2.1.3方程组的解集（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.1.3方程组的解集（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 41.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-27 19:29:54 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
2.1.3方程组的解集
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握解方程组的方法
01
判断方程组解集是有限集还是无限集
02
在特点语境中能正确列出方程组
03
知识回顾
在初中学习的常用的消元法有哪几种？
解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法.
代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；
加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元.
探索新知
尝试与发现
将 x－y＝1 看成含有两个未知数 x，y 的方程：
(1) 判断 (x，y)＝(3，2) (指的是 ，下同) 是否是这个方程的解；
(2) 判断这个方程的解集是有限集还是无限集.
因为 3－2＝1，所以 (x，y)＝(3，2) 是方程 x－y＝1 的解，而且方程x－y ＝1 的解集是无限集.
探索新知
探索新知
方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组. 方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
因此，方程组 的解集是
{(x，y) | x－y=1}∩{(x，y)| x＋y=3}={(2，1)}.
由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法.
情境与问题
探索新知
《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾田三来⑧，中禾二秉，下禾一来，实三十九斗⑤；上禾二乘，中禾三来，下禾一乘，实三十四斗；上禾一乘，中禾二秉，下禾三乘，实二十六斗．问上、中、下禾实一乘各几何．请列方程组求解这个问题．
设上禾实一秉 x 斗，中禾实一秉 y 斗，下禾实一秉 z 斗，根据题意，可列方程组
2x+3y+z ＝34
x+2y+3z ＝26
由此可解得这个方程组的解集______________.
探索新知
尝试与发现
设方程组 的解集为 A. 判断 (x，y，z)＝ (3，2，0)和 (x，y，z)＝(4，4，1) 是否是集合 A 中的元素；判断 A 是一个有限集还是一个无限集.
(z，y，z)＝(3，2，0) 和 (x，y，z)＝(4，4，1) 均为上述方程组的解，而且，如果我们将 z 看成已知数，就可以解得 x＝z＋3，y＝2z＋2，
这样一来，方程组的解集可以写成
A＝{(x，y，z) | x＝z＋3，y＝2z＋2，z ∈ R}.
不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集.
探索新知
这说明，当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
例 1 求方程组 的解集
典型例题
解：将②代入①，整理得 x2 ＋ x－2＝0，解得 x＝1 或 x＝－2.
利用②可知，x＝1 时，y＝2；x＝－2时，y＝－1.
所以原方程组的解集为
{(1,2)，(－2,－1)}.
例 2 求方程组 的解集
典型例题
观察方程组中两个方程之间的联系，给出消元的方案.
想一想
解：由①－②，整理得
x＋2y－3＝0．③
由③解得 x＝3－2y．代入①，并整理，得 5y2－12y＋7＝0，解得
y＝1 或 y＝
利用③可知，y＝1 时，x＝1；y＝ 时，x＝
因此，原方程组的解集为{ (1，1)， ( ， )}．
探索新知
用信息技术求方程和方程组的解集
利用计算机软件可求出方程和方程组的解集.
运算区 1 solve[x 2+5x+6=0]
→ {x=-3,x=-2}
2 solve[x 2+2x+3=0]
→ { }
3 solve[2 x=a,x]
→ {x= ａ }
4 solve[{x-y=1,x+y=3｝,{x,y}]
→ {{x=2,y=1}}
5 solve[{x-y+z=1,x+y-3z=5},{x,y}]
→ {{x=z+3,y=2z+2}}
6 solve[{x 2+y 2=5,y=x+1},{x,y}]
→ {{x=1,y=2},{x=-2,y=-1}}
如图所示是求解示例：
其中第2个示例中的“{ }”表示解集为空集，即不存在实数解；
第5个示例表示将 x，y 看成未知数，求解方程组
×
探索新知
拓展阅读
《九章算术》中的代数成就简介
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共 246 个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就.
代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的题是其中的第一个问题．《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下．
探索新知
拓展阅读
3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39 4 0 0 37
2 3 1 34 0 5 1 24 0 5 1 24 0 4 0 17
1 2 3 26 0 4 8 39 0 0 4 11 0 0 4 11
其中第一步是将第二行的数乘以 3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为 0 为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似．
探索新知
拓展阅读
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则．
不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元．按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠，
探索新知
拓展阅读
你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的数值求解步骤．而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开．这是意识到了无理数的存在．
当堂检测
当堂检测
A
当堂检测
C
当堂检测
BCD
当堂检测
1
8
当堂检测
－1
－3
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.方程组的解集的含义；
2.求解方程组的解集.
感谢观看
祝同学新学期新气象
2.1.3方程组的解集
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握解方程组的方法
01
判断方程组解集是有限集还是无限集
02
在特点语境中能正确列出方程组
03
知识回顾
在初中学习的常用的消元法有哪几种？
解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法.
代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；
加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元.
探索新知
尝试与发现
将 x－y＝1 看成含有两个未知数 x，y 的方程：
(1) 判断 (x，y)＝(3，2) (指的是 ，下同) 是否是这个方程的解；
(2) 判断这个方程的解集是有限集还是无限集.
因为 3－2＝1，所以 (x，y)＝(3，2) 是方程 x－y＝1 的解，而且方程x－y ＝1 的解集是无限集.
探索新知
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方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组. 方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
因此，方程组 的解集是
{(x，y) | x－y=1}∩{(x，y)| x＋y=3}={(2，1)}.
由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法.
情境与问题
探索新知
《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾田三来⑧，中禾二秉，下禾一来，实三十九斗⑤；上禾二乘，中禾三来，下禾一乘，实三十四斗；上禾一乘，中禾二秉，下禾三乘，实二十六斗．问上、中、下禾实一乘各几何．请列方程组求解这个问题．
设上禾实一秉 x 斗，中禾实一秉 y 斗，下禾实一秉 z 斗，根据题意，可列方程组
2x+3y+z ＝34
x+2y+3z ＝26
由此可解得这个方程组的解集______________.
探索新知
尝试与发现
设方程组 的解集为 A. 判断 (x，y，z)＝ (3，2，0)和 (x，y，z)＝(4，4，1) 是否是集合 A 中的元素；判断 A 是一个有限集还是一个无限集.
(z，y，z)＝(3，2，0) 和 (x，y，z)＝(4，4，1) 均为上述方程组的解，而且，如果我们将 z 看成已知数，就可以解得 x＝z＋3，y＝2z＋2，
这样一来，方程组的解集可以写成
A＝{(x，y，z) | x＝z＋3，y＝2z＋2，z ∈ R}.
不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集.
探索新知
这说明，当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.
例 1 求方程组 的解集
典型例题
解：将②代入①，整理得 x2 ＋ x－2＝0，解得 x＝1 或 x＝－2.
利用②可知，x＝1 时，y＝2；x＝－2时，y＝－1.
所以原方程组的解集为
{(1,2)，(－2,－1)}.
例 2 求方程组 的解集
典型例题
观察方程组中两个方程之间的联系，给出消元的方案.
想一想
解：由①－②，整理得
x＋2y－3＝0．③
由③解得 x＝3－2y．代入①，并整理，得 5y2－12y＋7＝0，解得
y＝1 或 y＝
利用③可知，y＝1 时，x＝1；y＝ 时，x＝
因此，原方程组的解集为{ (1，1)， ( ， )}．
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用信息技术求方程和方程组的解集
利用计算机软件可求出方程和方程组的解集.
运算区 1 solve[x 2+5x+6=0]
→ {x=-3,x=-2}
2 solve[x 2+2x+3=0]
→ { }
3 solve[2 x=a,x]
→ {x= ａ }
4 solve[{x-y=1,x+y=3｝,{x,y}]
→ {{x=2,y=1}}
5 solve[{x-y+z=1,x+y-3z=5},{x,y}]
→ {{x=z+3,y=2z+2}}
6 solve[{x 2+y 2=5,y=x+1},{x,y}]
→ {{x=1,y=2},{x=-2,y=-1}}
如图所示是求解示例：
其中第2个示例中的“{ }”表示解集为空集，即不存在实数解；
第5个示例表示将 x，y 看成未知数，求解方程组
×
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《九章算术》中的代数成就简介
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共 246 个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就.
代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的题是其中的第一个问题．《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下．
探索新知
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3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39 4 0 0 37
2 3 1 34 0 5 1 24 0 5 1 24 0 4 0 17
1 2 3 26 0 4 8 39 0 0 4 11 0 0 4 11
其中第一步是将第二行的数乘以 3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为 0 为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似．
探索新知
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《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则．
不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元．按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠，
探索新知
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你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的数值求解步骤．而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开．这是意识到了无理数的存在．
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A
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1
8
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－1
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.方程组的解集的含义；
2.求解方程组的解集.
感谢观看
祝同学新学期新气象