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3.1.2函数的单调性
（第2课时）
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握函数的平均变化率
01
理解平均变化率的几何意义
02
理解函数的单调性与平均变化率的关系
03
探索新知
两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立.
设直线 AB： 任意两点 ，()，则有 , .
两式作差整理得，斜率
.
若记 ，则斜率可记为
直线 AB 的斜率反映了直线相对于 轴的倾斜程度
当 时，
斜率不存在.
探索新知
如图所示，直线 AB 的斜率即为 Rt△ACB 中 BC 与 AC 的比，另外，图中，直线 AB 的斜率大于零，而直线 AD 的斜率小于零.
不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在. 下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性.
由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在.
探索新知
尝试与发现
如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律．
函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都大于 0
函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于0
探索新知
平均变化率
一般地，当 x1≠x2 时，称
为函数 y＝f (x) 在区间 [x1，x2] ( x1＜x2 时 ) 或 [ x2，x1 ] ( x1＞x2 时) 上的平均变化率．
探索新知
函数的单调性与平均变化率的关系
一般地，若 I 是函数 y＝f (x) 的定义域的子集，对任意 x1，x2∈I 且 x1≠x2，记 y1＝f (x1)，y2＝f (x2)， （即 ），则：
(1) y＝f (x) 在 I 上是增函数的充要条件是 在 I 上恒成立；
(2) y＝f (x) 在 I 上是减函数的充要条件是 在 I 上恒成立．
探索新知
利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性.
因此，y＝－2x 在 R 上是减函数．
典型例题
例 3 求证：函数 在区间 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上都是减函数
证明：设x1≠x2，那么 ，
如果 x1，x2∈(－∞，0)，则 x1x2＞0，此时 ，
所以函数在 (－∞，0) 上是减函数．
同理，函数在 (0，＋∞) 也是减函数
典型例题
例 4 判断一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的单调性．
解：设 x1≠x2，那么
因此，一次函数的单调性取决于 k 的符号：
当 k＞0 时，一次函数在 R 上是增函数；
当 k＜0 时，一次函数在 R 上是减函数．
探索新知
探索新知
例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度 y 是时间 t 的函数．
当容器是如图 (1) 所示的圆柱时，在固定的 Δt 时间内，Δy 应该是常数，因此函数的图象是如图 (2) 所示的一条线段．
探索新知
例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度 y 是时间 t 的函数．
当容器是如图 (1) 所示圆台时，由容器的形状可知，在固定的 Δt 时间内，随着 t 的增加，Δy 应该越大，因此函数的图象如图 (2) 所示．
典型例题
例 5 证明函数 f (x)＝x2＋2x 在 (－∞，－1］上是减函数，在
［－1，＋∞) 上是增函数，并求这个函数的最值．
解：设 x1≠x2，则
因此：
当 x1，x2∈［－∞，－1) 时，有 x1＋x2＜－2，从而 ，因此 f (x)在 (－∞，－1］上是减函数；
典型例题
例 5 证明函数 f (x)＝x2＋2x 在 (－∞，－1］上是减函数，在
［－1，＋∞) 上是增函数，并求这个函数的最值．
由函数的单调性可知，函数没有最大值；
而且，当x∈ (－∞，－1］时，有 f (x) ≥－1，
当 x∈(－1，＋∞］时，不等式也成立，因此 f (－1) ＝－1是函数的最小值
当 x1，x2∈［－1，＋∞) 时，有 x1＋x2＞－2，从而 ，
因此 f (x) 在 (－∞，－1］上是减函数；
探索新知
减
增
小
大
说明：这一结论也可以从二次函数的图象是关于 对称的抛物线与开口方向看出来．
当堂检测
当堂检测
B
当堂检测
A
当堂检测
A
当堂检测
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ACD
当堂检测
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当堂检测
当堂检测
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.平均变化率；
2.函数的单调性与平均变化率的关系.
感谢观看
祝同学新学期新气象(共26张PPT)
3.1.2函数的单调性
（第1课时）
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
理解函数的单调性与单调区间
01
理解函数单调性的判断
02
掌握函数的最大（小）值
03
教学引入
情境与问题
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题. 德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律.
如果我们以 x 表示时间间隔 (单位：h)，y 表示记忆保持量，则不难看出，上图中，y 是 x 的函数，记这个函数为 y＝f (x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
探索新知
情境与问题中的函数 y= f (x) 反映出记忆的如下规律：随着时间间隔 x 的增大，记忆保持量 y 将减小.
给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过.
探索新知
在区间 上，随着 x 的增大，
y 的值随着 .
画出下列函数的图像，并观察其变化规律：
(1) y＝2x；
从左到右图像上升还是下降？
增大
上升
探索新知
画出下列函数的图像，并观察其变化规律：
(2) .
在区间 上，随着 x 的增大，y 的值随着 .
在区间 上，随着 x 的增大，y 的
值随着 .
减小
减小
怎样用不等式符号表示“ y 随着 x 的增大而增大”“ y 随着 x 的增大而减小”？
探索新知
函数的单调性
一般地，设函数 y＝f (x) 的定义域为 D，且 I D：
(1) 如果对任意 x1，x2 ∈ I，当 x1＜x2 时，都有 f (x1)＜f (x2)，则称 y= f (x) 在 I 上是增函数 (也称在 I 上单调递增)，如图 (1) 所示；
(2) 如果对任意 x1，x2 ∈ I，当 x1＜x2时，都有 f (x1)＞f (x2)，则称 y= f (x) 在 I 上是减函数 (也称在 I 上单调递减)，如图 (2) 所示.
探索新知
单调区间
两种情况下，都称函数在 I 上具有单调性（当 I 为区间时，称 I 为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）.
由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中， y＝2x 在R 上是增函数；y＝ 在 (－∞，0) 上是减函数，在 (0，+∞) 上也是减函数.
探索新知
想一想
能否说
在定义域内是减函数？为什么？
由图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但在整个定义域内不是单调递减的
这不符合减函数的定义；
函数 f (x)＝ 的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)，
只能说“函数在区间 (－∞，0) 和区间 (0，＋∞) 上都是递减的”．
探索新知
尝试与发现
如下图所示的函数，在[－6，－4]上是增函数，在[－4，－2]上是减函数，在[－2，1]上是 函数，在[1，3]上是 函数，在[3，6]上是 函数.单调增区间是 ，单调减区间是 .
增
减
增
和和
和
在多个区间上单调性相同，一般用“和”“，”连接
探索新知
由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性. 但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性. 这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法.
典型例题
例 1 求证：函数 f (x)＝－2x 在 R 上是减函数．
证明：任取 x1，x2∈R 且 x1＜x2，则 x1－x2＜0，那么
f (x1)－f (x2)＝(－2x1)－(－2x2)＝2(x2－x1)＞0，
从而 f (x1)＞f (x2)．
因此，函数 f (x)＝－2x 在 R 上是减函数．
探索新知
用单调性定义证明一个函数在区间 I 上的单调性的基本步骤
（i）取值：任取 x1，x2，且 x1＜x2．
（ii）作差：f (x1)－f (x2)（对其进行因式分解，要注意变形的程度）．
（iii）判断：判断上述差的符号，即得到 f (x1)－f (x2)＜0 ( 或 f (x1)－f (x2)＞0)．
（iv）结论：若 f (x1)－f (x2)＜0，则函数在区间 D 内为增函数；
若 f (x1)－f (x2)＞0，则函数在区间 D 内为减函数．
探索新知
一般地，设函数 f (x) 的定义域为 D，且 x0 ∈ D：
函数的最大（小）值
不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值.
如果对任意 x ∈ D，都有 f (x)≤ f (x0)，则称 f (x) 的最大值为 f (x0)，而 x0 称为 f (x) 的最大值点；
如果对任意 x ∈ D，都有 f (x)≥ f (x0)，则称 f (x) 的最小值为 f (x0)，而 x0 称为 f (x) 的最小值点.
最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
典型例题
例 2 判断函数 f (x)＝3x＋5，x∈[－1，6] 的单调性，并求这个函数的最值．
解：任取 x1，x2∈[－1，6]且 x1＜x2，则 x1－x2＜0，那么
f (x1)－f (x2)＝(3x1＋5)－(3x2＋5)＝3(x1－x2)＜0，
所以这个函数是增函数．
因此，当－1≤x≤6 时，有 f (－1)≤f (x)≤f (6)，
从而这个函数的最小值为 f (－1)＝2，最大值为 f (6)＝23．
例2的结论也可由不等式的知识得到：
因为－1≤x≤6，所以
－3≤3x≤18，2≤3x＋5≤23，
即f (－1)≤f (x)≤f (6)，其余同上．
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BC
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A
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ABD
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A
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2或－2
当堂检测
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.函数的单调性；
2.函数的最值.
感谢观看
祝同学新学期新气象
