(共26张PPT)
3.1.3函数的奇偶性
（第1课时）
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
了解函数的奇偶性
01
会用定义判断简单函数的奇偶性
02
知识回顾
初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点 (x ， y) 关于 y 轴的对称点为 (－x ， y)，关于原点的对称点为 (－x ，－y). 例如，(－2 ， 3) 关于 y 轴的对称点为________，关于原点的对称点为_________.
(2 , 3)
(2 ,－3)
探索新知
尝试与发现
填写下表，观察指定函数的自变量 x 互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．
x … －2 －1 0 1 2 …
… …
… …
4
4
1
0
1
1
0
1
当自变量取互为相反数的两个值 x 与 －x 时，对应的函数值相等，即
探索新知
偶函数
一般地，设函数 y＝f (x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有－x ∈ D，且 f (－x)＝f (x)，则称 y＝ f (x) 为偶函数.
如果 y＝f (x) 是偶函数，其图象具有什么特征呢
探索新知
如图所示，是尝试与发现中两个函数的图象.
从图像上可以看出关于 y 轴对称，那么一般的偶函数的图象是否都具有这一特点呢？
我们知道，点 P( x，f ( x )) 与 Q( －x，f (－x )) 都是函数 y＝f ( x ) 图象上的点，按照偶函数的定义，点 Q 又可以写成 Q( －x，f ( x ))，因此点 P 和点 Q 关于 y 轴对称．
结论：偶函数的图象关于 y 轴对称（即偶函数图象关于直线 x＝0 对称）；反之，结论也成立，即图象关于 y 轴对称的函数一定是偶函数．
探索新知
尝试与发现
按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图象的特征：
一般地，设函数 y＝f (x) 的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有－x ∈ D，且 f (－x)＝－f (x)，则称 y＝ f (x) 为奇函数.
奇函数的图象关于________对称.
原点
探索新知
奇函数的图象特征也可按照下述方式得到：点 P(x ， f (x)) 与 Q(－x，f (－x)) 都是函数 y＝ f (x) 图象上的点，如果 y＝ f (x) 是奇函数，则点 Q 又可以写成 Q(－x，－f (x)) ，因此点 P 和点 Q 关于原点对称．
结论：奇函数的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
如图所示，是奇函数 和 的图象.
探索新知
如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.
可以看出，当 n 是正整数时，函数 是偶函数，函数 是奇函数.
典型例题
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x ∈ [－1 ， 3].
解：(1) 因为函数的定义域为 R，所以 x∈R 时，－x∈R．
又因为
f (－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5
＝－(x＋x3＋x5)＝－f (x)，
所以函数 f (x)＝x＋x3＋x5是奇函数．
典型例题
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x ∈ [－1 ， 3].
解：(2) 因为函数的定义域为 R，所以 x∈R 时，－x∈R．
又因为
f (－x)＝ (－x)2＋1＝x2＋1＝f (x)，
所以函数 f (x)＝x2＋1 是偶函数
典型例题
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x ∈ [－1 ， 3].
解：(3) 因为函数的定义域为 R，所以 x∈R 时，－x∈R
又因为 f (－1)＝0，f (1)＝2，所以
f (－1)≠－f (1) 且 f (－1)≠f (1)，
因此函数 f (x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数（也可说成
f (x)是非奇非偶函数）．
典型例题
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x ∈ [－1 ， 3].
解： (4) 因为函数的定义域为[－1，3]，
而 3∈[－1，3]，
但－3 [－1，3]，
所以函数 f (x)＝x2，x∈[－1，3] 是非奇非偶函数．
本例说明，设函数 f (x) 的定义域为 D，如果存在 x0 ∈ D，但 －x0 D，即函数 f (x) 的定义域不关于原点对称，则 f (x) 既不是奇函数也不是偶函数.
探索新知
判断一个函数的奇偶性步骤：
第一步看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看 f (－x)与f (x)的关系：对定义域内任一 x 都有 f (－x)＝f (x)，则 f (x) 是偶函数；对定义域内任一 x 都有 f (－x)＝－f (x)，则 f (x) 是奇函数．
若存在一个 x0∈D，有 －x0∈D，但 f (－x0)≠－f (x0) 且 f (－x0) ≠ f (x0)，则 f (x)是非奇非偶函数．
典型例题
例 2 已知奇函数 f (x) 的定义域为 D，且 0 ∈ D，求证：f (0)＝ 0.
证明：因为 f (x) 是奇函数，所以 f (－0)＝－f (0)，
即 f (0)＝－f (0)，所以 2 f (0)＝0，因此 f (0)＝0.
奇函数在 0 处如果有定义，则 0 处的函数值为 0．
当堂检测
当堂检测
C
当堂检测
C
当堂检测
B
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A
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当堂检测
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.偶函数的概念及图象特征；
2.奇函数的概念及图象特征；
3.函数按照奇偶性的分类.
感谢观看
祝同学新学期新气象(共26张PPT)
3.1.3函数的奇偶性
（第2课时）
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握函数的奇偶性的应用
01
理解函数的奇偶性与单调性之间的关系
02
探索新知
尝试与发现
因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究. 如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象.
已知函数 f (x) 满足 f (5)＝－3，分别在条件“f (x) 是偶函数”与“f (x) 是奇函数”下求出 f (－5) 的值．
如果 f (x) 是偶函数，则 f (－5) ＝f (5) ＝－3；
如果 f (x) 是奇函数，则 f (－5) ＝－f (5) ＝3．
典型例题
例 3 已知函数 f (x) 满足 f (5)＜f (3)，分别在下列各条件下比较 f (－5)与 f (－3)的大小：
（1） f (x) 是偶函数； （2）f (x) 是奇函数.
解：(1) 因为 f (x) 是偶函数，所以 f (－x)＝f (x) ，
因此 f (－5)＝f (5) ， f (－3)＝ f (3)，
从而由条件可知 f (－5) ＜ f (－3).
典型例题
例 3 已知函数 f (x) 满足 f (5)＜f (3)，分别在下列各条件下比较 f (－5)与 f (－3)的大小：
（1） f (x) 是偶函数； （2）f (x) 是奇函数.
解：(2) 因为 f (x) 是奇函数，所以 f (－x)＝－f (x) ，
因此 f (－5)＝－f (5) ， f (－3)＝－f (3)，
又由条件可知－f (5)＞－f (3)，从而 f (－5)＞f (－3).
例 3 说明：当 f (x) 具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律.
探索新知
尝试与发现
已知函数 y＝f (x) 是偶函数， y＝g (x) 是奇函数，且它们的部分图象如图所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律.
如果 y＝f (x) 是偶函数，那么其在 x＞0 与 x＜0 时的单调性相反；
如果 y＝f (x) 是奇函数，那么其在 x＞0 与 x＜0 时的单调性相同．
典型例题
例 4 研究函数 的性质，并作出函数图象.
解：要使函数表达式有意义，需有 x≠0，
因此函数的定义域为 D＝{x ∈ R | x≠0}，
从而可知函数的图象有左右两部分.
设 f (x)＝，则对任意 x ∈ D，都有－x∈ D，而且
所以函数 y＝ 是偶函数，函数的两部分图象关于 y 轴对称.
典型例题
例 4 研究函数 的性质，并作出函数图象.
下面研究函数在区间 (0，＋∞) 上的性质及图象．
因为x1，x2∈（0，＋∞）时，有
所以函数图象在右边的部分一定在第一象限．
所以 在 (0，＋∞) 上是减函数，
又因为 x∈(0，＋∞) 时，
典型例题
例 4 研究函数 的性质，并作出函数图象.
列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图．
x 1 2 3
4 1
再根据函数是偶函数，可以得出函数的图象如图所示，而且函数的定义域为{ x∈R | x≠0 }，函数是偶函数，在 (－∞，0) 上单调递增，在 (0，＋∞) 上单调递减，函数的值域是 (0，＋∞) ．
探索新知
尝试与发现
初中时，我们就在观察图象的基础上总结出过这个结论，但当时并没有给出严格的证明. 为了证明函数的图象关于 x＝0（即 y 轴）对称，只需证明 x 轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的图象关于 x＝－2 对称呢
如图所示，已知数轴上的 A，B 两点关于－2 对应的点对称，而且点 A 的坐标是 －2＋h，则点 B 的坐标是_________.
－2－h
典型例题
例 5 求证：二次函数 f (x)＝ x ＋4x＋6 的图象关于 x＝－2 对称.
证明：任取 h∈R，因为
f (－2＋h)＝(－2＋h)2＋4(－2＋h)＋6＝h2＋2，
f (－2－h)＝(－2－h)2＋4(－2－h)＋6＝h2＋2，
所以 f (－2＋h)＝f (－2－h)，这就说明函数的图象关于x＝－2对称．
探索新知
由例 5 可知，要证明函数图象关于垂直于 x 轴的直线对称并不难，以上题所示的二次函数为例，注意到 f (x)＝ x ＋4x＋6 ＝ (x＋2)2＋2，由此就容易得到 f (－2＋h)＝ f (－2－h )，从而可知 f (x) 图象的对称轴为 x＝－2 .
一般地，通过函数变换可得到如下结论：
这就是说，所有图象关于直线 x＝a (a≠0) 对称的函数，都可以由偶函数经过平移得到；所有图象关于某一个点 (不是原点) 对称的函数，都可以由奇函数经过平移得到．
(1) 函数 f (x) 的图象关于 x＝a 对称，当且仅当 f (x＋a) 为偶函数；
(2) 函数 f (x) 的图象关于 (a，b) 对称，当且仅当 f (x＋a)－b 为奇函数．
探索与研究
探索新知
(1) 如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？
(2) 怎样才能证明函教的图象关于点 (3，0) 对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点 (a，b) 对称？
(1) 如果一个函数是奇函数，那么其值域一定关于原点对称．更进一步，此时如果函数在 x0 处取得最大值 M，那么该函数在－x0 处取得最小值－M．
探索与研究
探索新知
(1) 如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？
(2) 怎样才能证明函教的图象关于点 (3，0) 对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点 (a，b) 对称？
(2) 设函数 f (x) 的定义域为 D； 如果对于任意的 3－x∈D，都有
3＋x∈D，且 f (3－x)＝－ f (3＋x)，那么函数 f (x)的图象关于点
(3，0) 对称；如果对于任意的 a－x∈D，都有 a＋x∈D． 且
f (a－x)＋f (a＋x)＝2b，那么函数 f (x) 的图象关于点 (a，b) 对称．
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B
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C
当堂检测
B
当堂检测
AD
当堂检测
当堂检测
当堂检测
(－∞,－2)∪(0,2)
当堂检测
当堂检测
本节课学习了哪些知识点呢？
1.函数奇偶性的应用；
2.函数的奇偶性与单调性的关系.
感谢观看
祝同学新学期新气象
