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第3章 一元一次不等式（组）
3.3 一元一次不等式的解法
第1课时 一元一次不等式的解法及解集的表示方法
练基础
知识点1 一元一次不等式的定义
C
2. （易错题）已知（m+2）x｜m｜-1+3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为________.
2
3. 下列各数中，是不等式x>2的解的是 （ ）
A. 3 B. 2 C. 0 D. -1
A
知识点2 不等式的解与解集
4. 下列说法正确的是 （ ）
A. 5是不等式3x<15的一个解
B. -5是不等式3x>-15的一个解
C. 不等式3x>-15的解集是x>-5
D. 不等式3x>-15的解集是x<-5
C
5. （新趋势 开放性问题）请写出一个一元一次不等式，使它的解集为x≥6，这个不等式可以是 （未知数的系数不能为1）.
-3x≤-18（答案不唯一）
6. （永州期末）不等式6-2x>0的解集为 （ ）
A. x>3 B. x<3 C. x>4 D. x<-3
知识点3 解不含分母的一元一次不等式
B
7. （岳阳期末）不等式2x-4≥0的解集是_______.
x≥2
8. （教材P66做一做改编）解下列不等式.
（1）2x-3>4x+5； （2）3-x≤2x+6.
【解】移项，得2x-4x>5+3，
合并同类项，得-2x>8，
两边都除以-2，得x<-4.
【解】移项，得-x-2x≤6-3，
合并同类项，得-3x≤3，
两边都除以-3，得x≥-1.
9. （新趋势 过程性学习）以下是某同学解不等式2（2x+1）>3（3x-5）+12的部分过程.
解：去括号，得4x+2>9x-15+12，……第一步
移项，得4x+9x>-15+12+2，……第二步
合并同类项，得13x>-1，……第三步
……
（1）第一步是依据__________（运算律）进行变形的，开始出现错误的是第________步；
（2）请你写出完整并且正确的解答过程.
乘法分配律
二
【解】去括号，得4x+2>9x-15+12，
移项，得4x-9x>-15+12-2，
合并同类项，得-5x>-5，
两边都除以-5，得x<1.
10. 一个不等式的解集为x≥2，那么在数轴上表示正确的是 （ ）
B
知识点4 在数轴上表示不等式的解集
11. （岳阳期末）不等式3x-5<1的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
A
练提升
C
13. 一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是 （ ）
A. x+2>0 B. x-2≤0 C. 2x≥4 D. 2-x<0
B
14. （新定义 新运算问题）在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b=2a-3b. 如：1 5=2×1-3×5=-13. 则不等式x 4<0的解集是________.
x<6
15. 已知不等式2x+★>4的解集是x>3，则“★”表示的数是________.
-2
16. （教材P67例1改编）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）-3x+1>2（x-1）； （2）2（5x+3）≤x-3（1-2x）.
【解】去括号，得10x+6≤x-3+6x，
移项，得10x-x-6x≤-3-6，
合并同类项，得3x≤-9，
两边都除以3，得x≤-3.
原不等式的解集x≤-3在数轴上的表示如图.
17. （邵阳新宁一模）先化简，再求值：（2x+3）2-（3x-1）（3x+1）+2x（2x-5）. 请从不等式2x+5>1的解集中选择一个数值代入求值.
【解】（2x+3）2-（3x-1）（3x+1）+2x（2x-5）
=（4x2+12x+9）-（9x2-1）+（4x2-10x）
=4x2+12x+9-9x2+1+4x2-10x=-x2+2x+10.
解不等式2x+5>1，得x>-2.
取x=0（答案不唯一，符合题意即可），原式=-02+2×0+10=10.
练素养
【方法指导】 根据方程组中未知数的系数特征，将方程组中的两个方程整体相加或相减，然后整体代人，更容易使问题得到解决.
微专题2 利用整体思想解决不等式的相关问题
【针对训练】
A
6（答案不唯一）
-4(共18张PPT)
3.3 一元一次不等式的解法
第1课时 一元一次不等式的解法及解集的表示方法
第3章 一元一次不等式（组）
1. 理解一元一次不等式和不等式解集的概念；
2.理解不等式的解与解集的意义；
3. 掌握解简单一元一次不等式的一般步骤；
4. 能把不等式的解 集在数轴上表示出来.
类似于一元一次方程的定义，我们把只含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式,称为一元一次不等式.例如,6x＜5x-3是一个一元一次不等式.
对于一个未知数为x的一元一次不等式，如果未知数x用实数a代入,能够使得不等式成立,那么a称为这个不等式的一个解.这个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
不等式的解 不等式的解集
区别
联系
解集包含所有的解，所有的解组成解集
能使不等式成立的未知数的值
能使不等式成立的所有未知数的值
运用不等式的基本性质把未知数为x的一元一次不等式化为x
a,或x≤a,或x≥a)后,则可用xa,或x≤a,或x≥a)表示原不等式的解集.
求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤：
先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足：
(1)不等式的左、右两边都是整式；
(2)不等式中只含有一个未知数；
(3)未知数的次数是1且系数不为0.
当这三个条件同时满足时，才能判定该不等式是一元一次不等式．
判断下列不等式是不是一元一次不等式？
⑴5>-2 ⑵x+y>0 ⑶2x2<1 ⑷4>x
⑸1-3x>-2 ⑹ >3 ⑺x+3>x+5 ⑻xy>3
针对练习
是
不是
不是
不是
不是
不是
不是
是
不是整式
化简后不含未知数
判断下列说法是否正确？
(1) x=2是不等式x+3<4的解； ( )
(2)不等式x+1<2的解有无穷多个； ( )
(3)x=3是不等式3x<9的解 ( )
(4)x=2是不等式3x<7的解集； ( )
√
×
×
×
针对练习
不等式的解集必须满足两个条件：
1.解集中的任何一个数值都使不等式成立；
2.解集外的任何一个数值都不能使不等式成立.
解下列一元一次不等式：
（1）6x<2x-4；
（2）-3x+2<-x+1 .
解：
（1）移项，得6x-2x＜-4.
两边都除以4，得x < -1.
合并同类项，得4x<-4，
做一做
解：
这个不等式的解集是小于-1的一切实数.
（1）移项，得-3x+x＜1-2.
合并同类项，得-2x<-1，
为什么要改变不等号的方向？
思考
例1
解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在数上表示出来.
解:
去括号，得 12-6x≥2-4x.
移项，得 -6x+4x≥2-12.
合并同类项,得 -2x≥-10.
两边都除以-2，得 x≤5.
原不等式的解集x≤5在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.
O
1.下列说法：①x=0是2x-1＜0的一个解；②x=-3不是3x-2＞0的解；③-2x＋1＜0的解集是x＞2.其中正确的有 ( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
C
2.下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
(1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0；
(3) (4) x(x - 1) < 2x.
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
C
练习
3.用不等式表示图中所示的解集．
x <2
x >-1
x >40
（1）3x-1>2(2-5x) ；
（2）2-5x<8-6x；
（3）4x -3 < 2x+7 .
解：
（1）原不等式为2-5x<8-6x.
移项，得-5x+6x<8-2，
即 x<6.
-1
0
1
2
3
4
5
6
O
原不等式的解集x<6在数轴上表示如图所示.
4.解下列一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
4.解下列一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）3x-1>2(2-5x) ；
解：
（2）2-5x<8-6x；
（3）4x -3 < 2x+7 .
-1
0
1
2
3
4
5
6
O
解： (3)原不等式的解集为x <5.
原不等式的解集x<5在数轴上表示如图.
-1
0
1
2
3
4
5
6
（1）3x-1>2(2-5x) ；
（2）2-5x<8-6x；
（3）4x -3 < 2x+7 .
4.解下列一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
O
1.一元一次不等式的条件：
（3）未知数的次数是1.
（1）它们都只含有一个未知数；
（2）左右两边是整式；
2.用数轴表示不等式解集的方法：
(1) 画数轴；
(2) 定边界点：若这个点包含于解集之中，则用实心圆点表示；
不包含在解集中，则用空心圆点表示.
(3) 定方向：相对于边界点，大于向右画，小于向左画.
知识方法要点 关键总结 注意事项
不等式的概念 表示不等关系的式子 注意“不大于”“不小于”的含义
列不等式 理清要比较的两个量；正确使用不等号 弄清题意，抓住关键词
不等式的解 能使不等式成立的未知数的值 指未知数的某个值
不等式的解集 一个含未知数的不等式的所有解 解集中包含了每一个不等式的解
不等式解集的表示方法 ①用简单的不等式表示；②用数轴表示
界点和方向课题 第3章3.3 一元一次不等式的解法 第1课时 一元一次不等式及其解法
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 一、知识与技能目标1.理解不等式的解与解集的概念，了解什么是一元一次不等式。2.理解用不等式的基本性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练地解一元一次不等式。二、过程与方法目标让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法。三、情感、态度与价值观目标通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。
教学重点、难点 教学重点：一元一次不等式的解法。教学难点：一元一次不等式的解法。
教学方法 教材首先设置一个生活实际问题，通过抽象数量关系，得到一个不等式，接着观察这个不等式的特征，引入一元一次不等式的概念，此处可与一元一次方程的概念进行比较，以加强对刻画数量关系的模型——方程、不等式的认识，得到不等式后，我们关心的是问题的解，由此引入解不等式。
教学准备 多媒体课件
教学过程 1.新课导入复习提问：（1）不等式的三条基本性质是什么？（2）运用不等式的基本性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式。①x-4＜6；②2x＞x-5；③x-4＜6；④-x≥+x。（3）什么叫一元一次方程？解一元一次方程的步骤是什么？【说明】通过问题，让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤，以及不等式的意义，不等式的基本性质和不等式的解集，为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件。同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系。2.讲授新课1.动脑筋：已知一台升降机的最大载重量是1 200 kg，在一名重75 kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25 kg重的货物？本题涉及的数量关系是：工人重+货物重≤最大载重量。设能载x件25 kg重的货物，因为升降机最大载重量是1 200 kg，所以有75+25x≤1 200。2.这个关系式有什么特点呢？（含有________个未知数，且未知数的次数为________）。这样的不等式叫什么不等式？你认为呢？【归纳结论】只含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式．3.如何解不等式75+25x≤1 200呢？【归纳结论】对于一个未知数为x的一元一次不等式，如果未知数x用实数a代入，能够使得不等式成立，那么a称为这个不等式的一个解。这个不等式的解的全体称为这个不等式的解集。求一个不等式的解集的过程称为解不等式。【说明】从不等式的解可以看出满足条件的解有无数个，这其中包括范围内的实数，此点，教师可向学生作适当说明。4.例1：解下列不等式和方程.（1）2-5x=8-6x；（2）+1≤x.你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试．5.在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？【说明】我们还可以比较解一元一次方程与解一元一次不等式的最后形式的不同。6.在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？【归纳结论】解一元一次不等式大致要分五个步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1.在解一元一次不等式的步骤中，应注意：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向．【说明】学生通过小组合作学习的方式探索用不等式的基本性质去求解并相互交流做法，通过观察、探讨、交流、归纳一元一次不等式的解法。3.典型例题在教师的引导下学生自主完成P67例1。【说明】例1体现了解一元一次不等式与解一元一次方程的相似之处，让学生体会二者解法的依据和步骤有什么异同点，加强知识和方法的“正迁移”，构建系统的知识网络，体会类比数学思想。解集x≤5中包括5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.4.课堂小结（1）知识内容小结：要点由学生共同来总结。（2）学习方法小结：如果一个不等式是一元一次不等式，必须满足三个条件：①含有一个未知数，②未知数的最高次数为1，③不等式的两边都是整式。判断一个数是不是不等式的解，只要把这个数代入不等式，看是否成立．判断一个不等式的解集是否正确，可把这个不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，再进行比较即可。解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数，这些基本步骤与解一元一次方程是一样的，所要注意的是，解一元一次不等式两边都除以未知数的系数时，一定要注意这个数是正数还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号的方向改变。已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想。5.板书设计第3章 一元一次不等式（组）3.3 一元一次不等式的解法第1课时 一元一次不等式及其解法1．一元一次不等式的概念2．解一元一次不等式的基本步骤：去分母去括号移项合并同类项两边都除以未知数的系数
教学设计反思 本节课通过类比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在两边都除以未知数的系数这一步时有所不同。如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变。这也是这节课学生容易出错的地方。教学时要大胆放手，不要怕学生出错，要通过学生犯的错误引起学生注意，理解产生错误的原因，以便在以后的学习中避免出错。
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