江苏省南京市六校联合体考试2024-2025学年高二下学期6月期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024－2025 学年高二第二学期六校联合体期末考试
高二数学
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．设集合 M＝{1，0，2a}，N＝{1，a2}，且 N M，则实数 a的值是 ( )
A． －2 B． 0 C． 1 D． 2
2．设 x∈R，则“cosx＝1”是“sinx＝0”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知 x＞0，y＞0，且 4x＋y－xy＝0，则 x＋y的最小值为 ( )
A．8 B． 9 C．10 D． 11
x·cosx
4．函数 f(x)＝
e|x
的图象大致为 ( )
|
A． B． C． D．
a b
5．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下： |c d|＝ad
2a3 a3－a2
－bc，已知 Sn是等比数列{an}的前 n项和，若| a4 a3－a |＝0，a1＝1，q≠1，则 S7＝ ( )2
A．31 B．63 C．127 D．255
6．抛物线 C的顶点为坐标原点，焦点在 x轴上，直线 x＝3交 C于 M，N两点，C的准线交 x轴于点 P，
若 PM⊥PN，则 C的方程为 ( )
A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝12x
7．将各位数字之和为 6的三位数叫“幸运数”，比如 123，402，则所有“幸运数”的个数为 ( )
A．19 B．20 C．21 D．22
8．已知函数 f(x)及其导函数 f '(x)的定义域均为 R，记 g(x)＝f '(x)，已知 f(2x＋1)和 g(x＋2)都是偶函数，且
2025
g(2)＝1，则 ∑ g(k)的值为 ( )
k＝0
A．1 B．－1 C．2025 D．－2025
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0分．
9．已知函数 f(x)＝3sin(ωx π π－ )，其中ω＞0，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为 ，则下列说法正确的是
6 2
( )
A．ω＝2
B π．函数图象关于点( ，0)对称
24
C π．函数在区间[0， ]单调递增
6
D．函数的图象可以由 y＝3sinωx π的图象向右平移 个单位得到
6
10．下列等式正确的是 ( )
10 10
A．∑C1k0＝210 B．∑C2k＝C311
k＝1 k＝2
10 10
C．∑(－1)kCk k 110＝0 D．∑ ＝1－
k＝1 k＝1(k＋1)! 11!
2 2
11．已知双曲线 C x y： － ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F
2 2 1
、F2，过 F2作斜率为
a b
－ 15的直线与双曲线的右支交于 A、B两点(A在第一象限)，|AB|＝|BF1|，P为线段 AB的中点，O
为坐标原点，则下列说法正确的是 ( )
A．|AF1|＝2|AF2| B．双曲线 C的离心率为 2
C．直线 OP 15的斜率为－ D．△AF1F2的面积为 2 15a2
5
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．圆 x2＋y2＝1与圆 x2＋y2－6x－8y＋9＝0的公切线的条数是____▲____条．
— —
13．设 A 1 1，B是一个随机试验中的两个随机事件，且 P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(A＋B) 3＝ ，则 P(B|A)＝___▲_____．
3 2 4
14．已知实数 x，y，z均小于 1，且满足 ex－elog23＝e·(x－log23)，ey－elog35＝e·(y－log35)，
ez－elog58＝e·(z－log58)，其中 e为自然对数的底数．则 x，y，z的大小关系是___▲____．
(用“＜”连接)
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本题满分 13分)
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为 C1C，BC的中点．
(1)求证：A1B⊥B1C；
(2)求直线 A1B与平面 AEF所成角的余弦值．
16．(本题满分 15分)
某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取 10
箱进行检测，其中有 6箱为一等品．
(1)现从这 10箱产品中随机抽取 3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率；
(2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取 3箱，用 X表示抽到一等品的箱数，求 X的分布列和数学
期望．
17．(本题满分 15分)
2 2
已知椭圆 C x y 1(a b 0) 3： ＋ ＝ ＞ ＞ 的离心率为 ，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为 4．
a2 b2 2
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)记椭圆 C的左顶点为 A，右顶点为 B，过点 B作不垂直于坐标轴的直线 l交椭圆于另一点 G，过点 A
l H →BG 2→作 的垂线，垂足为 ，且 ＝ BH，求直线 l的方程．
5
18．(本题满分 17分)
已知 f(x)＝a·ex－x．
(1)求 f(x)在 x＝0处的切线方程；
(2)求 f(x)的单调区间；
(3)若方程 a·ex－x＝0有两个不相等的实数根 x1，x2，且 x1＜x2，求证：(1－a)·x1＞a．
19．(本题满分 17分)
已知数列{an}的前 n项和为 Sn，若存在常数λ(λ＞0)，使得λan≥Sn＋1对任意 n∈N*都成立，则称数列{an}
具有性质 M(λ)．
(1)若数列{an}的通项公式 an＝－2n＋1，求证：数列{an}具有性质 M(3)；
(2)设数列{an}的各项均为正数，且{an}具有性质 M(λ)．
①若数列{an}是公比为 q的等比数列，且λ＝4，求 q的值；
②求λ的最小值．
2024－2025 学年高二第二学期六校联合体期末考试
高二数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C C D C B
二、多选题
9 10 11
AC BD ABC
三、填空题
12 13 14
1
3 4 x＜y＜z
四、解答题
15.(1)证明：连接 AB1，
因为三棱柱 ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以 AA1⊥平面 ABC，
又 AC 平面 ABC，所以 AC⊥AA1，
又 AC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB，AA1 平面 ABA1，所以 AC⊥平面 ABA1，
又 A1B 平面 ABA1，则 A1B⊥AC，··································································· 2分
因为在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，所以四边形 ABB1A1为正方形，
所以 A1B⊥AB1，···························································································4分
因为 AC∩AB1＝A，AC、AB1 平面 ACB1，所以 A1B⊥平面 ACB1，·························5分
又 B1C 平面 ACB1，则 A1B⊥B1C．·································································· 6分
(2)因为直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
所以 AB，AC，AA1两两垂直，
所以以 A为原点，分别以 AB，AC，AA1所在的直线为 x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，
→
所以A1B＝(2，0，－2)，················································································ 8分
→AE＝(0，2，1) →，AF＝(1，1，0)．
n·→AE＝2b＋c＝0
设平面 AEF的一个法向量为 n＝(a，b，c)，则
n·→
，
AF＝a＋b＝0
令 a＝1可得 n＝(1，－1，2)．······································································ 10分
设 A1B与平面 AEF所成角为θ，
|n·A→1B| 2
所以 sinθ＝|cos＜n → 3，A1B＞|＝ ＝ ＝ ，······················12分→
|n||A1B| 4＋4× 1＋1＋4 6
即 A1B与平面 AEF 3成角的正弦值为 ，
6
所以 A1B与平面 AEF
33
成角的余弦值为 ．······················································13分
6
16．解：(1)记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件 A，·····································1分
C2 1P(A) 6C4 60 1则 ＝ 3 ＝ ＝ ．··············································································· 4分C10 120 2
(2) 6 3由题意，任取一个，取到一等品的概率为 ＝ ，············································5分
10 5
3
因为 X可能的取值为 0，1，2，3，且 X服从二项分布(3， )
5
所以 P(X＝0) 2＝( )3 8＝ ，··············································································7分
5 125
P(X 1) C13·(2)2 36＝ ＝ 3 ＝ ，···············································································9分
5 5 125
P(X＝2) C2(3＝ 3 )22 54＝ ，·············································································· 11分
5 5 125
P(X＝3)＝(3)3 27＝ ，···················································································13分
5 125
3 9
数学期望 E(X)＝3× ＝ ．············································································ 15分
5 5
17．(1) 1由题意：S＝ ·2a·2b＝4，所以 ab＝2，····················································1分
2
c 3
又因为 ＝ ，
a 2
所以 a＝2，b＝1，························································································3分
x2
所以椭圆的方程： ＋y2＝1．········································································· 4分
4
(2)由题意，设直线 l的方程为 y＝k(x－2)，
y＝k(x－2)
由 2 2 2 2x2 4y2 4 ，可得(1＋4k )x －16k x＋16k －4＝0，＋ ＝
2 16k
2 8k2－2 －4k
因为 ＋xG＝ ，所以 xG＝ ，代入直线方程可得 yG＝ .···················· 7分
1＋4k2 1＋4k2 1＋4k2
（注：写出完整坐标或一个坐标分量都得 3分）
过点 B与 l 1垂直的直线方程为 y＝－ (x＋2)，
k
y 1＝－ (x＋2)
k 2k2－2 －4k由 可得 xH＝ ，yH＝ ，··············································· 10分
y＝k(x－2) k2＋1 k2＋1
（注：写出完整坐标或一个坐标分量都得 3分）
→
因为BG 2→ 2＝ BH，所以(xG－2，yG)＝ (xH－2，yH)
5 5
法一：x 2 2G－ ＝ (xH－2)，·············································································· 11分
5
8k2－2 2 2k2－2
所以 －2＝ ·( －2)，解得 k＝±1，··················································13分
1＋4k2 5 k2＋1
所以直线 l的方程：y＝x－2或 y＝－x＋2．····················································· 15分
2
法二：yG＝ yH，························································································· 11分
5
－4k 2 4k
所以 ＝ ·(－ )，解得 k＝±1，························································· 13分
1＋4k2 5 1＋k2
所以直线 l的方程：y＝x－2或 y＝－x＋2．····················································· 15分
y＝k(x－2)
2
(注：如果先证一个结论：k 1AG·kBG＝－ ，因为 kBG＝k k
1 1 8k －2 －4k， AG＝－ ，由
4 4k y＝－ (x＋2)
可得 G( ， )，
k 1＋4k2 1＋4k2
酌情给分)
18．(1)因为 f '(x)＝a·ex－1，所以 f '(0)＝a－1，···················································2分
又因为 f(0)＝a，
所以 f(x)在 x＝0处的切线方程为 y－a＝(a－1)x，即 y＝(a－1)x＋a．·······················4分
(2)因为 f '(x)＝a·ex－1，
①若 a≤0，则 f '(x)＜0恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，无增区间．········ 7分
②若 a＞0，令 f '(x)＞0得 x＞－lna，令 f '(x)＜0得 x＜－lna，所以 f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，
＋∞)单调递增．························································································· 10分
(注：没写综上不扣分，a＝0单独写不扣分，a＝0漏掉扣 1分)
(3)若 a≤0，由(2)知 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，方程至多有一个实根，不符题意，
所以 a＞0．······························································································· 11分
x
法 1．由题意知 a·ex1＝x1，所以 a
1
＝ x，且 x1 1＞0．e
x
要证(1－a)x1＞a，只要证(1－a)·ae
x1
＞a x1 1 x1 x1，只要证(1－a)·e ＞1，只要证(1－ x )·e ＞1，只要证 e －x1 1＞1．e
··············································································································· 14分
令 g(x)＝ex－x－1，x＞0，g '(x)＝ex－1＞0，
所以 g(x)在(0，＋∞)单调增，g(x)＞g(0)＝0，
因为 x x11＞0，所以 g(x1)＞0，即 e －x1＞1，
所以(1－a)x1＞a得证．················································································ 17分
法 2．由(2)得 f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增，
所以 f(－lna)＝1＋lna 1＜0，所以 0＜a＜ ．
e
a a
因为 ＜1＜－lna，所以 x1， ∈(－∞，－lna)，
1－a 1－a
a a
要证(1－a)x1＞a，只要证 x1＞ ，只要证 f(x1)＜f( )
a
，只要证 f( )＞0．
1－a 1－a 1－a
a a a
而 f( )＝a·e a1－a－ ＝a·(e 11－a－ )，······················································ 14分
1－a 1－a 1－a
令 g(x)＝ex－x－1，x＞0，g '(x)＝ex－1＞0，
所以 g(x)在(0，＋∞)单调增，g(x)＞g(0)＝0，
a a 1
所以 x＞0时，ex－x－1＞0恒成立，令 x＝ 得 e1－a－ ＞0，
1－a 1－a
a
所以 f( )＞0．
1－a
所以(1－a)x1＞a得证．················································································ 17分
19．(1)设由数列{an}的通项公式，an＝－2n＋1，S
(－1－2n＋1)n
n＝ ＝－n2，············ 2分
2
于是 3an－Sn＋1＝3(－2n＋1)＋(n＋1)2＝(n－2)2≥0，
即 3an≥Sn＋1，
所以数列{an}具有性质 M(3)．········································································· 4分
(2)①由数列{an}具有性质 M(4)，得 4an≥Sn＋1，又等比数列{an}的公比为 q，
若 q＝1，则 4a1≥(n＋1)a1，解得 n≤3，与 n为任意正整数相矛盾；·······················5分
n＋1 n＋1
当 q≠1时，4a1qn－1 a ·
1－q
≥ 1 ，而 a 0 4qn－1
1－q
n＞ ，整理得 ≥ ，
1－q 1－q
0 q 1 qn－1 1若 ＜ ＜ ，则 ≥ ，解得 n＜1＋log 1q ，与 n∈N*矛盾；················· 6分
(q－2)2 (q－2)2
n－1 n－1
若 q＞1，则 q (q－2)2≤1，当 q＝2时，q (q－2)2≤1恒成立，满足题意；···········7分
当 q＞1且 q≠2时，qn－1 1 1≤ ，解得 n＜1＋logq ，与 n∈N*矛盾；··········· 8分
(q－2)2 (q－2)2
所以 q＝2．·································································································9分
②由λan≥Sn＋1，得λan＋1≥Sn＋2，即λ(Sn＋1－Sn)≥Sn＋2，··········································11分
因此λSn＋1≥λSn＋Sn＋2≥2 λS S
Sn＋2 λ Sn＋1
n n＋2，即 ≤ · ，············································13分
Sn＋1 4 Sn
Sn＋1 λ· Sn (λ)2·Sn－1 (λ)n－1则有 ≤ ≤ ≤…≤ ·S2，····················································· 15分
Sn 4 Sn－1 4 Sn－2 4 S1
λ n－1S λ n－1 S
由数列{an}各项均为正数，得 S 2n＜Sn＋1，从而 1＜( ) ，即( ) ＞ 1，4 S1 4 S2
若 0＜λ＜4，则 n 1 log S＜ ＋ 1λ ，与 n∈N*矛盾，··················································16分
4S2
λ 4 (λ)n－1 1n－1 S1因此当 ≥ 时， ≥ ＞ 恒成立，符合题意，
4 S2
所以λ的最小值为 4．··················································································· 17分