2.2.1不等式及其性质（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共44张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.2.1不等式及其性质（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共44张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 44.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-27 19:28:23 | ||
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文档简介
(共44张PPT)
2.2.1不等式及其性质
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
理解不等式的相关概念，掌握两个数或代数式的大小比较方法
01
理解不等式的性质，注意其成立的条件
02
应用不等式的性质解决问题时，每步都要做到等价变形
03
情境与问题
探索新知
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率 v1（单位：km/h，下同）应该满足
100≤v1≤120；
60≤v2≤100
右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率 v2 应该满足_______________．
探索新知
不等式的概念
在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具. 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
在上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”．事实上，任意给定两个实数 a，b，那么
a≥b a＞b 或 a＝b；
a≤b ____________．
a＜b 或 a＝b
探索新知
思考：怎么理解两个实数之间的大小呢？
另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小. 如下图所示的数轴中，A(a)，B(b) 不难看出
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 一般地，如果点 P 对应的数为 x，则称 x 为点 P 的坐标，并记作 P(x).
1
O
探索新知
此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离. 由此可以看出，要比较两个实数 a，b 的大小，只要考察 a－b 与 0 的相对大小就可以了，即
探索新知
不等式的性质
初中学过的不等式有哪些性质呢？
你能利用前面的知识，给出性质 1 的直观理解以及这三个性质的证明吗？
性质 1 (可加性) 如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c．
性质 2 (可乘性) 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc．
性质 3 (可乘性) 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc．
探索新知
性质1 的直观理解：
事实上，如下图所示，a＞b 是指点 A 在点 B 的右侧，a＋c 和 b＋c 表示点 A 和点 B 在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点 A' 和 B' 的相对位置，与 A 和 B 的相对位置是一样的，因此 a＋c＞b＋c.
探索新知
性质 1 (可加性) 如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c．
证明1：因为 ，
又因为 ，所以 ，从而 ，
因此，.
证明2：因为 ，
又因为 ，所以 ，而 ，
因此，，.
性质 2 (可乘性) 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc．
探究：参考以上证明方法证明性质3
探索新知
尝试与发现
你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：
(1) a＞b 是 a＋c＞b＋c 的_______条件；
(2) 如果 c＞0，则 a＞b 是 ac＞bc 的_______条件；
(3) 如果 c＜0，则 a＞b 是 ac＜bc 的_______条件．
充要
充要
充要
探索新知
不等式的性质
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.
性质 4 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c．
直观理解：
如图所示，点 A 在点 B 的右侧，点 B 在点 C 的右侧，因此点 A 必定在点 C 的右侧
探索新知
不等式的性质
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.
性质 4 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c．
证明：
因为 a－c＝(a－b)＋(b－c)，
又因为 a＞b，所以 a－b＞0；
且 b＞c，所以 b－c＞0，因此 (a－b)＋(b－c)＞0，
从而 a－c＞0，即 a＞c．
(通常称为不等关系的传递性)
探索新知
性质 4 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c．
如果性质 4 中的不等式带有等号，那么结论是否依然成立？
如果性质 4 中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的. 例如：如果 且 b＞c，那么 a＞c；
如果 a＞b 且 bc，那么 a＞c.
如果两个不等式都带有等号，那么有：
若 且 bc，则 ac，其中 a＝c 时必有 a＝b 且 b＝c，否则 a＝c 是不成立的.
探索新知
不等式的性质
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.
性质 5 a＞b b＜a．
证明：
因为
所以，
即.
(通常称为不等关系的对称性)
另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母.
例 1 比较 x2－x 和 x－2 的大小.
典型例题
解：因为 (x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2 ＝ (x－1)2＋1，
又因为 (x－1)2 ≥ 0，所以 (x－1)2+1≥1＞0，
从而 (x2－x)－(x－2)＞0，
因此 x2－x＞x－2.
例 1 的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握.
探索新知
需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例 1 的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.
在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等. 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 1 如果 a＋b＞c，那么 a＞c－b．
证明：
a＋b＞c a＋b＋(－b)＞c＋(－b) a＞c－b．
(通常称为不等式的移项法则)
推论 1 表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．
证明：
根据性质 1 有
a＞b a＋c＞b＋c，
c＞d b＋c＞b＋d，
再根据性质 4 可知 a＋c＞b＋d．
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．
(通常称为不等式的同向可加性)
我们把 a＞b 和 c＞d (或 a＜b 和 c＜d ) 这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式.
推论 2 说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 很明显，推论 2 可以推广为更一般的结论：
有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 3 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd．
证明：
(通常称为不等式的同向同正可乘性)
根据性质 2 有
再根据性质 4 可知 ac＞bd．
a＞b，c＞0 ac＞bc，
c＞d，b＞0 bc＞bd，
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 3 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd．
这个推论也可以推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.
反复使用推论 3 ，得到推论 4.
推论 4 如果 a＞b＞0，那么 an＞bn (n∈N，n＞1)．
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 5 如果 a＞b＞0，那么 ．
证明：
(通常称为不等式的可开方性)
假设，即
或 ，
根据推论 4 和二次根式的性质，得
或.
这与矛盾，因此假设不成立，从而
探索新知
尝试与发现
证明推论 5 中不等式的方法具有什么特征？
可以看出，推论 5 中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.
例 2 (1) 已知，求证：；
典型例题
证明：(1) 因为 a＞b，c＜d，所以
a＞b，－c ＞－d
根据推论 2，得
a－c＞b－d.
推论 2 如果 a＞b，c＞d，那么 a＋c＞b＋d．
典型例题
例 2 (2) 已知 a＞b，ab＞0，求证： .
证明：(2) 因为 ab＞0，所以
又因为 a＞b，所以
即 ，因此 .
典型例题
例 2 (3) 已知 a＞b＞0，0＜c＜d，求证： .
证明：
因为 0＜c＜d，根据 (2) 的结论，得
＞ ＞0.
又因为 a＞b＞0，所以根据推论 3 可知
a· ＞ b· ，
即 .
可以看出，例 2 中所使用的方法是综合法. 综合法中，最重要的推理形式为 p q，其中 p 是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.
探索新知
尝试与发现
你能证明 ＜2 吗 用综合法证明这个结论方便吗 你觉得可以怎样证明这个结论
法一：(反证法)
假设不等式 不成立，则 ，
两边平方得 ，所以 ≥5，
所以 21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立．
探索新知
尝试与发现
你能证明 ＋＜2 吗 用综合法证明这个结论方便吗 你觉得可以怎样证明这个结论
法二：
要证＜2，只需证明()2 ＜(2)2，
展开得 10＋2＜20，即 ＜5，
这只需证明 ()2 ＜52，
即 21＜25.
因为 21＜25 成立，所以＜2成立.
探索新知
上述这种证明方法通常称为分析法. 分析法中，最重要的推理形式是“要证 p，只需证明 q”，这可以表示为 pq ，其中 p 是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
＜2 的证明过程也可简写为：
因为＜2 () ＜(2) ＜5 21＜25，
又因为 21＜25 成立，所以结论成立.
典型例题
例 3 已知 m＞0，求证： ．
证明：因为 m＞0，所以 3＋m＞0，从而
又因为已知 m＞0，所以结论成立．
当堂检测
当堂检测
A
当堂检测
B
当堂检测
B
当堂检测
AC
当堂检测
AC
当堂检测
ABC
当堂检测
A>B
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.不等式的概念；
2.不等式的性质；
3.综合法、分析法和反证法.
感谢观看
祝同学新学期新气象
2.2.1不等式及其性质
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
理解不等式的相关概念，掌握两个数或代数式的大小比较方法
01
理解不等式的性质，注意其成立的条件
02
应用不等式的性质解决问题时，每步都要做到等价变形
03
情境与问题
探索新知
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率 v1（单位：km/h，下同）应该满足
100≤v1≤120；
60≤v2≤100
右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率 v2 应该满足_______________．
探索新知
不等式的概念
在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具. 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
在上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”．事实上，任意给定两个实数 a，b，那么
a≥b a＞b 或 a＝b；
a≤b ____________．
a＜b 或 a＝b
探索新知
思考：怎么理解两个实数之间的大小呢？
另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小. 如下图所示的数轴中，A(a)，B(b) 不难看出
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 一般地，如果点 P 对应的数为 x，则称 x 为点 P 的坐标，并记作 P(x).
1
O
探索新知
此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离. 由此可以看出，要比较两个实数 a，b 的大小，只要考察 a－b 与 0 的相对大小就可以了，即
探索新知
不等式的性质
初中学过的不等式有哪些性质呢？
你能利用前面的知识，给出性质 1 的直观理解以及这三个性质的证明吗？
性质 1 (可加性) 如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c．
性质 2 (可乘性) 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc．
性质 3 (可乘性) 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc．
探索新知
性质1 的直观理解：
事实上，如下图所示，a＞b 是指点 A 在点 B 的右侧，a＋c 和 b＋c 表示点 A 和点 B 在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点 A' 和 B' 的相对位置，与 A 和 B 的相对位置是一样的，因此 a＋c＞b＋c.
探索新知
性质 1 (可加性) 如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c．
证明1：因为 ，
又因为 ，所以 ，从而 ，
因此，.
证明2：因为 ，
又因为 ，所以 ，而 ，
因此，，.
性质 2 (可乘性) 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc．
探究：参考以上证明方法证明性质3
探索新知
尝试与发现
你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：
(1) a＞b 是 a＋c＞b＋c 的_______条件；
(2) 如果 c＞0，则 a＞b 是 ac＞bc 的_______条件；
(3) 如果 c＜0，则 a＞b 是 ac＜bc 的_______条件．
充要
充要
充要
探索新知
不等式的性质
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.
性质 4 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c．
直观理解：
如图所示，点 A 在点 B 的右侧，点 B 在点 C 的右侧，因此点 A 必定在点 C 的右侧
探索新知
不等式的性质
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.
性质 4 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c．
证明：
因为 a－c＝(a－b)＋(b－c)，
又因为 a＞b，所以 a－b＞0；
且 b＞c，所以 b－c＞0，因此 (a－b)＋(b－c)＞0，
从而 a－c＞0，即 a＞c．
(通常称为不等关系的传递性)
探索新知
性质 4 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c．
如果性质 4 中的不等式带有等号，那么结论是否依然成立？
如果性质 4 中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的. 例如：如果 且 b＞c，那么 a＞c；
如果 a＞b 且 bc，那么 a＞c.
如果两个不等式都带有等号，那么有：
若 且 bc，则 ac，其中 a＝c 时必有 a＝b 且 b＝c，否则 a＝c 是不成立的.
探索新知
不等式的性质
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质.
性质 5 a＞b b＜a．
证明：
因为
所以，
即.
(通常称为不等关系的对称性)
另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母.
例 1 比较 x2－x 和 x－2 的大小.
典型例题
解：因为 (x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2 ＝ (x－1)2＋1，
又因为 (x－1)2 ≥ 0，所以 (x－1)2+1≥1＞0，
从而 (x2－x)－(x－2)＞0，
因此 x2－x＞x－2.
例 1 的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握.
探索新知
需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例 1 的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.
在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等. 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 1 如果 a＋b＞c，那么 a＞c－b．
证明：
a＋b＞c a＋b＋(－b)＞c＋(－b) a＞c－b．
(通常称为不等式的移项法则)
推论 1 表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．
证明：
根据性质 1 有
a＞b a＋c＞b＋c，
c＞d b＋c＞b＋d，
再根据性质 4 可知 a＋c＞b＋d．
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．
(通常称为不等式的同向可加性)
我们把 a＞b 和 c＞d (或 a＜b 和 c＜d ) 这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式.
推论 2 说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 很明显，推论 2 可以推广为更一般的结论：
有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 3 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd．
证明：
(通常称为不等式的同向同正可乘性)
根据性质 2 有
再根据性质 4 可知 ac＞bd．
a＞b，c＞0 ac＞bc，
c＞d，b＞0 bc＞bd，
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 3 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd．
这个推论也可以推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.
反复使用推论 3 ，得到推论 4.
推论 4 如果 a＞b＞0，那么 an＞bn (n∈N，n＞1)．
探索新知
不等式的性质
下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 5 如果 a＞b＞0，那么 ．
证明：
(通常称为不等式的可开方性)
假设，即
或 ，
根据推论 4 和二次根式的性质，得
或.
这与矛盾，因此假设不成立，从而
探索新知
尝试与发现
证明推论 5 中不等式的方法具有什么特征？
可以看出，推论 5 中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.
例 2 (1) 已知，求证：；
典型例题
证明：(1) 因为 a＞b，c＜d，所以
a＞b，－c ＞－d
根据推论 2，得
a－c＞b－d.
推论 2 如果 a＞b，c＞d，那么 a＋c＞b＋d．
典型例题
例 2 (2) 已知 a＞b，ab＞0，求证： .
证明：(2) 因为 ab＞0，所以
又因为 a＞b，所以
即 ，因此 .
典型例题
例 2 (3) 已知 a＞b＞0，0＜c＜d，求证： .
证明：
因为 0＜c＜d，根据 (2) 的结论，得
＞ ＞0.
又因为 a＞b＞0，所以根据推论 3 可知
a· ＞ b· ，
即 .
可以看出，例 2 中所使用的方法是综合法. 综合法中，最重要的推理形式为 p q，其中 p 是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.
探索新知
尝试与发现
你能证明 ＜2 吗 用综合法证明这个结论方便吗 你觉得可以怎样证明这个结论
法一：(反证法)
假设不等式 不成立，则 ，
两边平方得 ，所以 ≥5，
所以 21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立．
探索新知
尝试与发现
你能证明 ＋＜2 吗 用综合法证明这个结论方便吗 你觉得可以怎样证明这个结论
法二：
要证＜2，只需证明()2 ＜(2)2，
展开得 10＋2＜20，即 ＜5，
这只需证明 ()2 ＜52，
即 21＜25.
因为 21＜25 成立，所以＜2成立.
探索新知
上述这种证明方法通常称为分析法. 分析法中，最重要的推理形式是“要证 p，只需证明 q”，这可以表示为 pq ，其中 p 是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.
＜2 的证明过程也可简写为：
因为＜2 () ＜(2) ＜5 21＜25，
又因为 21＜25 成立，所以结论成立.
典型例题
例 3 已知 m＞0，求证： ．
证明：因为 m＞0，所以 3＋m＞0，从而
又因为已知 m＞0，所以结论成立．
当堂检测
当堂检测
A
当堂检测
B
当堂检测
B
当堂检测
AC
当堂检测
AC
当堂检测
ABC
当堂检测
A>B
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.不等式的概念；
2.不等式的性质；
3.综合法、分析法和反证法.
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