2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共27张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系（教学课件）——高中数学人教B版（2019）必修第一册（共27张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 58.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-27 19:32:14 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
2.1.2一元二次方程的解集及其
根与系数的关系
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
理解一元二次方程的相关概念
01
掌握一元二次方程的根的判断方法，会解一元二次方程，会用韦达定理求两根的关系式的值
02
探索新知
尝试与发现
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．
根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中 A 点代表北门，B 处是木，C 点代表南门，而且 AB＝20，CD＝14，DE＝_______．
A
B
C
D
E
F
探索新知
如果设正方形的边长为 x．则有 AF＝ ，DB＝20＋x＋14＝x＋34．
根据 △ABF∽△DBE 可知 ，从而 AF·DB＝AB·DE，因此
整理得 x2＋34x－71000＝0，你会解这个方程吗？
A
B
C
D
E
F
探索新知
我们知道，形如 ax2＋bx＋c＝0 的方程为一元二次方程，其中 a，b，c 是常数，且 a≠0.
从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
探索新知
尝试与发现
你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．
不难知道，如果一个一元二次方程可以化为 x2＝t 的形式，其中 t 为常数，那么这个方程的解集是容易获得的.
例如，方程 x2＝3 的解集为{，}，方程 x2＝0 的解集为{0}，方程 x2＝2 的解集为 .
探索新知
一元二次方程的解集
一般地，方程 x2＝t :
（1）当 t＞0 时，解集为 ；
（2）当 t＝0 时，解集为 ；
（3）当 t＜0 时，解集为 .
{}
{0}
探索新知
更进一步，形如 (xk)2＝t (其中 k，t 是常数) 的一元二次方程的解集也容易得到.
例如，由 (x1)2＝2 可知 x1＝ 或 x1＝，从而 x＝1或 x＝1，因此解集为 {1，1}.
探索新知
一元二次方程的解集
一般地，方程 (xk)2＝t:
（1）当 t＞0 时，解集为 ；
（2）当 t＝0 时，解集为 ；
（3）当 t＜0 时，解集为 .
{k，k+}
{k}
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为 (xk)2＝t 的形式，就可得到方程的解集.
探索新知
尝试与发现
怎样将 x2＋2x＋3＝0 化为 (x－k)2＝t 的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集．
我们知道，利用配方法可得
x2 ＋ 2x ＋ 3＝ x2 ＋ 2x ＋ 1＋2 ＝ (x ＋ 1)2 ＋ 2，
因此，x2＋ 2x ＋ 3＝0 可以化为 (x ＋1)2 ＝ －2，从而可知解集为 .
探索新知
事实上，利用配方法，总是可以将 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 化为 (x－k)2＝t 的形式，过程如下：因为a≠0，所以
因此， ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 可以化为
.
探索新知
一元二次方程的解集
从而可知，Δ＝b2－4ac 的符号情况决定了上述方程的解集情况：
（1）当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程的解集为
（2）当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程的解集为
（3）当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程的解集为 ．
一般地，Δ＝b2－4ac 称为一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 (a≠0)的判别式. 由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定.
例 1 求方程 的解集
典型例题
分析 这不是一个一元二次方程，但是通过把 看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.
解：设，则≥0，且原方程可变为 ，
因此可知 或 （舍）.
从而 ，即 ，
所以原方程的解集为 .
探索新知
一元二次方程根与系数的关系
我们知道，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
计算 x1＋x2 和 x1x2 的值，并填空：
例 2 已知一元二次方程 2x2＋3x－4＝0 的两根为 x1 与 x2，求下列各式的值：
(1) x12＋x22； (2) |x1－x2|.
典型例题
解：由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝ ，x1x2＝－2，
(1) 由上有 x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝( )2－2×(－2)
(2) 因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝( )2－4×(－2)
所以 |x1－x2|＝ ．
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B
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C
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B
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－1
－1
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.一元二次方程的解集；
2.一元二次方程根与系数的关系.
感谢观看
祝同学新学期新气象
2.1.2一元二次方程的解集及其
根与系数的关系
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
理解一元二次方程的相关概念
01
掌握一元二次方程的根的判断方法，会解一元二次方程，会用韦达定理求两根的关系式的值
02
探索新知
尝试与发现
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．
根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中 A 点代表北门，B 处是木，C 点代表南门，而且 AB＝20，CD＝14，DE＝_______．
A
B
C
D
E
F
探索新知
如果设正方形的边长为 x．则有 AF＝ ，DB＝20＋x＋14＝x＋34．
根据 △ABF∽△DBE 可知 ，从而 AF·DB＝AB·DE，因此
整理得 x2＋34x－71000＝0，你会解这个方程吗？
A
B
C
D
E
F
探索新知
我们知道，形如 ax2＋bx＋c＝0 的方程为一元二次方程，其中 a，b，c 是常数，且 a≠0.
从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
探索新知
尝试与发现
你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．
不难知道，如果一个一元二次方程可以化为 x2＝t 的形式，其中 t 为常数，那么这个方程的解集是容易获得的.
例如，方程 x2＝3 的解集为{，}，方程 x2＝0 的解集为{0}，方程 x2＝2 的解集为 .
探索新知
一元二次方程的解集
一般地，方程 x2＝t :
（1）当 t＞0 时，解集为 ；
（2）当 t＝0 时，解集为 ；
（3）当 t＜0 时，解集为 .
{}
{0}
探索新知
更进一步，形如 (xk)2＝t (其中 k，t 是常数) 的一元二次方程的解集也容易得到.
例如，由 (x1)2＝2 可知 x1＝ 或 x1＝，从而 x＝1或 x＝1，因此解集为 {1，1}.
探索新知
一元二次方程的解集
一般地，方程 (xk)2＝t:
（1）当 t＞0 时，解集为 ；
（2）当 t＝0 时，解集为 ；
（3）当 t＜0 时，解集为 .
{k，k+}
{k}
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为 (xk)2＝t 的形式，就可得到方程的解集.
探索新知
尝试与发现
怎样将 x2＋2x＋3＝0 化为 (x－k)2＝t 的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集．
我们知道，利用配方法可得
x2 ＋ 2x ＋ 3＝ x2 ＋ 2x ＋ 1＋2 ＝ (x ＋ 1)2 ＋ 2，
因此，x2＋ 2x ＋ 3＝0 可以化为 (x ＋1)2 ＝ －2，从而可知解集为 .
探索新知
事实上，利用配方法，总是可以将 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 化为 (x－k)2＝t 的形式，过程如下：因为a≠0，所以
因此， ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 可以化为
.
探索新知
一元二次方程的解集
从而可知，Δ＝b2－4ac 的符号情况决定了上述方程的解集情况：
（1）当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程的解集为
（2）当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程的解集为
（3）当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程的解集为 ．
一般地，Δ＝b2－4ac 称为一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 (a≠0)的判别式. 由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定.
例 1 求方程 的解集
典型例题
分析 这不是一个一元二次方程，但是通过把 看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.
解：设，则≥0，且原方程可变为 ，
因此可知 或 （舍）.
从而 ，即 ，
所以原方程的解集为 .
探索新知
一元二次方程根与系数的关系
我们知道，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
计算 x1＋x2 和 x1x2 的值，并填空：
例 2 已知一元二次方程 2x2＋3x－4＝0 的两根为 x1 与 x2，求下列各式的值：
(1) x12＋x22； (2) |x1－x2|.
典型例题
解：由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝ ，x1x2＝－2，
(1) 由上有 x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝( )2－2×(－2)
(2) 因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝( )2－4×(－2)
所以 |x1－x2|＝ ．
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B
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C
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B
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－1
－1
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.一元二次方程的解集；
2.一元二次方程根与系数的关系.
感谢观看
祝同学新学期新气象