2.2.2不等式的解集（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.2.2不等式的解集（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 41.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-27 19:30:31 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
2.2.2不等式的解集
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握解不等式组解集的方法
01
理解绝对值的定义，借助数轴解决简单绝对值不等式
02
掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式
03
探索新知
不等式（组）的解集
定义：能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解.
不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
1.在初中不等式的解是如何定义的？
2. 怎样定义不等式的解集和不等式组的解集？
例 1 求不等式组 的解集.
典型例题
解： ① 式两边同时加上－1，得 2x≥10，
这个不等式两边同时乘以 ，得 x≥－5，
因此 ① 的解集为 [－5，＋∞).
类似地，可得 ② 的解集为 (－∞，－3).
又因为 [－5，＋∞）∩(－∞，－3) ＝[－5，－3)，
所以原不等式组的解集为 [－5，－3).
探索新知
绝对值不等式
我们知道，数轴上表示数 a 的点与原点的距离称为数 a 的绝对值，记作
| a |，而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0.
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
例如，| x |＞3，| x－1| ≤ 2 都是绝对值不等式.
探索新知
尝试与发现
(1) 你能给出 |x|>3 的解集吗？
法一（定义法）：
根据绝对值的定义可知，|x|＞3 等价于 或 ，
即 x＞3 或 x＜－3，因此 |x|＞3 的解集为
(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
探索新知
尝试与发现
(1) 你能给出 |x|>3 的解集吗？
法二（几何意义）：
不等式 |x|＞3 的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为 |x|是数轴上表示数 x 的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于 3 的点对应的所有数组成的集合就是 |x|＞3 的解集，从而由下图可知所求解集为 (－∞，－3)∪(3，＋∞)．
探索新知
尝试与发现
(2) 试总结出 m＞0 时，关于 x 的不等式 |x|＞m 和 |x|≤m 的解集．
用类似方法可知，当 m＞0 时，关于 x 的不等式 |x|＞m 的解为 x＞m 或 x＜－m，因此解集为
(－∞，－m)∪(m，＋∞)；
关于 x 的不等式 |x|≤m 的解为 －m≤x≤m，因此解集为
[－m，m] ．
探索新知
尝试与发现
你能给出 |a－1|≤2 的解集吗？
如果将 a－1 当成一个整体，比如令 x＝a－1，则
因此 |a－1|≤2 的解集可以通过求解 |x|≤2 得到，所以原不等式的解集为 [－1，3] ．
|a－1|≤2 |x|≤2，
探索新知
尝试与发现
如何利用 |a－1| 的几何意义，得出不等式 |a－1|≤2 的解集？
当 a＝－2 时，|a－1|＝|－2－1|＝3，而且在数轴上，表示－2 的点与表示 1 的点的距离是 3；当 a＝3 时，|a－1|＝|3－1|＝2，而且在数轴上，表示 3 的点与表示 1 的点的距离是 2．因此，如果数轴上表示 a 的点为 A，表示 1 的点为 B，则 A，B 之间的距离为|a－1|，如下图所示．
探索新知
尝试与发现
如何利用 |a－1| 的几何意义，得出不等式 |a－1|≤2 的解集？
这样一来，数轴上与表示 1 的点的距离小于或等于 2 的点对应的所有数组成的集合就是 |a－1|≤2 的解集，又因为数轴上与表示 1的点的距离等于 2 的点对应的数分别为 －1 和 3，因此由上图可知 |a－1|≤2 的解集为 [－1，3]．
探索新知
距离公式
一般地，如果实数 a，b 在数轴上对应的点分别为 A，B，即 A(a)，B(b)，则线段 AB 的长为
AB＝ |a－b| ，
这就是数轴上两点之间的距离公式.
探索新知
中点坐标公式
更进一步，如果线段 AB 的中点 M 对应的数为 x，则由 AM＝MB 可知
|a－x|＝|x－b| ，因此：当 a＜b 时，有 a＜x＜b，从而 x－a＝b－x，所以
x ＝ ；
当 a≥b 时，类似可得上式仍成立，这就是数轴上的中点坐标公式.
例 2 设数轴上点 A 与数 3 对应，点 B 与数 x 对应，已知线段 AB 的中点到原点的距离不大于 5，求 x 的取值范围．
典型例题
解：因为 AB 的中点对应的数为 ，
即 |3＋x|≤10，因此 －10≤3＋x≤10，
所以－13≤x≤7，因此 x 的取值范围是 [－13，7]．
所以由题意可知 ≤5
探索与研究
探索新知
求下列不等式的解集：(1) |x－1|＋|x－2|＜5；
解：(1) x＞2 时，原不等式化为 x－1＋x－2＜5，
则 x＜4，所以 2＜x＜4；
1≤x≤2 时，原不等式化为 x－1－(x－2)＜5，
即 1＜5，所以 1≤x≤2；
x＜1 时，原不等式化为 －(x－1)－(x－2)＜5，
则 x＞－1，所以－1＜x＜1．
综上：原不等式的解集为 (－1，4)．
探索与研究
探索新知
求下列不等式的解集：(1) |x－1|＋|x－2|＜5；
法二：利用绝对值的几何意义求解：设 P(x) ，A(1) ，B(2) ，原不等式表示数轴上点 P 到两点 A、B 的距离和小于 5 的点 P 的坐标范围，画出数轴可知，到 A、B 两点的距离和为 5 的点为 C(－1) 、D(4) ，当点 P 位于线段 AB 内时满足不等式，所以 －1＜x＜4，所以原不等式的解集为 (－1，4) ．
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
0
A
B
x
D
C
同学们尝试用相同的方法求解剩下的三个不等式
当堂检测
当堂检测
A
当堂检测
CD
当堂检测
D
当堂检测
A
当堂检测
A
当堂检测
[－1，3]
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.不等式的解集以及不等式组的解集；
2.解绝对值不等式；
3.两点间的距离公式以及中点坐标公式.
感谢观看
祝同学新学期新气象
2.2.2不等式的解集
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握解不等式组解集的方法
01
理解绝对值的定义，借助数轴解决简单绝对值不等式
02
掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式
03
探索新知
不等式（组）的解集
定义：能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解.
不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.
对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
1.在初中不等式的解是如何定义的？
2. 怎样定义不等式的解集和不等式组的解集？
例 1 求不等式组 的解集.
典型例题
解： ① 式两边同时加上－1，得 2x≥10，
这个不等式两边同时乘以 ，得 x≥－5，
因此 ① 的解集为 [－5，＋∞).
类似地，可得 ② 的解集为 (－∞，－3).
又因为 [－5，＋∞）∩(－∞，－3) ＝[－5，－3)，
所以原不等式组的解集为 [－5，－3).
探索新知
绝对值不等式
我们知道，数轴上表示数 a 的点与原点的距离称为数 a 的绝对值，记作
| a |，而且：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0.
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.
例如，| x |＞3，| x－1| ≤ 2 都是绝对值不等式.
探索新知
尝试与发现
(1) 你能给出 |x|>3 的解集吗？
法一（定义法）：
根据绝对值的定义可知，|x|＞3 等价于 或 ，
即 x＞3 或 x＜－3，因此 |x|＞3 的解集为
(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
探索新知
尝试与发现
(1) 你能给出 |x|>3 的解集吗？
法二（几何意义）：
不等式 |x|＞3 的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为 |x|是数轴上表示数 x 的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于 3 的点对应的所有数组成的集合就是 |x|＞3 的解集，从而由下图可知所求解集为 (－∞，－3)∪(3，＋∞)．
探索新知
尝试与发现
(2) 试总结出 m＞0 时，关于 x 的不等式 |x|＞m 和 |x|≤m 的解集．
用类似方法可知，当 m＞0 时，关于 x 的不等式 |x|＞m 的解为 x＞m 或 x＜－m，因此解集为
(－∞，－m)∪(m，＋∞)；
关于 x 的不等式 |x|≤m 的解为 －m≤x≤m，因此解集为
[－m，m] ．
探索新知
尝试与发现
你能给出 |a－1|≤2 的解集吗？
如果将 a－1 当成一个整体，比如令 x＝a－1，则
因此 |a－1|≤2 的解集可以通过求解 |x|≤2 得到，所以原不等式的解集为 [－1，3] ．
|a－1|≤2 |x|≤2，
探索新知
尝试与发现
如何利用 |a－1| 的几何意义，得出不等式 |a－1|≤2 的解集？
当 a＝－2 时，|a－1|＝|－2－1|＝3，而且在数轴上，表示－2 的点与表示 1 的点的距离是 3；当 a＝3 时，|a－1|＝|3－1|＝2，而且在数轴上，表示 3 的点与表示 1 的点的距离是 2．因此，如果数轴上表示 a 的点为 A，表示 1 的点为 B，则 A，B 之间的距离为|a－1|，如下图所示．
探索新知
尝试与发现
如何利用 |a－1| 的几何意义，得出不等式 |a－1|≤2 的解集？
这样一来，数轴上与表示 1 的点的距离小于或等于 2 的点对应的所有数组成的集合就是 |a－1|≤2 的解集，又因为数轴上与表示 1的点的距离等于 2 的点对应的数分别为 －1 和 3，因此由上图可知 |a－1|≤2 的解集为 [－1，3]．
探索新知
距离公式
一般地，如果实数 a，b 在数轴上对应的点分别为 A，B，即 A(a)，B(b)，则线段 AB 的长为
AB＝ |a－b| ，
这就是数轴上两点之间的距离公式.
探索新知
中点坐标公式
更进一步，如果线段 AB 的中点 M 对应的数为 x，则由 AM＝MB 可知
|a－x|＝|x－b| ，因此：当 a＜b 时，有 a＜x＜b，从而 x－a＝b－x，所以
x ＝ ；
当 a≥b 时，类似可得上式仍成立，这就是数轴上的中点坐标公式.
例 2 设数轴上点 A 与数 3 对应，点 B 与数 x 对应，已知线段 AB 的中点到原点的距离不大于 5，求 x 的取值范围．
典型例题
解：因为 AB 的中点对应的数为 ，
即 |3＋x|≤10，因此 －10≤3＋x≤10，
所以－13≤x≤7，因此 x 的取值范围是 [－13，7]．
所以由题意可知 ≤5
探索与研究
探索新知
求下列不等式的解集：(1) |x－1|＋|x－2|＜5；
解：(1) x＞2 时，原不等式化为 x－1＋x－2＜5，
则 x＜4，所以 2＜x＜4；
1≤x≤2 时，原不等式化为 x－1－(x－2)＜5，
即 1＜5，所以 1≤x≤2；
x＜1 时，原不等式化为 －(x－1)－(x－2)＜5，
则 x＞－1，所以－1＜x＜1．
综上：原不等式的解集为 (－1，4)．
探索与研究
探索新知
求下列不等式的解集：(1) |x－1|＋|x－2|＜5；
法二：利用绝对值的几何意义求解：设 P(x) ，A(1) ，B(2) ，原不等式表示数轴上点 P 到两点 A、B 的距离和小于 5 的点 P 的坐标范围，画出数轴可知，到 A、B 两点的距离和为 5 的点为 C(－1) 、D(4) ，当点 P 位于线段 AB 内时满足不等式，所以 －1＜x＜4，所以原不等式的解集为 (－1，4) ．
1
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A
B
x
D
C
同学们尝试用相同的方法求解剩下的三个不等式
当堂检测
当堂检测
A
当堂检测
CD
当堂检测
D
当堂检测
A
当堂检测
A
当堂检测
[－1，3]
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.不等式的解集以及不等式组的解集；
2.解绝对值不等式；
3.两点间的距离公式以及中点坐标公式.
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祝同学新学期新气象