所以 a2＋b2－2ab≥0，即 a2＋b2≥2ab．
等号成立时，当且仅当 (a－b)2＝0，即 a＝b．
例 5 的结论也是经常要用的. 不难看出，均值不等式与例 5 的结论既有联系，又有区别. 区别在于例 5 中去掉了 a，b 是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例 5 结论的一种特殊情况.
例 6 已知a，b∈R，求证：
(1) (a＋b) 2≥4ab；
(2) 2(a2＋b2) ≥(a＋b) 2．
典型例题
证明： (1) 因为 a2＋b2≥2ab，两边同时加上 2ab，得
a2＋b2＋2ab≥4ab，
即 (a＋b)2≥4ab；
例 6 已知a，b∈R，求证：
(1) (a＋b) 2≥4ab；
(2) 2(a2＋b2) ≥(a＋b) 2．
典型例题
证明： (2) 因为 a2＋b2≥2ab，两边同时加上 a2＋b2，得
2(a2＋b2) ≥a2＋b2＋2ab，
即 2(a2＋b2) ≥(a＋b) 2．
(a＋b) 2≥4ab 以及 2(a2＋b2)≥(a＋b) 2 都是均值不等式的变形，
又其中 2(a2＋b2)≥(a＋b) 2 又常变形为 ．
探索新知
探索与研究
用 Excel 或其他计算机软件，完成下列数学实验：
(1) 任取多组三个正数 a，b，c，计算 和 运后，比较它们的大小，总结出一般规律；
(2) 对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地， ，
当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
当堂检测
当堂检测
B
当堂检测
D
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C
当堂检测
当堂检测
当堂检测
C
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.均值不等式；
2.均值不等式的变式与推广.
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祝同学新学期新气象