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3.1.1函数及其表示方法
（第2课时）
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
掌握函数的表示方法
01
掌握分段函数
02
掌握函数图象的作法
03
探索新知
解析法
前面我们所接触到的函数 y＝ f (x) 中，绝大多数 f (x) 都是用代数式（或解析式）来表示的，例如 f (x)＝2x＋1，这种表示函数的方法称为解析法.
只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．
思考：所有函数都能用解析法表示吗？
探索新知
列表法
前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.
如果将这个函数记为 i＝f (y)，则从表格中可以看出 f (2 013)＝152.6，f (2 015)＝__________.另外，如果将这个函数的定义域记为 D，值域记为 S，则有
D＝{2 008，2 009，2 010，2 011，2 012，2 013，2 014，2015}，
S＝___________________________________________________________.
171.5
年度 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
中国创新指数 116.5 125.5 131.8 139.6 148.2 152.6 158.2 171.5
{116.5，125.5，131.8，139.6，148.2，152.6，158.2，171.5}
探索新知
图象法
前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系.
一般地，将函数 y＝ f (x)，x ∈ A 中的自变量 x 和对应的函数值 y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点 (x，y) 组成的集合 F 称为函数的图象，即
F= {(x，y) | y= f (x)，x ∈ A}.
这就是说，如果 F 是函数 y＝ f (x) 的图象，则图象上任意一点的坐标 (x，y) 都满足函数关系 y＝ f (x)；反之，满足函数关系 y＝f (x) 的点 (x，y) 都在函数的图象 F上.
用函数的图象表示函数的方法称为图象法.
探索新知
从理论上来说，要作出一个函数的图象，只需描出所有点即可. 但是，很多函数的图象都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实. 因此，实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这称为描点作图法.
描点作图法
例如，我们知道，一次函数 y＝－x＋1 的图象是一条直线，又易知图象过点 (0，1) 和 (1，0)，所以容易作出其图象，如图所示.
x
1
1
O
y
探索新知
函数三种表示方法的特点：
解析法：
表格法：
图象法：
简明、全面地概括了变量间的对应关系；
可通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值；
直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.
典型例题
例 4 北京市自 2014 年 5 月 1 日起，居民用水实行阶梯水价. 其中年用水量不超过 180的部分，综合用水单价为 5 元/；超过 180但不超过 260的部分，综合用水单价为 7 元/.如果北京市一居民年用水量为 x ，其要缴纳的水费为 元. 假设 ，试写出 的解析式，并作出 的图象.
分段函数
分析：从题意可知，不同区间内的用水量，其单价也不同，因此函数的对应关系不同.
在定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式.
典型例题
如果 ，则
如果 ，则按照题意有
因此
注意到 f (x) 在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此 y＝f (x) 在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为 f (180)＝5×180＝900，f (260)＝7×260－360＝1 460，由此可作出函数的图象，如图所示.
探索新知
尝试与发现
可以看出，狄利克雷函数的定义域为 R，值域为{0，1}，但它的图象不能形象地展示出来.
典型例题
例 5 设 x 为任意一个实数，y 是不超过 x 的最大整数，判断这种对应关系是否是函数．如果是，作出这个函数的图像；如果不是，说明理由．
追问：依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数．
5
x 6.89 5 π －1.5 －2
y 6
3
－2
－2
典型例题
因为当 n∈Z 且 x∈［n，n＋1) 时，有 y＝n，
又因为任何一个实数 x，都必定在某个形如［n，n＋1) 的区间内．
因此，给定一个 x，有唯一的 y 与之对应，所以这种对应关系是函数．
由上可看出，在每一个区间［n，n＋1) 内，函数的图像是直线的一部分，由此可作出这个函数的图像如图所示．
知识回顾
例5中的函数通常称为取整函数，记作 y＝[x]，其定义域是___________，值域是____________. 这个函数早在 18 世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数.
R
Z
在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数. 也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等. 例如 f (x)＝7， x ∈ R 是一个常数函数，它的值域是_______，图象是一条垂直于 y 轴的直线.
{7}
典型例题
例 6 已知函数 y= ，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图象.
解：函数的定义域为［0，＋∞)．
由 y= 在 y≥0 时有解可知，
函数的值域为［0，＋∞)．
通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如下图所示．
由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有多种形式. 在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成.
典型例题
例 7 已知二次函数的图象过点 (－1，4)，(0，1)，(1，2)，求这个二次函数的解析式．
解：设函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则
由此可解得 a＝2，b＝－1，c＝1，因此所求函数解析式为
y＝2x2－x＋1．
典型例题
例 8 已知 f (x)＝x ，求 f (x－1).
f (0)＝02＝0，
分析：可先求出 f (0)，f (1)，f (2),，f (a)，f (a－1)的值，找出规律.
解：由已知可得 f (x－1)2＝(x－1)＝x2－2x＋1.
f (1)＝12＝1，
f (2)＝22＝4，
f (a)＝a2，
f (a－1)＝(a－1)2＝a2－2a＋1.
如果设 g (x)＝f (x－1)，则有 g (x)＝x2－2x＋1，因此 g (x) 与 f (x) 是不同的函数．
探索与研究
探索新知
已知 f (x－1)＝x2，你能求出 f (x) 的解析式吗？试总结 f (x) 与 f (x－1)的关系．
所以 f (x)＝( x ＋1)2．
f (x－1) 的图象可由 f (x) 的图象向右平移一个单位得到．
解：令 x－1＝t，则 x＝t＋1，
所以 f (t)＝(t＋1)2，
方法总结：已知 f (g ( x )) 的解析式可利用换元法求 f (x) 的解析式．
探索新知
用信息技术作函数图象
利用计算机软件可以迅速作出函数的图象，从而可以观察函数的性质等．
在 GeoGebra 中，只要输入函数的表达式，就可以得到对应的图像．例如，依次输入以下各行内容（每输完一行之后按回车键）：
f (x)＝1/(x^2＋1)
g (x)＝sqrt (x)
h (x)＝x^2
i (x)＝h(x－1)
j (x)＝if [0＜＝x＜＝1，x，if [1＜x＜＝2，2－x]]
探索新知
用信息技术作函数图象
即可得到如下图所示的函数解析式和函数图象（最后的命令实际上是画出了分段函数的图象）．
当堂检测
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A
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B
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AD
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BC
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BD
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.函数的三种表示方法；
2.分段函数；
3.几个特殊函数.
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祝同学新学期新气象(共26张PPT)
3.1.1函数及其表示方法
（第1课时）
人教B版（2019）必修第一册
第二章 等式与不等式
学习目标
了解变量与函数的概念
01
了解函数的三要素
02
理解同一函数的判定
03
知识回顾
我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称 y 是 x 的函数.
初中学习了三个重要的函数类型：
一次函数：
二次函数：
反比例函数：
其中 k，a，b，c 为常数，且 k≠0，a≠0.
对于每一个 x 的取值，都有唯一确定的 y 值和它对应，这是函数的基本特征.
情境与问题
(1) 国家统计局的课题组公布，如果将 2005 年中国创新指数记为 100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示．
探索新知
年度 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
中国创新指数 116.5 125.5 131.8 139.6 148.2 152.6 158.2 171.5
以 y 表示年度值，i 表示中国创新指数的取值，则 i 是 y 的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
情境与问题
(2) 利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）．
探索新知
如果用 t 表示测量的时间，v 表示测量的指标值，则 v 是 t 的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
探索新知
初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的 i 是 y 的函数，v 是 t 的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等.
思考，如何从集合角度给函数下定义呢？
探索新知
函数的定义
一般地，给定两个非空实数集 A 与 B，以及对应关系 f，如果对于集合 A 中的每一个实数 x，在集合 B 中都有唯一确定的实数 y 与 x 对应，则称 f 为定义在集合 A 上的一个函数，记作
y= f (x)，x ∈ A．
其中 x 称为自变量，y 称为因变量，自变量取值的范围（即数集 A）称为这个函数的定义域.
如果自变量取值 a，则由对应关系 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 y＝f (a) 或 y | x=a.
所有函数值组成的集合 {y | y＝f (x)，x ∈ A} 称为函数的值域.
探索新知
函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如 g，h 等表示.
同一函数
一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一函数，例如 y＝，x ∈ R 与 g(x)＝| x |，x ∈ R 表示同一个函数.
在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.
在上述约定下，以下表达式都可以表示函数 f (x)＝2x＋1，x ∈ R：
f (x)＝2x＋1，y＝2x＋1.
典型例题
例 1 求下列函数的定义域：
(1) ；(2) .
解：(1) 因为函数有意义当且仅当
解得 x＞－1，所以函数的定义域为 (－1，＋∞)；
典型例题
例 1 求下列函数的定义域：
(1) ；(2) .
解：(2) 因为函数有意义当且仅当 ，
(－∞，－2) ∪(－2，0) ∪(0，＋∞)
解得 x≠0 且 x≠－2，因此函数的定义域为
探索新知
求函数定义域常用的依据：
(1) 若函数 f (x) 是整式，则其定义域为 R；
(2) 若函数 f (x) 是分式，则其定义域是所有使分母不等于零的实数组成的集合；
(3) 若函数 f (x) 是无理式，则其定义域是所有使根式中的被开方数不小于零的实数组成的集合．
(4) 若函数 f (x) 是由几个数学式子构成，则其定义域是使各部分都有意义的实数组成的集合．
典型例题
例 2 设函数 的值域为 S，分别判断 和 3 是否是S 中的元素．
此解法，实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的值域.
典型例题
例 3 已知
(1) 求 f (－1) ，f (0) 和 f (2) ； (2) 求函数 f (x) 的值域．
解： (1) 由已知可得
典型例题
例 3 已知
(1) 求 f (－1) ，f (0) 和 f (2) ； (2) 求函数 f (x) 的值域．
解： (2) 方法一：因为 x≥0，所以 x2＋1≥1 恒成立，从而可知
又因为当 x 的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于 0，但不会等于 0，因此所求函数的值域为 (0，1］．
此解法，实质上用的是不等式的性质.
典型例题
例 3 已知
(1) 求 f (－1) ，f (0) 和 f (2) ； (2) 求函数 f (x) 的值域．
解： (2) 方法二：假设 t 是所求值域中的元素，
则关于 x 的方程 应该有解 ，
即 应该有解，
解得 0＜t≤1．因此所求值域为 (0，1］．
从而 ，即 ，
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B
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C
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BC
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AB
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B
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本节课学习了哪些知识点呢？
1.变量与函数的概念；
2.函数的定义域与值域；
3.同一函数的判定.
感谢观看
祝同学新学期新气象
