【暑假专项培优】专题20 还原问题—小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
文档属性
| 名称 | 【暑假专项培优】专题20 还原问题—小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 447.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-28 12:26:44 | ||
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文档简介
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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题20 还原问题
【第一部分：知识归纳】
一、基本概念
1、还原问题（又称倒推问题）是指已知变化后的结果，通过逆向思维逐步推算出原始数量的数学问题。这类问题需要按照与题目叙述相反的顺序进行运算。
2、核心特点：
逆向操作：从结果出发，倒推出原始数据
逐步还原：按照变化过程的逆序逐步推算
运算相反：加法变减法，乘法变除法等
二、解题四步法
步骤1：理清变化过程
明确题目中描述的每一步数量变化
步骤2：确定最后结果
记录题目给出的最终结果
步骤3：逆向操作
从最后一步开始，逐步向前推算
步骤4：验证答案
将答案代入原题验证是否正确
三、五大经典题型
题型1：基础还原
例题：一个数加上5，乘以3，减去7，结果是20。求原数。
解答：逆运算：
20 + 7 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 - 5 = 4
∴ 原数是4
验证：(4+5)×3-7=20
题型2：分配还原
例题：一桶油第一次用去一半多1升，第二次用去余下的一半少2升，还剩5升。原有油多少升？
解答：从后往前推：
第二次前：(5-2)×2=6升
第一次前：(6+1)×2=14升
∴ 原有14升
验证：第一次用14/2+1=8剩6，第二次用6/2-2=1剩5
题型3：年龄还原
例题：小明说："把我的年龄加5，乘以2，减8，再除以2就是现在的年龄。"小明现在几岁？
解答：设现在年龄为x：
[(x+5)×2-8]÷2 = x
逆运算：
x×2=2x
2x+8=2x+8
(2x+8)÷2=x+4
x+4-5=x-1
出现矛盾，说明题目有误
题型4：数量转移
例题：甲乙两筐苹果，从甲取10个给乙，乙比甲多5个；若从乙取15个给甲，甲是乙的2倍。原来各有多少个？
解答：设甲原有x，乙原有y
第一次后：
甲=x-10，乙=y+10
y+10=(x-10)+5 → y=x-15
第二次前还原：
甲=x，乙=y
第二次后：
甲=x+15，乙=y-15
x+15=2(y-15)
代入y=x-15：
x+15=2(x-30) → x=75
∴ y=60
题型5：复杂运算
例题：一个数先乘以3，再加这个数的一半，然后减去10，结果是35。求原数。
解答：
设原数为x：
(3x + x/2) - 10 = 35
逆运算：
35+10=45
45÷3.5=12.857（非整数，题目设计可能不合理）
四、易错点与技巧
1、常见错误
运算顺序错误：未严格按照逆序操作
运算方式错误：如该用除法时用了乘法
数量关系混淆：分配问题中"多"与"少"处理错误
验证缺失：未将结果代入验证
2、解题技巧
流程图法：绘制运算步骤的逆向流程图
表格法：
步骤 运算 结果
最后 20
上一步 +7 27
上上步 ÷3 9
原始 -5 4
方程法：设未知数建立方程
分段还原：复杂问题分阶段处理
【第二部分：能力提升】
1．在甲、乙、丙三个容器内分别装有浓度为10%的糖水50克、100克、150克，现将某种浓度的糖水50克倒入甲中，完全混合后，再从甲中取出50克倒入乙中，完全混合后，再从乙中取出 50克倒入丙中，完全混合后，发现丙的糖水浓度变为了10.5%，求最早倒入甲容器中的糖水的浓度？
2．王师傅计划做一批零件， 第一天做了计划的 ， 第二天又做了余下的 ， 这时还剩 42 个零件没做， 王师傅计划做多少个零件？
3．妈妈买了一些苹果，昨天吃了一半，今天又吃了剩下的一半，还剩下18个．妈妈一共买来多少个苹果？
4．丽丽、兰兰和芳芳去采摘草莓。采摘结束，丽丽给兰兰3颗，兰兰又给芳芳2颗，这时每人都有20颗草莓。兰兰原来有多少颗草莓？
5．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行48千米，5小时到达；沿原路返回，4小时回到甲地．求这辆车的返程速度。（画出树状图再解答）
6．小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？
7．用列表法解决问题。
一次数学竞赛，共有10道题，每做对1道题得8分，做错或不做1道题倒扣4分，李明共得44分，他做对了多少道题
数学题/道 做对的题/道 做错或不做的题/道 成绩/分
8． 一车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的多120个，第二天加工了剩下的少150个，第三天加工了剩下的多80个，第四天加工了剩下的少20个，第五天加工了最后的1800个，这批零件总数有多少个？
9．有18吨货物，用两辆载质量为6吨和4吨的车来运，如果每辆车都装满，怎样安排能恰好运完？
方案 载质量6吨的车 载质量4吨的车 运货吨数
①
②
③
④
（1）将表格填写完整。
（2）方案 能恰好运完18吨货物。
10．王老太上集市上卖鸡蛋，第一个人买走了篮子里鸡蛋的一半又一个，第二个人买走了剩下鸡蛋的一半又一个，这时篮子里还剩10个鸡蛋，请问王老太篮子里一共有多少个鸡蛋？
11．某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用表示没有经过加密的数字串，这样对进行一次加密就得到一个新的数字串，对再进行一次加密又得到一个新的数字串，…，依此类推．例如：，则．若已知，则 ；若数字串共有4个数字，则数字串中相邻两个数相等的数对至少有 对。
12． 某旅游团共28人去桐庐雅鲁漂流，一共租了6艘皮划艇，全部坐满。已知每艘大皮划艇可乘坐6人，每艘小皮划艇可乘坐4人，求大小皮划艇各租了几艘？
大皮划艇/艘
小皮划艇/艘
总人数
13．一个分数，分子扩大到原来的5倍，分母缩小到原来的，这个分数变为，求原来这个分数。
14．甲、乙两桶各有水若千千克。如果从甲桶中倒出和乙桶同样多的水放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的水放入甲桶，这时两桶的水恰好都是24千克。甲、乙两桶原来各有水多少千克？
15．聪聪对天文十分感兴趣，他计划参加天文兴趣班，寒假报名的学生共有36人，准备开设8人班和12人班，怎样安排能够保证所有班满员 （用列表法解答）
16．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？
17．一个车间计划5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的多120个，第二天加工了剩下的少 150个，第三天加工了剩下的多 80个，第四天加工量剩下的少 20个，第五天加工了最后的1800个，这批零件总数有多少个？
18．从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花力气就能发财的大型繁荣，有人生的重要不会来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”人家神通广大，恳求您指导，使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24钱作为报酬。”樵夫高兴地在桥上走了一个来回，他数了数口袋里的钱，果然增长了一倍。他拿出24 钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了。正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？
19．甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食，第一次从甲仑库取出的粮食平分给乙仓库和丙仓库；第二次从这时的乙仓库取出的粮食平分给甲仓库和丙仓库；第三次从这时的丙仓库取出的粮食平分给甲仓库和乙仓库，现在三个仓库存粮都是432吨，问原来三个仓库各存粮多少吨？
20．某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
21． 连线课堂·随机现象的可能性 为打造干净、整洁、舒适的居住环境，阳光社区用若干根1米长的木条围成一个面积是36 平方米的长方形花圃(含正方形)。
（1）围成长方形花圃的长、宽、周长各是多少？(用列举的策略，把结果填在下表中)
长(米)
宽(米)
周长(米)
（2）观察表中数据，当长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越 ；
（3）如果该社区工作者想节省买木条的费用，你建议他围的花圃长是 米、宽是 米。
22．小芳到商场买了一个福娃流线型书包用去所带钱的一半，买一个福娃文具盒用去36元，这时还剩92元．小芳原来带了多少钱？
23．把一根绳子对折4次后长度是30 cm，这根绳子原来长多少米？
24．甲、乙、丙三人共有45个玻璃球，甲先把自己的玻璃球给了乙、丙一部分。办法是：给对方的球数比对方现有的球数还多1个；接着，乙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、丙一部分：最后，丙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、乙一部分。结果，三人的玻璃球恰好同样多，原来他们各有多少个玻璃球 (还原问题)
25． 小明要买一辆玩具汽车，他有下列面值的人民币若干张，有多少种付钱的方法 分别列举。
26．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？
27．丁丁是个小马虎，他在计算除法时，把除数65写成了56，结果得到的商是18余32，正确的商是多少？
28．现有26块砖，兄弟两人争着去搬。弟弟抢在前面刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟搬的砖太多，就从弟弟那里拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好再给哥哥5块砖，这样哥哥比弟弟多搬2块砖。最初弟弟准备搬几块砖？
29． 一堆黄沙，先运走了一半，又运走了剩下的一半，这时还剩下5吨。这堆黄沙原来有多少吨
（1）一堆黄沙，如果运走一半，还剩下5吨，那么这堆黄沙原来有 个5吨，即 吨。
（2）一堆黄沙，如果运走一半的一半，还剩下5吨，那么这堆黄沙的一半是 吨，这堆黄沙就是 吨。
（3）解决此类问题就是一步一步退回到原来的出发点。
30． 小明在考试中将一个数除以 ，错算成了除以 ，结果是 。正确的结果应该是多少？
31．启蒙书社五天内卖出《中学生手册》和《小学生手册》共120本．《中学生手册》每本5元，《小学生手册》每本3.75元．营业员统计的结果表明：这五天内所卖《中学生手册》的收入比卖《小学生手册》的收入多162.5元．这五天内启蒙书社卖出的《中学生手册》和《小学生手册》各多少本？
32．(还原问题)小王、小李、小丁三人合伙做生意，年终根据每人的投资进行分红。小王取走了全部利润的另加9万元，小李取走了剩下的另加12万元，小丁取走了小李取后剩下的和剩下的12万元，他们每人各分得多少万元？
33．哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？
34．一筐水果中，恰好有一半数量是苹果，如果吃掉苹果数量的一半，筐中只剩下60个水果，这筐水果中还有多少个苹果？
35． 甲、乙、丙、丁四个小组同学按下列方法分配苹果：甲组取了全部的 又81个，乙组取了甲组取后所剩下的 又81个，丙组取了乙组取后所剩下的 又81个，最后丁组取了丙组取后余下的 和所剩下的81个。问甲组取了多少个苹果？
36．甲、乙、丙三人共有45个玻璃球，甲先把自己的玻璃球给了乙、丙一部分，办法是：给对方的球数比对方现有的球数还多1个；接着，乙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、丙一部分；最后，丙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、乙一部分。结果三人的玻璃球恰好同样多。原来他们各有多少个玻璃球？
37． 一段布，第一次减去一半，第二次又减去余下的一半，还剩8米。这段布原来长多少米
38．有3个桶，第一个桶里装满了水，水的质量是10千克。
39．79113339149
综合算式：
40．小丽有2张1元纸币，2枚5角硬币和10枚1角硬币，她要买一本2元的笔记本。有几种不同的付钱方法？
41．一共有24个苹果，大娃、二娃、三娃各自取他们3年前的年龄相同的个数，正好分完。三娃将其取得的苹果数的一半平均分给大娃和二娃，二娃将现有的苹果数的一半平均分给大娃和三娃，大娃将现在苹果数的一半平均分给二娃和三娃，这时他们的苹果数相同，问今年他们分别多少岁。
42．甲、乙、丙三箱内共有小球384个，先由甲箱内取出若干个球放进乙、丙两箱，所放之数分别为乙、丙原有之数；继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内；最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内；放法同前，结果三箱内小球个数恰好相等，问甲、乙、丙三箱原有小球各多少个
43．小红做乘法计算题时，把其中一个因数21当作12来算，结果得到的积比正确的积少了1701，那么，另一个因数是几？正确的积应该是多少？
44．兄弟三人分48个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数。如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有的苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有的苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人的苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？
45．甲、乙两筐梨一共有36个，如果甲筐给乙筐11个梨，两筐就同样多了，甲、乙两筐原来各有梨多少个？
46．(还原问题) 有甲、乙、丙 3 瓶酒精溶液， 它们的质量比是 。如果把两瓶酒精溶液混合后再按原来的质量分配到各自的瓶中， 称为一次操作。现在先对甲、乙两瓶酒精溶液进行一次操作，再对乙、丙两瓶酒精溶液进行一次操作，最后对丙、甲两瓶酒精溶液进行一次操作。三次操作后， 甲、乙两瓶溶液的浓度分别是 和 。求最初丙瓶溶液的浓度。
47．某人去银行取款，第一次取了存款的一半多 50元，第二次取了余下的一半多 100 元，最后剩下100 元，求他原来有多少元
48．小花和小珍各有若干元钱。先是小花把她的钱的一半给小珍，然后小珍把她当时所有钱的给小花，最后小花又把她当时所有钱的给小珍。这时小花就有675元，小珍就有1325元。最初两人各有多少钱？
49．乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆一样多．如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？
50．刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
参考答案及试题解析
1．解：从乙中取出50克倒入丙中的浓度：[(150+50)×10.5%-150×10%]÷50
=[200×10.5%-15]÷50
=6÷50
=12%
从甲中取出50克倒入乙中的浓度：[(100+50)×12%-100×10%]÷50
=[150×12%-10]÷50
=8÷50
=16%
最早倒入甲容器中的糖水的浓度：[(50+50)×16%-50×10%]÷50
=[100×16%-5]÷50
=11÷50
=22%
答：最早倒入甲容器中的糖水的浓度是22%。
【解析】首先，需要根据丙容器中糖水浓度和总量计算出糖的总量。然后，减去丙容器原本的糖量，可以计算出从乙容器倒入丙容器的糖量。由此，我们可以推算出倒入乙容器时的糖水浓度。接着，重复上述步骤，计算出从甲容器倒入乙容器的糖量和糖水浓度，以及最早倒入甲容器的糖水浓度。
2．解：42÷（1-）÷（1-）
=105÷（1-）
=245（个）
答：王师傅计划做245个零件。
【解析】把第二天做了余下的个数看作单位“1”，那么42是余下的（1-），根据分数除法的意义，求第二天余下的个数是：42÷（1-）=105个，再把计划的个数看作单位“1”，那么105是计划的（1-），求计划的个数是：105÷（1-）=245个，据此解答。
3．解：18÷（1﹣）÷（1﹣）
=18
=72（个）
答：妈妈一共买来72个苹果．
【解析】“今天吃了剩下的一半，这时还剩下18个”，可知昨天吃完后余下18÷（1﹣）=36（个）；再由“昨天吃了，还剩下36个”，可得苹果总数为36÷（1﹣）=72（个），解决问题．
4．解：20+2-3
=22-3
=19（颗）
答：兰兰原来有19颗草莓。
【解析】兰兰原来有草莓的颗数=这时每人有草莓的颗数+丽丽给兰兰的颗数-兰兰给芳芳的棵数，据此代入数值作答即可。
5．解：
48×5÷4
=240÷4
=60（千米/时）
答：这辆车的返程速度是60千米/时。
【解析】这辆车的返程速度=去时的速度×去时用的时间÷返回用的时间。
6．解：根据题意，可得
123－（9－5）＋（80－30）
＝123－4＋50
＝119＋50
＝169
答：正确答案是169。
【解析】将加数个位上的5看作9，则多加了9－5＝4，十位上的8看做3，因为是在十位上，则少加了80－30＝50，用最终错误的结果将多加的减去，少加的加上，即得正确答案。
7．解：
数学题/道 做对的题/道 做错或不做的题/道 成绩/分
10 9 1 9×8-1×4=68
10 8 2 8×8-2×4=56
10 7 3
【解析】右下角填的是：7×8-3×4=447×8-3×4=44；
做对的题数×8=得的分数，做错的题数×4=扣的分数，得的分数-扣的分数=成绩。
8．解：后两天加工：(1800-20)÷(1-)
=1780÷
=3560(个)；
后3天加工：(3560+80)÷(1-)
=3640÷
=5460(个)；
后4天加工：(5460-150)÷(1-)
=5310÷
=7080(个)；
零件总数：(7080+120)÷(1-)
=7200÷
=9000(个)
答：这批零件总数有9000个。
【解析】本题可以用倒推法进行解答，由题意可知，第五天加工的个数为第三天剩下个数的多20个，所以，用第五天加工的个数减去20，再除以(1-)可以计算出第三天剩下的个数，也就是后两天加工的个数；后两天剩下的个数比第二天剩下个数的(1-)少80个，所以，用后两天加工的个数加80，再除以(1-)可以计算出第二天剩下的个数，也就是后三天加工的个数；以此类推，进行解答。
9．（1）解：
方案 载质量6吨的车 载质量4吨的车 运货吨数
① 3次 0次 18
② 2次 2次 20
③ 1次 3次 18
④ 0次 5次 20
（2）①和③
【解析】解：（2）方案①和③运的吨数都是18吨，能恰好运完。
故答案为：（2）①和③。
【分析】应用列表法，可以把载质量6吨或者4吨的车按照从大到小排列，或者从小到大排列，运货的总质量=6吨×载质量6吨的辆数＋4吨×载质量4吨的辆数。
10．解：第一个人买完后鸡蛋有：
（10+1）×2
=11×2
=22（个）
篮子里原来有鸡蛋：
（22+1）×2
=23×2
=46（个）
答：王老太篮子里一共有46个鸡蛋．
【解析】运用逆推的方法，用（10+1）可求得第一个人买完后剩下鸡蛋的一半，再乘2就是第一个人买完后剩下鸡蛋的个数，用它加上1就是篮子里鸡蛋的一半，再乘2就是篮子里原来一共有鸡蛋的个数；据此解答．
11．101；4
【解析】（1）经过两次加密得到，第一次还原：：100110，第二次还原：：101；
（2）数字串共有4个数字 ，则 数字串中有16个数字，中的每个数字对应中的4个数字，且这4个数为1001或0110，即可发现4个数字中至少有一对相邻两个数相等，所以16个数中至少有4对；
故答案为：101；4。
【分析】根据加密方法还原，先还原成 ，再还原成即可；
数字串共有每个数字对应中的4个数字，由于4个数只有两种可能，我们可以发现，不管哪种 都至少有一对相邻两个数相等，所以16个数中至少有4对相邻两个数相等。
12．解：列出表格如下：
大皮划组/艘 0 1 2 3 4 5 6
小皮划短/艘 6 5 4 3 2 1 0
总人数 24 26 28 30 32 34 36
当租大皮划艇2艘，小皮划艇4艘时，2×6+4×4=28（人），
答：租了大皮划艇2艘，小皮划艇4艘。
【解析】根据皮划艇总数是6艘，按照大皮划艇数从0、1、2、3、4、5、6艘依次列举出所对应的小皮划艇的艘数，从列举中可得出，当大皮划艇2艘，小皮划艇4艘时，正好全部坐满，即可解决问题。
13．解：原来的分子：15÷5=3，原来的分母：4×7=28，原来这个分数是。
答：原来这个分数是。
【解析】运用倒推法，分子扩大到原来的5倍，用新分母的分子15除以5得到原来的分子， 分母缩小到原来的，则用新分母的分母4乘以7得到原来的分母。
14．解：24÷2=12(千克)
24+12=36(千克)
36÷2=18(千克)
12+18=30(千克)
答：甲桶原来有水30千克，乙桶原来有水18千克。
【解析】当从乙桶倒出和甲桶同样多的水倒入甲桶后，这时两桶的水都是24千克，所以之前甲桶的水有24÷2=12(千克)，乙桶的水有24+12=36(千克)。在这之前，乙桶的水是加倍了，所以最开始乙桶中的水有36÷2=18(千克)，甲桶最开始的水的质量=12＋最开始乙桶中水的质量。
15．解：
方案 12人班 8人班 人数
① 3 0 36
② 2 2 40
③ 1 3 36
④ 0 5 40
答：开设3个12人班或1个12人班和3个8人班能保证所有班满员。
【解析】用列表法解决时，12人班和8人班可以分别从大到小排列，或者从小到大排列，使总人数等于36人即可。
16．解：根据题意，可得
200÷4=50（本）
张：50+13-2=61（本），
王：50+18-13=55（本），
李：50+16-18=48（本），
赵：50+2-16=36（本），
答：张、王、李、赵四个小朋友原来分别有61本、55本、48本和36本书。
【解析】4个小朋友互相交换之后，课外读物的本数没有变化，仍然是200本。当4个人的本数相等时，每个人的本数是200÷4=50本。把交换情况如下：
张：给出13本，收进2本=50本
王：给出18本，收进13本=50本
李：给出16本，收进18本=50本
赵：给出2本，收进16本=50本
现在从“50本”这里开始，把收进的减去，把给出的加上，就得出各人原有读物的本数。
17．解：后2天共加工：= 3560(个)，
后3天共加工：=5460(个)
后5天加工：=7080(个)
零件总数为：= 9000(个).
答：这批零件总数有9000个
【解析】根据倒推法，先求出三天后剩下的数量，再求出后3天加工的数量，再求出后4天加工的数量，最后用除法就可以求出总零件的数量。
18．解：第三次来回前：24÷2=12(钱)
第二次来回前： (12+24)÷2
=36÷2
=18(钱)
第一次来回前：
=42÷2
=21(钱)
答： 樵夫原来有21钱
【解析】运用倒推思想，从结果入手，最后给神仙24钱后，手里钱为0了，说明樵夫第3次走完钱增加1倍后钱数为24，据此可算出第三次来回前手里的钱，同理可算出樵夫原来手里的钱数。
19．解：第三次取出之前，丙仓库内的粮食是（吨），
那么此时甲乙仓库的粮食数相等是：（吨），
第二次从这时的乙仓库取出的粮食平分给甲仓库和丙仓库；
乙仓库之前有是（吨），
则甲仓库此时是（吨），
丙仓库就是（吨）
第一次从甲仓库取出的粮食平分给乙仓库和丙仓库；
所以之前甲仓库是（吨），
则乙仓库是（吨），
丙仓库量（吨）
答： 原来甲仓库存粮300吨， 乙仓库存粮660吨 ，丙仓库存粮336吨。
【解析】根据题中的取法，倒推取第二次后甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。再倒推取第一次后甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。再倒推取第一次前（原来）甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。
20．解：第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元；
第二次回来前，他身上有64+32=96（元），箱子里有64÷2=32（元）；
第二次过去前，他身上有96÷2=48（元），箱子里有32+48=80（元）；
第一次回来前，他身上有48+40=88（元），箱子里有80÷2=40（元）；
第一次过去前，他身上有88÷2=44（元），箱子里有40+44=84（元）；
答：原来这人身上有44元，箱子里有84元．
【解析】由题意，这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，即第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元，由此一步步向前逆推，则第二次回来前，他身上有64+32=96元，箱子里有64÷2=32元；第二次过去前，他身上有96÷2=48元，箱子里有32+48=80元；第一次回来前，他身上有48+40=88元，箱子里有80÷2=40元；第一次过去前，他身上有88÷2=44元，箱子里有40+44=84元；据此解答．
21．（1）解：图成长方形的长、宽、周长见下表：
长/米 36 18 12 9 6
宽/米 1 2 3 4 6
周长/米 74 40 30 26 24
（2）长
（3）6；6
【解析】（2）解： 当长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越长。
故答案为：长
（3）解： 该社区工作者想节省买木条的费用，建议他围的花圃长是6米、宽是6米。
故答案为：6；6
【分析】（1）长方形的面积=长×宽，已知长方形的面积是36平方米，而24=36×1=18×2=12×3=9×4=6×6，据此得出五组长方形的长和宽，再根据“长方形的周长=(长＋宽)×2”分别求出各长方形的周长：(36+1)×2=74(米)；(18+2)×2=40(米)；(12+3)×2=30（米)； (9＋4)×2=26；6×4=24(米)。
（2）观察表中数据可知，长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越大；长和宽相差越小，周长越小。
（3）如果想节省买木条的费用，则围的花圃周长最小，根据表中数据可知：花圃长6米，宽6米。
22．解：（92+36）×2
=128×2
=256（元）
答：小芳原来带了256元．
【解析】根据小红买一个福娃流线型书包用去所带钱的一半，买一个福娃文具盒又用去36元，这时还剩下92元，所以92+36=128元，128元是所带钱的一半，求原来带了多少钱，用128×2=256元即可．
23．解：30×2×2×2×2
=60×2×2×2
=120×2×2
=240×2
=480(cm)
480 cm=4.8 m
答：这根绳子原来长4.8 m。
【解析】倒推入手，对折三次后是30×2=60(cm)，对折两次后是60×2= 120(cm)，对折一次后是120×2=240(cm)，故没对折之前的长度是240×2= 480(cm)。
24．解：45÷3=15（个）
答：原来甲有25个，乙有13个、丙有7个．
【解析】 结果，三人的玻璃球恰好同样多，那么此时都有45÷3=15个玻璃球，然后根据逻辑关系逆推即可，为了便于倒回去想，可以列一个表解答．
25．答：有10种付钱的方法。（单位：张）
序号 50 元 20 元 10 元
1 2 0 0
2 1 2 1
3 1 1 3
4 1 0 5
5 0 5 0
6 0 4 2
7 0 3 4
8 0 2 6
9 0 1 8
10 0 0 10
【解析】共有10种付钱方法。具体组合为：50×2；50+20×2+10；50+20+10×3；50+10×5；20×5；20×4+10×2；20×3+10×4；20×2+10×6；20+10×8；10×10。
26．解：（12+3）÷
=15÷
=30（万方）
（30-2）÷（1-）
=28÷
=42（万方）
答： 这堆石料共有42万方 。
【解析】逆推还原：由于题目中的运输过程是逐步减少的，我们可以逆推还原。在逆推过程中，如果石料多了就加，少了就减，然后再除以1减去分率的差。
27．【分析】这里要运用逆向思维，将错就错，首先是把除数就当作是56，反过来推出被除数是多少，然后算出正确的商．
【解析】解：18×56+32=1040，
1040÷65=16．
答：正确的商是16．
28．解：一共有26块砖，最后哥哥比弟弟多搬2块砖，所以最后哥哥搬(26十2)+ 2=14(块)砖，弟弟搬26-14=12(块)砖。将抢砖过程还原如下：
哥哥 弟弟
14块 12块
9块 17块
18块 8块
10块 16块
答：最初弟弟准备搬16块砖。
【解析】本题是典型的逻辑推理题，需要从最终的状态反向推理回最初的状态。关键在于理解每次搬砖后砖块的分配情况，特别是哥哥和弟弟之间砖块的转移过程。最终状态是哥哥比弟弟多搬2块砖，且总砖数为26块。哥哥比弟弟多2块，所以哥哥搬的砖数为14块，弟弟搬的砖数为12块，弟弟给哥哥5块砖之前，哥哥搬的砖数为9块，弟弟搬的砖数为17块，弟弟从哥哥那里抢走一半砖块之前，哥哥搬的砖数为18块，弟弟搬的砖数为8块，哥哥从弟弟那里抢走一半砖块之前，弟弟搬的砖数为16块，哥哥搬的砖数为10块。
29．（1）2；10
（2）10；20
（3）解：5+5=10(吨)
10+10=20(吨)
答：这堆黄沙就是20吨。
【解析】解：（1）一堆黄沙，如果运走一半，还剩下5吨，那么这堆黄沙原来有2个5吨，即10吨。（2）一堆黄沙，如果运走一半的一半，还剩下5吨，那么这堆黄沙的一半是10吨，这堆黄沙就是20吨。
故答案为：（1）2；10；（2）10；20。
【分析】本题采用“逆推法”。
30．解：
=
=
答： 正确的结果应该是。
【解析】先根据“被除数=商×除数”，用错误的商乘错误的除数，求出正确的被除数，再用被除数除以正确的除数，求出正确的商。
31．解：设中学生手册卖出x本，根据题意得：
5x﹣3.75×（120﹣x）=162.5，
5x﹣450+3.75x=162.5，
8.75x=612.5，
x=70；
120﹣x=50．
答：这五天内启蒙书社卖出的《中学生手册》70本，《小学生手册》50本．
【解析】设中学生手册卖出x本，那么小学生手册可以用120﹣x本表示，分别用本数乘单价就是它们的总价，它们总价的差是162.5元，由此列出方程．
32．解： (万元)
(万元)
(万元 )
小王： (万元)
小李： (万元)
小丁 (万元)
答：小王分得 36 万元，小李分得 27 万元，小丁分得 18 万元。
【解析】根据题意可知最后剩下12万元，把小李取后剩下的钱看作单位“1”，则1-小丁取走的分率=最后剩下的钱占小李取后剩下的钱的分率，最后剩下的钱÷（-小丁取走的分率）=小李取后剩下的钱；
把小王取后剩下的钱看作单位“1”，（小李取后剩下的钱+小李多取的钱）÷（1-）=小王取后剩下的钱；
把全部利润看作单位“1”，（小王取后剩下的钱+小多取的钱）÷（1-）=全部利润，据此可以求出全部利润；
则全部利润－小王取后剩下的钱=小王取走的钱，小王取后剩下的钱－小李取后剩下的钱=小李取走的钱，全部利润－小王取走的钱-小李取走的钱=小丁取走的钱，据此可以解答。
33．解：根据题意，可得
90-60=30；
9-6=3；
577-（30+3）
=577-33
=544
答：这道题的正确答案应该是544
【解析】据题意可知，被减数十位上的6写成了9，差变大了，等于多加了30；减数个位上的9写成了6，减数减少了3，差就增大了3，9-6=3；所以，正确的差比现在的结果增加了30+3=33；然后用577减去增加的33就是正确的结果．
34．解：60÷3=20（个）
答：这筐水果中还有20个苹果。
【解析】苹果的数量是水果总数的一半，所以如果苹果是2份的话，水果总数是4份，吃掉苹果数量的一半，也就是吃掉了1份，还剩下3份的数量为60个，则每份是60÷3=20(个)。筐中还有20个苹果。
35．解：根据题意，可得
=
=108（个）
=
＝252（个）
=
=444（个）
=
＝700（个）
＝175＋81
＝256（个）
答：甲组取了256个苹果。
【解析】丙组取后余下的和所剩下的81个，是将余下的苹果是单位“1”，取了后，剩下的是81个，已知一个数的几分之几，求这个数，用除法得出丙取完剩下108个。同理丙组取了乙组取后所剩下的又81个，也就是将乙组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下108个，也就是乙组取后所剩的苹果个数的是189个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是252个。同理乙组取了甲组取后所剩下的又81个，也就是将甲组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下252个，也就是甲组取后所剩的苹果个数的是333个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是444个。同理甲组取了全部的又81个，也就是将全部苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下444个，也就是全部苹果个数的是525个，则用除法得出全部苹果个数是700个。甲组取的苹果个数＝
36．解：假设最后三人各有的玻璃球数量为x个。
逆推丙分给甲、乙后的情况：
丙分给甲、乙后，甲、乙的玻璃球数比丙多1个。这意味着，在丙分球之前，甲、乙各自有x/2个球，丙有x+2个球。
逆推乙分给甲、丙后的情况：
乙分给甲、丙后，甲、丙的玻璃球数比乙多1个。这意味着，在乙分球之前，甲有x/2-1个球，丙有x/2-1个球，乙有x+2个球。
逆推甲分给乙、丙后的情况：
甲分给乙、丙后，乙、丙的玻璃球数比甲多1个。这意味着，在甲分球之前，乙有x/2-1个球，丙有x/2-1个球，甲有x+2个球。
由于甲、乙、丙三人共有45个玻璃球，所以可以建立方程求解x：
(x/2-1) + (x/2-1) + (x+2) = 45
解得：x = 15
因此，最后三人各有的玻璃球数量为15个。
进一步求解原有的玻璃球数量：
甲原有：15+2=17个
乙原有：15+2=17个
丙原有：15个
答：甲原来有17个，乙原来有17个，丙原来有15个。
【解析】这道题目要求通过逆向思维，从三人最后各有的玻璃球数量，推断出他们原有的玻璃球数量。解题的关键在于理解题目中甲、乙、丙三人分球的规则，并根据这个规则逐步逆推。
37．解：8×4=32（米）
答：这段布原来长32米。
【解析】如图，相当于把总长度平均分成4段，还剩的长度是1段，因此用1段的长度乘4即可求基础这段布的总长度。
38．解：能，用表格表示3个桶中水的质量变化情况。(单位：千克)
第一个桶 第二个桶 第三个桶
10 0 0
3 7 0
3 4 3
6 4 0
6 1 3
9 1 0
9 0 1
2 7 1
2 5 3
5 5 0
【解析】可以用列表法不遗漏的把全部方案写全，剩下的货物的质量等于原来两个箱子里货物的质量，也就是说取出来的是4个箱子里货物的质量，取出来的是6×6=36吨，即可求出原来每个箱子里货物的质量。
39．解：
综合算式：（149+190）÷3-34=79
【解析】综合算式（149+190）÷3-34=79，先算加法，再算除法，最后算减法。
40．解：有五种不同的付钱方法。如下：
1元/张 5角/枚 1角/枚
方法一 2 0 0
方法二 1 2 0
方法三 1 1 5
方法四 1 0 10
方法五 0 2 10
【解析】这本笔记本的单价是2元，可以付：①2张1元、②1张1元和2枚5角、③1张1元、1枚5角和5枚1角、④1张1元和10枚1角、⑤2枚5角和10枚1角。
41．解：①因为最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，所以最后一次分配后三个人各有的苹果数是：24÷3=8(个)，那么在老大把苹果分给老二老三前，老大应有：8X2=16(个)，分给老二老三每人苹果的个数是：8÷2=4(个)，那么最后一次分配前老二老三各有是苹果个数是：8-4=4(个)；
②由题意老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，老二平分给老大老三前，应有苹果的个数是：4X2=8(个)，分给老大老三每人苹果的个数是：4÷2=2(个)，于是在“老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三”前，老大的苹果个数是：16-2=14(个)，老三的苹果的个数是：4-2=2(个)；
③那么一开始°老三的苹果个数是：2X2=4(个)，分给老大老三每人苹果的个数是：2÷2=1(个)，则一开始老大的苹果个数是：14-1=13(个)，老二的苹果个数是：8-1=7(个)；
因兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数，于是三人年龄老大是：13+3=16(岁)，老二是：7+3=10(岁)，老三是：4+3=7(岁)。
答：现在兄弟三人的年龄各是16岁、10岁、7岁。
【解析】 由题意可知，兄弟三人三年前的年龄和是24岁．我们可以根据题意，根据他们所得的苹果个数，利用逆推的方法分别求出三年前兄弟三人每人得到的苹果数，就可以求得他们现在各自的年龄。
42．解：最后每个箱子小球的个数：384÷3=128（个），
第三次操作前丙箱的个数：（128+128）÷2+128=128+128=256（个），甲、乙每箱的个数：（384-256）÷2=64（个），
第二次操作前丙箱的个数：256÷2=128（个），甲箱的个数：64÷2=32（个），乙箱的个数：384-128-32=224（个），
第一次操作前乙的个数：224÷2=112（个），丙的个数：128÷2=64（个），甲的个数：384-112-64=208（个）。
答：甲原有208个，乙原有112个，丙原有64个。
【解析】采用倒推的方法，用小球总数除以3求出最后每个箱子又128个小球。第三次操作是把丙箱取出与乙、丙两箱个数相同的数放进乙、丙内，所以第三次操作丙箱取出的数是乙、丙两箱总数的一半，因此用乙、丙两箱的总数除以2，再加上最后丙箱的个数求出第三次操作前丙箱的个数；乙、丙第三次操作前的个数是现在个数的一半。按照这样的方法依次推算出第一次操作前小球的个数即可。
43．解：1701÷（21-12）=189
189×21=3969
答：另一个因数是189，正确的积是3969。
【解析】首先计算另一个因数的值，比正确的积少的数÷（原因数-误写的因数）=另一个因数；然后，原因数×另一个因数=正确的积。
44．解：最后每人分得个数：48÷3=16(个)
老大分之前，老大有：16×2=32(个)
老大分之前，老二和老三分别有：16-16÷2=8(个)
老二分之前，老二有：8×2=16(个)；
老二分之前，老大有：32-8÷2=28(个)；
老二分之前，老三有：8-8÷2=4(个)；
原来老三有：4×2=8(个)
原来老大有：28-4÷2=26(个)
原来老二有：16-4÷2=14(个)
即三年前老大26岁，老二14岁，老三8岁
现在老大年龄：26+3=29(岁)
现在老二年龄：14+3=17(岁)
现在老三年龄：8+3=11(岁)
答：现在兄弟三人的年龄分别是29岁、17岁、11岁。
【解析】解决本题，可以用倒推法还原出原来每人分得的个数，由题意可知，总个数不变，最后三人分得的个数等于总个数除以3，是16个，再结合“ 最后老大再把现有的苹果数的一半平分给老二和老三 ”可知，老大原来的个数是16的2倍，老大给老二和老三每人16÷2=8(个)，用老二和老三现有的个数减去老大给他们的个数求出老大分之前两个人的个数；接着结合“ 老二再把现有的苹果数的一半平分给老大和老三 ”倒推出老二分之前，三人的个数；再结合“ 老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二 ”就能倒推出原来每人分得的个数，也就是每人三年前的年龄，再用每人三年前的年龄加3即可求出现在三人的年龄。
45．解：11×2=22（个）
36-22=14（个）
14÷2=7（个）
7+22=29（个）
答：甲筐原来有梨29个，乙筐原来有梨7个。
【解析】根据题意可知，先求出甲筐比乙筐多的个数，然后用甲、乙两筐梨的总数-甲筐比乙筐多的个数=乙筐原来个数的2倍，用除法可以求出乙筐原来的个数，然后用乙筐原来的个数+甲筐比乙筐多的个数=甲筐原来的个数，据此列式解答。
46．解：已知乙溶液的浓度最终是61 % ，可知第二次操作后，乙、丙的浓度都是61%。
设第一次操作后，甲、乙的浓度都是x，第三次操作，甲、丙的质量之比是3∶1，
可以列出方程：
3x +61%×1 =(1+3)x67%，解得x =0.69。可知乙，丙混合前，乙的浓度是69%。
设一开始丙瓶溶液的浓度是y，已知乙、丙的质量之比是2∶1，
可以列出方程：
2 ×69%+1×y =(1+2) x61 %，解得：y =0.45。所以，最初丙瓶溶液的浓度是45%。
答：最初丙瓶溶液的浓度是45%。
【解析】这是一道涉及到质量百分浓度和比例的问题，我们需要先理解题目中的操作，然后根据题目给出的信息，设立方程求解。
47．解：（100+100）×2=400（元）
（400+50）×2=900（元）
答：他原来有900元。
【解析】采用倒推的方法，第二次取后余下100元，因此用余下的钱数加上100元刚好是第一次取后余下钱数的一半，因此再乘2即可求出第一次取后余下的钱数。采用同样的方法计算出原来的钱数即可。
48．解：675÷(1-)
=675÷
=900(元)
1325+675=2000(元)
2000-900=1100(元)
1100÷(1-)
=1100÷
=1650(元)
2000-1650=350(元)
350÷=700(元)
2000-700=1300(元)
答：小花最初有700元；小珍最初有1300元。
【解析】根据题意，“ 最后小花又把她当时所有钱的给小珍。这时小花就有675元，小珍就有1325元 ”可知，给之前，小花有675÷(1-)=900(元)，总钱数不变，一共有1325+675=2000(元)，因此，小珍有2000-900=1100(元)；“ 小珍把她当时所有钱的给小花 ”之前，两人钱数分别为：小珍有1100÷(1-)=1650(元)，小花有2000-1650=350(元)；小花此时的钱数是小花原来钱数的，所以用350元除以可以求出小花原来的钱数，再用总钱数减去小花原来的钱数即可求出小珍原来的钱数。
49．解：假设最后三个人一样多时都是4份糖豆，根据题意，可得
丙：4÷2=2（份）
甲：4+2=6（份）
乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍：
乙：4÷2=2（份），
丙：2+2=4（份）
甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：
甲：6÷2=3（份），
乙：2+3=5（份）
即甲、乙、丙原来各有3、5、4份。
如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有：
51÷3×5
=17×5
=85（粒）
答：乙最开始有85粒糖豆.
【解析】假设最后三个人一样多时都是4份糖豆，丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍：丙：4÷2=2(份)，甲4+2=6(份)
乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍：乙：4÷2=2(份)，丙：2+2=4(份)；甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：甲6÷2=3(份)，乙2+3=5(份)，即甲、乙、丙原来各有3、5、4份。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有：51÷3×5=85(粒)
50．解：根据题意，可得
=
=
=3（升）
答：最开始瓶子里有3升矿泉水．
【解析】第五口喝了剩下的，那么还剩下，它对应的数量是0.5升，由此用除法求出第五口之前矿泉水的量，同理可以求出第四口之前、第三口之前…一直到原来的升数．
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小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）
专题20 还原问题
【第一部分：知识归纳】
一、基本概念
1、还原问题（又称倒推问题）是指已知变化后的结果，通过逆向思维逐步推算出原始数量的数学问题。这类问题需要按照与题目叙述相反的顺序进行运算。
2、核心特点：
逆向操作：从结果出发，倒推出原始数据
逐步还原：按照变化过程的逆序逐步推算
运算相反：加法变减法，乘法变除法等
二、解题四步法
步骤1：理清变化过程
明确题目中描述的每一步数量变化
步骤2：确定最后结果
记录题目给出的最终结果
步骤3：逆向操作
从最后一步开始，逐步向前推算
步骤4：验证答案
将答案代入原题验证是否正确
三、五大经典题型
题型1：基础还原
例题：一个数加上5，乘以3，减去7，结果是20。求原数。
解答：逆运算：
20 + 7 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 - 5 = 4
∴ 原数是4
验证：(4+5)×3-7=20
题型2：分配还原
例题：一桶油第一次用去一半多1升，第二次用去余下的一半少2升，还剩5升。原有油多少升？
解答：从后往前推：
第二次前：(5-2)×2=6升
第一次前：(6+1)×2=14升
∴ 原有14升
验证：第一次用14/2+1=8剩6，第二次用6/2-2=1剩5
题型3：年龄还原
例题：小明说："把我的年龄加5，乘以2，减8，再除以2就是现在的年龄。"小明现在几岁？
解答：设现在年龄为x：
[(x+5)×2-8]÷2 = x
逆运算：
x×2=2x
2x+8=2x+8
(2x+8)÷2=x+4
x+4-5=x-1
出现矛盾，说明题目有误
题型4：数量转移
例题：甲乙两筐苹果，从甲取10个给乙，乙比甲多5个；若从乙取15个给甲，甲是乙的2倍。原来各有多少个？
解答：设甲原有x，乙原有y
第一次后：
甲=x-10，乙=y+10
y+10=(x-10)+5 → y=x-15
第二次前还原：
甲=x，乙=y
第二次后：
甲=x+15，乙=y-15
x+15=2(y-15)
代入y=x-15：
x+15=2(x-30) → x=75
∴ y=60
题型5：复杂运算
例题：一个数先乘以3，再加这个数的一半，然后减去10，结果是35。求原数。
解答：
设原数为x：
(3x + x/2) - 10 = 35
逆运算：
35+10=45
45÷3.5=12.857（非整数，题目设计可能不合理）
四、易错点与技巧
1、常见错误
运算顺序错误：未严格按照逆序操作
运算方式错误：如该用除法时用了乘法
数量关系混淆：分配问题中"多"与"少"处理错误
验证缺失：未将结果代入验证
2、解题技巧
流程图法：绘制运算步骤的逆向流程图
表格法：
步骤 运算 结果
最后 20
上一步 +7 27
上上步 ÷3 9
原始 -5 4
方程法：设未知数建立方程
分段还原：复杂问题分阶段处理
【第二部分：能力提升】
1．在甲、乙、丙三个容器内分别装有浓度为10%的糖水50克、100克、150克，现将某种浓度的糖水50克倒入甲中，完全混合后，再从甲中取出50克倒入乙中，完全混合后，再从乙中取出 50克倒入丙中，完全混合后，发现丙的糖水浓度变为了10.5%，求最早倒入甲容器中的糖水的浓度？
2．王师傅计划做一批零件， 第一天做了计划的 ， 第二天又做了余下的 ， 这时还剩 42 个零件没做， 王师傅计划做多少个零件？
3．妈妈买了一些苹果，昨天吃了一半，今天又吃了剩下的一半，还剩下18个．妈妈一共买来多少个苹果？
4．丽丽、兰兰和芳芳去采摘草莓。采摘结束，丽丽给兰兰3颗，兰兰又给芳芳2颗，这时每人都有20颗草莓。兰兰原来有多少颗草莓？
5．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行48千米，5小时到达；沿原路返回，4小时回到甲地．求这辆车的返程速度。（画出树状图再解答）
6．小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？
7．用列表法解决问题。
一次数学竞赛，共有10道题，每做对1道题得8分，做错或不做1道题倒扣4分，李明共得44分，他做对了多少道题
数学题/道 做对的题/道 做错或不做的题/道 成绩/分
8． 一车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的多120个，第二天加工了剩下的少150个，第三天加工了剩下的多80个，第四天加工了剩下的少20个，第五天加工了最后的1800个，这批零件总数有多少个？
9．有18吨货物，用两辆载质量为6吨和4吨的车来运，如果每辆车都装满，怎样安排能恰好运完？
方案 载质量6吨的车 载质量4吨的车 运货吨数
①
②
③
④
（1）将表格填写完整。
（2）方案 能恰好运完18吨货物。
10．王老太上集市上卖鸡蛋，第一个人买走了篮子里鸡蛋的一半又一个，第二个人买走了剩下鸡蛋的一半又一个，这时篮子里还剩10个鸡蛋，请问王老太篮子里一共有多少个鸡蛋？
11．某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用表示没有经过加密的数字串，这样对进行一次加密就得到一个新的数字串，对再进行一次加密又得到一个新的数字串，…，依此类推．例如：，则．若已知，则 ；若数字串共有4个数字，则数字串中相邻两个数相等的数对至少有 对。
12． 某旅游团共28人去桐庐雅鲁漂流，一共租了6艘皮划艇，全部坐满。已知每艘大皮划艇可乘坐6人，每艘小皮划艇可乘坐4人，求大小皮划艇各租了几艘？
大皮划艇/艘
小皮划艇/艘
总人数
13．一个分数，分子扩大到原来的5倍，分母缩小到原来的，这个分数变为，求原来这个分数。
14．甲、乙两桶各有水若千千克。如果从甲桶中倒出和乙桶同样多的水放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的水放入甲桶，这时两桶的水恰好都是24千克。甲、乙两桶原来各有水多少千克？
15．聪聪对天文十分感兴趣，他计划参加天文兴趣班，寒假报名的学生共有36人，准备开设8人班和12人班，怎样安排能够保证所有班满员 （用列表法解答）
16．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？
17．一个车间计划5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的多120个，第二天加工了剩下的少 150个，第三天加工了剩下的多 80个，第四天加工量剩下的少 20个，第五天加工了最后的1800个，这批零件总数有多少个？
18．从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花力气就能发财的大型繁荣，有人生的重要不会来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”人家神通广大，恳求您指导，使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24钱作为报酬。”樵夫高兴地在桥上走了一个来回，他数了数口袋里的钱，果然增长了一倍。他拿出24 钱交给神仙，然后又向桥上走去，等到他第三次回来，把24钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有了。正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？
19．甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食，第一次从甲仑库取出的粮食平分给乙仓库和丙仓库；第二次从这时的乙仓库取出的粮食平分给甲仓库和丙仓库；第三次从这时的丙仓库取出的粮食平分给甲仓库和乙仓库，现在三个仓库存粮都是432吨，问原来三个仓库各存粮多少吨？
20．某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
21． 连线课堂·随机现象的可能性 为打造干净、整洁、舒适的居住环境，阳光社区用若干根1米长的木条围成一个面积是36 平方米的长方形花圃(含正方形)。
（1）围成长方形花圃的长、宽、周长各是多少？(用列举的策略，把结果填在下表中)
长(米)
宽(米)
周长(米)
（2）观察表中数据，当长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越 ；
（3）如果该社区工作者想节省买木条的费用，你建议他围的花圃长是 米、宽是 米。
22．小芳到商场买了一个福娃流线型书包用去所带钱的一半，买一个福娃文具盒用去36元，这时还剩92元．小芳原来带了多少钱？
23．把一根绳子对折4次后长度是30 cm，这根绳子原来长多少米？
24．甲、乙、丙三人共有45个玻璃球，甲先把自己的玻璃球给了乙、丙一部分。办法是：给对方的球数比对方现有的球数还多1个；接着，乙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、丙一部分：最后，丙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、乙一部分。结果，三人的玻璃球恰好同样多，原来他们各有多少个玻璃球 (还原问题)
25． 小明要买一辆玩具汽车，他有下列面值的人民币若干张，有多少种付钱的方法 分别列举。
26．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？
27．丁丁是个小马虎，他在计算除法时，把除数65写成了56，结果得到的商是18余32，正确的商是多少？
28．现有26块砖，兄弟两人争着去搬。弟弟抢在前面刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟搬的砖太多，就从弟弟那里拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好再给哥哥5块砖，这样哥哥比弟弟多搬2块砖。最初弟弟准备搬几块砖？
29． 一堆黄沙，先运走了一半，又运走了剩下的一半，这时还剩下5吨。这堆黄沙原来有多少吨
（1）一堆黄沙，如果运走一半，还剩下5吨，那么这堆黄沙原来有 个5吨，即 吨。
（2）一堆黄沙，如果运走一半的一半，还剩下5吨，那么这堆黄沙的一半是 吨，这堆黄沙就是 吨。
（3）解决此类问题就是一步一步退回到原来的出发点。
30． 小明在考试中将一个数除以 ，错算成了除以 ，结果是 。正确的结果应该是多少？
31．启蒙书社五天内卖出《中学生手册》和《小学生手册》共120本．《中学生手册》每本5元，《小学生手册》每本3.75元．营业员统计的结果表明：这五天内所卖《中学生手册》的收入比卖《小学生手册》的收入多162.5元．这五天内启蒙书社卖出的《中学生手册》和《小学生手册》各多少本？
32．(还原问题)小王、小李、小丁三人合伙做生意，年终根据每人的投资进行分红。小王取走了全部利润的另加9万元，小李取走了剩下的另加12万元，小丁取走了小李取后剩下的和剩下的12万元，他们每人各分得多少万元？
33．哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？
34．一筐水果中，恰好有一半数量是苹果，如果吃掉苹果数量的一半，筐中只剩下60个水果，这筐水果中还有多少个苹果？
35． 甲、乙、丙、丁四个小组同学按下列方法分配苹果：甲组取了全部的 又81个，乙组取了甲组取后所剩下的 又81个，丙组取了乙组取后所剩下的 又81个，最后丁组取了丙组取后余下的 和所剩下的81个。问甲组取了多少个苹果？
36．甲、乙、丙三人共有45个玻璃球，甲先把自己的玻璃球给了乙、丙一部分，办法是：给对方的球数比对方现有的球数还多1个；接着，乙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、丙一部分；最后，丙也按这个办法，把自己的玻璃球给了甲、乙一部分。结果三人的玻璃球恰好同样多。原来他们各有多少个玻璃球？
37． 一段布，第一次减去一半，第二次又减去余下的一半，还剩8米。这段布原来长多少米
38．有3个桶，第一个桶里装满了水，水的质量是10千克。
39．79113339149
综合算式：
40．小丽有2张1元纸币，2枚5角硬币和10枚1角硬币，她要买一本2元的笔记本。有几种不同的付钱方法？
41．一共有24个苹果，大娃、二娃、三娃各自取他们3年前的年龄相同的个数，正好分完。三娃将其取得的苹果数的一半平均分给大娃和二娃，二娃将现有的苹果数的一半平均分给大娃和三娃，大娃将现在苹果数的一半平均分给二娃和三娃，这时他们的苹果数相同，问今年他们分别多少岁。
42．甲、乙、丙三箱内共有小球384个，先由甲箱内取出若干个球放进乙、丙两箱，所放之数分别为乙、丙原有之数；继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内；最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内；放法同前，结果三箱内小球个数恰好相等，问甲、乙、丙三箱原有小球各多少个
43．小红做乘法计算题时，把其中一个因数21当作12来算，结果得到的积比正确的积少了1701，那么，另一个因数是几？正确的积应该是多少？
44．兄弟三人分48个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数。如果老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有的苹果数的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有的苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人的苹果数恰好相等，求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？
45．甲、乙两筐梨一共有36个，如果甲筐给乙筐11个梨，两筐就同样多了，甲、乙两筐原来各有梨多少个？
46．(还原问题) 有甲、乙、丙 3 瓶酒精溶液， 它们的质量比是 。如果把两瓶酒精溶液混合后再按原来的质量分配到各自的瓶中， 称为一次操作。现在先对甲、乙两瓶酒精溶液进行一次操作，再对乙、丙两瓶酒精溶液进行一次操作，最后对丙、甲两瓶酒精溶液进行一次操作。三次操作后， 甲、乙两瓶溶液的浓度分别是 和 。求最初丙瓶溶液的浓度。
47．某人去银行取款，第一次取了存款的一半多 50元，第二次取了余下的一半多 100 元，最后剩下100 元，求他原来有多少元
48．小花和小珍各有若干元钱。先是小花把她的钱的一半给小珍，然后小珍把她当时所有钱的给小花，最后小花又把她当时所有钱的给小珍。这时小花就有675元，小珍就有1325元。最初两人各有多少钱？
49．乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆一样多．如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？
50．刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
参考答案及试题解析
1．解：从乙中取出50克倒入丙中的浓度：[(150+50)×10.5%-150×10%]÷50
=[200×10.5%-15]÷50
=6÷50
=12%
从甲中取出50克倒入乙中的浓度：[(100+50)×12%-100×10%]÷50
=[150×12%-10]÷50
=8÷50
=16%
最早倒入甲容器中的糖水的浓度：[(50+50)×16%-50×10%]÷50
=[100×16%-5]÷50
=11÷50
=22%
答：最早倒入甲容器中的糖水的浓度是22%。
【解析】首先，需要根据丙容器中糖水浓度和总量计算出糖的总量。然后，减去丙容器原本的糖量，可以计算出从乙容器倒入丙容器的糖量。由此，我们可以推算出倒入乙容器时的糖水浓度。接着，重复上述步骤，计算出从甲容器倒入乙容器的糖量和糖水浓度，以及最早倒入甲容器的糖水浓度。
2．解：42÷（1-）÷（1-）
=105÷（1-）
=245（个）
答：王师傅计划做245个零件。
【解析】把第二天做了余下的个数看作单位“1”，那么42是余下的（1-），根据分数除法的意义，求第二天余下的个数是：42÷（1-）=105个，再把计划的个数看作单位“1”，那么105是计划的（1-），求计划的个数是：105÷（1-）=245个，据此解答。
3．解：18÷（1﹣）÷（1﹣）
=18
=72（个）
答：妈妈一共买来72个苹果．
【解析】“今天吃了剩下的一半，这时还剩下18个”，可知昨天吃完后余下18÷（1﹣）=36（个）；再由“昨天吃了，还剩下36个”，可得苹果总数为36÷（1﹣）=72（个），解决问题．
4．解：20+2-3
=22-3
=19（颗）
答：兰兰原来有19颗草莓。
【解析】兰兰原来有草莓的颗数=这时每人有草莓的颗数+丽丽给兰兰的颗数-兰兰给芳芳的棵数，据此代入数值作答即可。
5．解：
48×5÷4
=240÷4
=60（千米/时）
答：这辆车的返程速度是60千米/时。
【解析】这辆车的返程速度=去时的速度×去时用的时间÷返回用的时间。
6．解：根据题意，可得
123－（9－5）＋（80－30）
＝123－4＋50
＝119＋50
＝169
答：正确答案是169。
【解析】将加数个位上的5看作9，则多加了9－5＝4，十位上的8看做3，因为是在十位上，则少加了80－30＝50，用最终错误的结果将多加的减去，少加的加上，即得正确答案。
7．解：
数学题/道 做对的题/道 做错或不做的题/道 成绩/分
10 9 1 9×8-1×4=68
10 8 2 8×8-2×4=56
10 7 3
【解析】右下角填的是：7×8-3×4=447×8-3×4=44；
做对的题数×8=得的分数，做错的题数×4=扣的分数，得的分数-扣的分数=成绩。
8．解：后两天加工：(1800-20)÷(1-)
=1780÷
=3560(个)；
后3天加工：(3560+80)÷(1-)
=3640÷
=5460(个)；
后4天加工：(5460-150)÷(1-)
=5310÷
=7080(个)；
零件总数：(7080+120)÷(1-)
=7200÷
=9000(个)
答：这批零件总数有9000个。
【解析】本题可以用倒推法进行解答，由题意可知，第五天加工的个数为第三天剩下个数的多20个，所以，用第五天加工的个数减去20，再除以(1-)可以计算出第三天剩下的个数，也就是后两天加工的个数；后两天剩下的个数比第二天剩下个数的(1-)少80个，所以，用后两天加工的个数加80，再除以(1-)可以计算出第二天剩下的个数，也就是后三天加工的个数；以此类推，进行解答。
9．（1）解：
方案 载质量6吨的车 载质量4吨的车 运货吨数
① 3次 0次 18
② 2次 2次 20
③ 1次 3次 18
④ 0次 5次 20
（2）①和③
【解析】解：（2）方案①和③运的吨数都是18吨，能恰好运完。
故答案为：（2）①和③。
【分析】应用列表法，可以把载质量6吨或者4吨的车按照从大到小排列，或者从小到大排列，运货的总质量=6吨×载质量6吨的辆数＋4吨×载质量4吨的辆数。
10．解：第一个人买完后鸡蛋有：
（10+1）×2
=11×2
=22（个）
篮子里原来有鸡蛋：
（22+1）×2
=23×2
=46（个）
答：王老太篮子里一共有46个鸡蛋．
【解析】运用逆推的方法，用（10+1）可求得第一个人买完后剩下鸡蛋的一半，再乘2就是第一个人买完后剩下鸡蛋的个数，用它加上1就是篮子里鸡蛋的一半，再乘2就是篮子里原来一共有鸡蛋的个数；据此解答．
11．101；4
【解析】（1）经过两次加密得到，第一次还原：：100110，第二次还原：：101；
（2）数字串共有4个数字 ，则 数字串中有16个数字，中的每个数字对应中的4个数字，且这4个数为1001或0110，即可发现4个数字中至少有一对相邻两个数相等，所以16个数中至少有4对；
故答案为：101；4。
【分析】根据加密方法还原，先还原成 ，再还原成即可；
数字串共有每个数字对应中的4个数字，由于4个数只有两种可能，我们可以发现，不管哪种 都至少有一对相邻两个数相等，所以16个数中至少有4对相邻两个数相等。
12．解：列出表格如下：
大皮划组/艘 0 1 2 3 4 5 6
小皮划短/艘 6 5 4 3 2 1 0
总人数 24 26 28 30 32 34 36
当租大皮划艇2艘，小皮划艇4艘时，2×6+4×4=28（人），
答：租了大皮划艇2艘，小皮划艇4艘。
【解析】根据皮划艇总数是6艘，按照大皮划艇数从0、1、2、3、4、5、6艘依次列举出所对应的小皮划艇的艘数，从列举中可得出，当大皮划艇2艘，小皮划艇4艘时，正好全部坐满，即可解决问题。
13．解：原来的分子：15÷5=3，原来的分母：4×7=28，原来这个分数是。
答：原来这个分数是。
【解析】运用倒推法，分子扩大到原来的5倍，用新分母的分子15除以5得到原来的分子， 分母缩小到原来的，则用新分母的分母4乘以7得到原来的分母。
14．解：24÷2=12(千克)
24+12=36(千克)
36÷2=18(千克)
12+18=30(千克)
答：甲桶原来有水30千克，乙桶原来有水18千克。
【解析】当从乙桶倒出和甲桶同样多的水倒入甲桶后，这时两桶的水都是24千克，所以之前甲桶的水有24÷2=12(千克)，乙桶的水有24+12=36(千克)。在这之前，乙桶的水是加倍了，所以最开始乙桶中的水有36÷2=18(千克)，甲桶最开始的水的质量=12＋最开始乙桶中水的质量。
15．解：
方案 12人班 8人班 人数
① 3 0 36
② 2 2 40
③ 1 3 36
④ 0 5 40
答：开设3个12人班或1个12人班和3个8人班能保证所有班满员。
【解析】用列表法解决时，12人班和8人班可以分别从大到小排列，或者从小到大排列，使总人数等于36人即可。
16．解：根据题意，可得
200÷4=50（本）
张：50+13-2=61（本），
王：50+18-13=55（本），
李：50+16-18=48（本），
赵：50+2-16=36（本），
答：张、王、李、赵四个小朋友原来分别有61本、55本、48本和36本书。
【解析】4个小朋友互相交换之后，课外读物的本数没有变化，仍然是200本。当4个人的本数相等时，每个人的本数是200÷4=50本。把交换情况如下：
张：给出13本，收进2本=50本
王：给出18本，收进13本=50本
李：给出16本，收进18本=50本
赵：给出2本，收进16本=50本
现在从“50本”这里开始，把收进的减去，把给出的加上，就得出各人原有读物的本数。
17．解：后2天共加工：= 3560(个)，
后3天共加工：=5460(个)
后5天加工：=7080(个)
零件总数为：= 9000(个).
答：这批零件总数有9000个
【解析】根据倒推法，先求出三天后剩下的数量，再求出后3天加工的数量，再求出后4天加工的数量，最后用除法就可以求出总零件的数量。
18．解：第三次来回前：24÷2=12(钱)
第二次来回前： (12+24)÷2
=36÷2
=18(钱)
第一次来回前：
=42÷2
=21(钱)
答： 樵夫原来有21钱
【解析】运用倒推思想，从结果入手，最后给神仙24钱后，手里钱为0了，说明樵夫第3次走完钱增加1倍后钱数为24，据此可算出第三次来回前手里的钱，同理可算出樵夫原来手里的钱数。
19．解：第三次取出之前，丙仓库内的粮食是（吨），
那么此时甲乙仓库的粮食数相等是：（吨），
第二次从这时的乙仓库取出的粮食平分给甲仓库和丙仓库；
乙仓库之前有是（吨），
则甲仓库此时是（吨），
丙仓库就是（吨）
第一次从甲仓库取出的粮食平分给乙仓库和丙仓库；
所以之前甲仓库是（吨），
则乙仓库是（吨），
丙仓库量（吨）
答： 原来甲仓库存粮300吨， 乙仓库存粮660吨 ，丙仓库存粮336吨。
【解析】根据题中的取法，倒推取第二次后甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。再倒推取第一次后甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。再倒推取第一次前（原来）甲、乙、丙三个仑库各自存放若干吨粮食。
20．解：第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元；
第二次回来前，他身上有64+32=96（元），箱子里有64÷2=32（元）；
第二次过去前，他身上有96÷2=48（元），箱子里有32+48=80（元）；
第一次回来前，他身上有48+40=88（元），箱子里有80÷2=40（元）；
第一次过去前，他身上有88÷2=44（元），箱子里有40+44=84（元）；
答：原来这人身上有44元，箱子里有84元．
【解析】由题意，这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，即第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元，由此一步步向前逆推，则第二次回来前，他身上有64+32=96元，箱子里有64÷2=32元；第二次过去前，他身上有96÷2=48元，箱子里有32+48=80元；第一次回来前，他身上有48+40=88元，箱子里有80÷2=40元；第一次过去前，他身上有88÷2=44元，箱子里有40+44=84元；据此解答．
21．（1）解：图成长方形的长、宽、周长见下表：
长/米 36 18 12 9 6
宽/米 1 2 3 4 6
周长/米 74 40 30 26 24
（2）长
（3）6；6
【解析】（2）解： 当长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越长。
故答案为：长
（3）解： 该社区工作者想节省买木条的费用，建议他围的花圃长是6米、宽是6米。
故答案为：6；6
【分析】（1）长方形的面积=长×宽，已知长方形的面积是36平方米，而24=36×1=18×2=12×3=9×4=6×6，据此得出五组长方形的长和宽，再根据“长方形的周长=(长＋宽)×2”分别求出各长方形的周长：(36+1)×2=74(米)；(18+2)×2=40(米)；(12+3)×2=30（米)； (9＋4)×2=26；6×4=24(米)。
（2）观察表中数据可知，长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越大；长和宽相差越小，周长越小。
（3）如果想节省买木条的费用，则围的花圃周长最小，根据表中数据可知：花圃长6米，宽6米。
22．解：（92+36）×2
=128×2
=256（元）
答：小芳原来带了256元．
【解析】根据小红买一个福娃流线型书包用去所带钱的一半，买一个福娃文具盒又用去36元，这时还剩下92元，所以92+36=128元，128元是所带钱的一半，求原来带了多少钱，用128×2=256元即可．
23．解：30×2×2×2×2
=60×2×2×2
=120×2×2
=240×2
=480(cm)
480 cm=4.8 m
答：这根绳子原来长4.8 m。
【解析】倒推入手，对折三次后是30×2=60(cm)，对折两次后是60×2= 120(cm)，对折一次后是120×2=240(cm)，故没对折之前的长度是240×2= 480(cm)。
24．解：45÷3=15（个）
答：原来甲有25个，乙有13个、丙有7个．
【解析】 结果，三人的玻璃球恰好同样多，那么此时都有45÷3=15个玻璃球，然后根据逻辑关系逆推即可，为了便于倒回去想，可以列一个表解答．
25．答：有10种付钱的方法。（单位：张）
序号 50 元 20 元 10 元
1 2 0 0
2 1 2 1
3 1 1 3
4 1 0 5
5 0 5 0
6 0 4 2
7 0 3 4
8 0 2 6
9 0 1 8
10 0 0 10
【解析】共有10种付钱方法。具体组合为：50×2；50+20×2+10；50+20+10×3；50+10×5；20×5；20×4+10×2；20×3+10×4；20×2+10×6；20+10×8；10×10。
26．解：（12+3）÷
=15÷
=30（万方）
（30-2）÷（1-）
=28÷
=42（万方）
答： 这堆石料共有42万方 。
【解析】逆推还原：由于题目中的运输过程是逐步减少的，我们可以逆推还原。在逆推过程中，如果石料多了就加，少了就减，然后再除以1减去分率的差。
27．【分析】这里要运用逆向思维，将错就错，首先是把除数就当作是56，反过来推出被除数是多少，然后算出正确的商．
【解析】解：18×56+32=1040，
1040÷65=16．
答：正确的商是16．
28．解：一共有26块砖，最后哥哥比弟弟多搬2块砖，所以最后哥哥搬(26十2)+ 2=14(块)砖，弟弟搬26-14=12(块)砖。将抢砖过程还原如下：
哥哥 弟弟
14块 12块
9块 17块
18块 8块
10块 16块
答：最初弟弟准备搬16块砖。
【解析】本题是典型的逻辑推理题，需要从最终的状态反向推理回最初的状态。关键在于理解每次搬砖后砖块的分配情况，特别是哥哥和弟弟之间砖块的转移过程。最终状态是哥哥比弟弟多搬2块砖，且总砖数为26块。哥哥比弟弟多2块，所以哥哥搬的砖数为14块，弟弟搬的砖数为12块，弟弟给哥哥5块砖之前，哥哥搬的砖数为9块，弟弟搬的砖数为17块，弟弟从哥哥那里抢走一半砖块之前，哥哥搬的砖数为18块，弟弟搬的砖数为8块，哥哥从弟弟那里抢走一半砖块之前，弟弟搬的砖数为16块，哥哥搬的砖数为10块。
29．（1）2；10
（2）10；20
（3）解：5+5=10(吨)
10+10=20(吨)
答：这堆黄沙就是20吨。
【解析】解：（1）一堆黄沙，如果运走一半，还剩下5吨，那么这堆黄沙原来有2个5吨，即10吨。（2）一堆黄沙，如果运走一半的一半，还剩下5吨，那么这堆黄沙的一半是10吨，这堆黄沙就是20吨。
故答案为：（1）2；10；（2）10；20。
【分析】本题采用“逆推法”。
30．解：
=
=
答： 正确的结果应该是。
【解析】先根据“被除数=商×除数”，用错误的商乘错误的除数，求出正确的被除数，再用被除数除以正确的除数，求出正确的商。
31．解：设中学生手册卖出x本，根据题意得：
5x﹣3.75×（120﹣x）=162.5，
5x﹣450+3.75x=162.5，
8.75x=612.5，
x=70；
120﹣x=50．
答：这五天内启蒙书社卖出的《中学生手册》70本，《小学生手册》50本．
【解析】设中学生手册卖出x本，那么小学生手册可以用120﹣x本表示，分别用本数乘单价就是它们的总价，它们总价的差是162.5元，由此列出方程．
32．解： (万元)
(万元)
(万元 )
小王： (万元)
小李： (万元)
小丁 (万元)
答：小王分得 36 万元，小李分得 27 万元，小丁分得 18 万元。
【解析】根据题意可知最后剩下12万元，把小李取后剩下的钱看作单位“1”，则1-小丁取走的分率=最后剩下的钱占小李取后剩下的钱的分率，最后剩下的钱÷（-小丁取走的分率）=小李取后剩下的钱；
把小王取后剩下的钱看作单位“1”，（小李取后剩下的钱+小李多取的钱）÷（1-）=小王取后剩下的钱；
把全部利润看作单位“1”，（小王取后剩下的钱+小多取的钱）÷（1-）=全部利润，据此可以求出全部利润；
则全部利润－小王取后剩下的钱=小王取走的钱，小王取后剩下的钱－小李取后剩下的钱=小李取走的钱，全部利润－小王取走的钱-小李取走的钱=小丁取走的钱，据此可以解答。
33．解：根据题意，可得
90-60=30；
9-6=3；
577-（30+3）
=577-33
=544
答：这道题的正确答案应该是544
【解析】据题意可知，被减数十位上的6写成了9，差变大了，等于多加了30；减数个位上的9写成了6，减数减少了3，差就增大了3，9-6=3；所以，正确的差比现在的结果增加了30+3=33；然后用577减去增加的33就是正确的结果．
34．解：60÷3=20（个）
答：这筐水果中还有20个苹果。
【解析】苹果的数量是水果总数的一半，所以如果苹果是2份的话，水果总数是4份，吃掉苹果数量的一半，也就是吃掉了1份，还剩下3份的数量为60个，则每份是60÷3=20(个)。筐中还有20个苹果。
35．解：根据题意，可得
=
=108（个）
=
＝252（个）
=
=444（个）
=
＝700（个）
＝175＋81
＝256（个）
答：甲组取了256个苹果。
【解析】丙组取后余下的和所剩下的81个，是将余下的苹果是单位“1”，取了后，剩下的是81个，已知一个数的几分之几，求这个数，用除法得出丙取完剩下108个。同理丙组取了乙组取后所剩下的又81个，也就是将乙组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下108个，也就是乙组取后所剩的苹果个数的是189个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是252个。同理乙组取了甲组取后所剩下的又81个，也就是将甲组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下252个，也就是甲组取后所剩的苹果个数的是333个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是444个。同理甲组取了全部的又81个，也就是将全部苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下444个，也就是全部苹果个数的是525个，则用除法得出全部苹果个数是700个。甲组取的苹果个数＝
36．解：假设最后三人各有的玻璃球数量为x个。
逆推丙分给甲、乙后的情况：
丙分给甲、乙后，甲、乙的玻璃球数比丙多1个。这意味着，在丙分球之前，甲、乙各自有x/2个球，丙有x+2个球。
逆推乙分给甲、丙后的情况：
乙分给甲、丙后，甲、丙的玻璃球数比乙多1个。这意味着，在乙分球之前，甲有x/2-1个球，丙有x/2-1个球，乙有x+2个球。
逆推甲分给乙、丙后的情况：
甲分给乙、丙后，乙、丙的玻璃球数比甲多1个。这意味着，在甲分球之前，乙有x/2-1个球，丙有x/2-1个球，甲有x+2个球。
由于甲、乙、丙三人共有45个玻璃球，所以可以建立方程求解x：
(x/2-1) + (x/2-1) + (x+2) = 45
解得：x = 15
因此，最后三人各有的玻璃球数量为15个。
进一步求解原有的玻璃球数量：
甲原有：15+2=17个
乙原有：15+2=17个
丙原有：15个
答：甲原来有17个，乙原来有17个，丙原来有15个。
【解析】这道题目要求通过逆向思维，从三人最后各有的玻璃球数量，推断出他们原有的玻璃球数量。解题的关键在于理解题目中甲、乙、丙三人分球的规则，并根据这个规则逐步逆推。
37．解：8×4=32（米）
答：这段布原来长32米。
【解析】如图，相当于把总长度平均分成4段，还剩的长度是1段，因此用1段的长度乘4即可求基础这段布的总长度。
38．解：能，用表格表示3个桶中水的质量变化情况。(单位：千克)
第一个桶 第二个桶 第三个桶
10 0 0
3 7 0
3 4 3
6 4 0
6 1 3
9 1 0
9 0 1
2 7 1
2 5 3
5 5 0
【解析】可以用列表法不遗漏的把全部方案写全，剩下的货物的质量等于原来两个箱子里货物的质量，也就是说取出来的是4个箱子里货物的质量，取出来的是6×6=36吨，即可求出原来每个箱子里货物的质量。
39．解：
综合算式：（149+190）÷3-34=79
【解析】综合算式（149+190）÷3-34=79，先算加法，再算除法，最后算减法。
40．解：有五种不同的付钱方法。如下：
1元/张 5角/枚 1角/枚
方法一 2 0 0
方法二 1 2 0
方法三 1 1 5
方法四 1 0 10
方法五 0 2 10
【解析】这本笔记本的单价是2元，可以付：①2张1元、②1张1元和2枚5角、③1张1元、1枚5角和5枚1角、④1张1元和10枚1角、⑤2枚5角和10枚1角。
41．解：①因为最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，所以最后一次分配后三个人各有的苹果数是：24÷3=8(个)，那么在老大把苹果分给老二老三前，老大应有：8X2=16(个)，分给老二老三每人苹果的个数是：8÷2=4(个)，那么最后一次分配前老二老三各有是苹果个数是：8-4=4(个)；
②由题意老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，老二平分给老大老三前，应有苹果的个数是：4X2=8(个)，分给老大老三每人苹果的个数是：4÷2=2(个)，于是在“老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三”前，老大的苹果个数是：16-2=14(个)，老三的苹果的个数是：4-2=2(个)；
③那么一开始°老三的苹果个数是：2X2=4(个)，分给老大老三每人苹果的个数是：2÷2=1(个)，则一开始老大的苹果个数是：14-1=13(个)，老二的苹果个数是：8-1=7(个)；
因兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数，于是三人年龄老大是：13+3=16(岁)，老二是：7+3=10(岁)，老三是：4+3=7(岁)。
答：现在兄弟三人的年龄各是16岁、10岁、7岁。
【解析】 由题意可知，兄弟三人三年前的年龄和是24岁．我们可以根据题意，根据他们所得的苹果个数，利用逆推的方法分别求出三年前兄弟三人每人得到的苹果数，就可以求得他们现在各自的年龄。
42．解：最后每个箱子小球的个数：384÷3=128（个），
第三次操作前丙箱的个数：（128+128）÷2+128=128+128=256（个），甲、乙每箱的个数：（384-256）÷2=64（个），
第二次操作前丙箱的个数：256÷2=128（个），甲箱的个数：64÷2=32（个），乙箱的个数：384-128-32=224（个），
第一次操作前乙的个数：224÷2=112（个），丙的个数：128÷2=64（个），甲的个数：384-112-64=208（个）。
答：甲原有208个，乙原有112个，丙原有64个。
【解析】采用倒推的方法，用小球总数除以3求出最后每个箱子又128个小球。第三次操作是把丙箱取出与乙、丙两箱个数相同的数放进乙、丙内，所以第三次操作丙箱取出的数是乙、丙两箱总数的一半，因此用乙、丙两箱的总数除以2，再加上最后丙箱的个数求出第三次操作前丙箱的个数；乙、丙第三次操作前的个数是现在个数的一半。按照这样的方法依次推算出第一次操作前小球的个数即可。
43．解：1701÷（21-12）=189
189×21=3969
答：另一个因数是189，正确的积是3969。
【解析】首先计算另一个因数的值，比正确的积少的数÷（原因数-误写的因数）=另一个因数；然后，原因数×另一个因数=正确的积。
44．解：最后每人分得个数：48÷3=16(个)
老大分之前，老大有：16×2=32(个)
老大分之前，老二和老三分别有：16-16÷2=8(个)
老二分之前，老二有：8×2=16(个)；
老二分之前，老大有：32-8÷2=28(个)；
老二分之前，老三有：8-8÷2=4(个)；
原来老三有：4×2=8(个)
原来老大有：28-4÷2=26(个)
原来老二有：16-4÷2=14(个)
即三年前老大26岁，老二14岁，老三8岁
现在老大年龄：26+3=29(岁)
现在老二年龄：14+3=17(岁)
现在老三年龄：8+3=11(岁)
答：现在兄弟三人的年龄分别是29岁、17岁、11岁。
【解析】解决本题，可以用倒推法还原出原来每人分得的个数，由题意可知，总个数不变，最后三人分得的个数等于总个数除以3，是16个，再结合“ 最后老大再把现有的苹果数的一半平分给老二和老三 ”可知，老大原来的个数是16的2倍，老大给老二和老三每人16÷2=8(个)，用老二和老三现有的个数减去老大给他们的个数求出老大分之前两个人的个数；接着结合“ 老二再把现有的苹果数的一半平分给老大和老三 ”倒推出老二分之前，三人的个数；再结合“ 老三把所得苹果数的一半平分给老大和老二 ”就能倒推出原来每人分得的个数，也就是每人三年前的年龄，再用每人三年前的年龄加3即可求出现在三人的年龄。
45．解：11×2=22（个）
36-22=14（个）
14÷2=7（个）
7+22=29（个）
答：甲筐原来有梨29个，乙筐原来有梨7个。
【解析】根据题意可知，先求出甲筐比乙筐多的个数，然后用甲、乙两筐梨的总数-甲筐比乙筐多的个数=乙筐原来个数的2倍，用除法可以求出乙筐原来的个数，然后用乙筐原来的个数+甲筐比乙筐多的个数=甲筐原来的个数，据此列式解答。
46．解：已知乙溶液的浓度最终是61 % ，可知第二次操作后，乙、丙的浓度都是61%。
设第一次操作后，甲、乙的浓度都是x，第三次操作，甲、丙的质量之比是3∶1，
可以列出方程：
3x +61%×1 =(1+3)x67%，解得x =0.69。可知乙，丙混合前，乙的浓度是69%。
设一开始丙瓶溶液的浓度是y，已知乙、丙的质量之比是2∶1，
可以列出方程：
2 ×69%+1×y =(1+2) x61 %，解得：y =0.45。所以，最初丙瓶溶液的浓度是45%。
答：最初丙瓶溶液的浓度是45%。
【解析】这是一道涉及到质量百分浓度和比例的问题，我们需要先理解题目中的操作，然后根据题目给出的信息，设立方程求解。
47．解：（100+100）×2=400（元）
（400+50）×2=900（元）
答：他原来有900元。
【解析】采用倒推的方法，第二次取后余下100元，因此用余下的钱数加上100元刚好是第一次取后余下钱数的一半，因此再乘2即可求出第一次取后余下的钱数。采用同样的方法计算出原来的钱数即可。
48．解：675÷(1-)
=675÷
=900(元)
1325+675=2000(元)
2000-900=1100(元)
1100÷(1-)
=1100÷
=1650(元)
2000-1650=350(元)
350÷=700(元)
2000-700=1300(元)
答：小花最初有700元；小珍最初有1300元。
【解析】根据题意，“ 最后小花又把她当时所有钱的给小珍。这时小花就有675元，小珍就有1325元 ”可知，给之前，小花有675÷(1-)=900(元)，总钱数不变，一共有1325+675=2000(元)，因此，小珍有2000-900=1100(元)；“ 小珍把她当时所有钱的给小花 ”之前，两人钱数分别为：小珍有1100÷(1-)=1650(元)，小花有2000-1650=350(元)；小花此时的钱数是小花原来钱数的，所以用350元除以可以求出小花原来的钱数，再用总钱数减去小花原来的钱数即可求出小珍原来的钱数。
49．解：假设最后三个人一样多时都是4份糖豆，根据题意，可得
丙：4÷2=2（份）
甲：4+2=6（份）
乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍：
乙：4÷2=2（份），
丙：2+2=4（份）
甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：
甲：6÷2=3（份），
乙：2+3=5（份）
即甲、乙、丙原来各有3、5、4份。
如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有：
51÷3×5
=17×5
=85（粒）
答：乙最开始有85粒糖豆.
【解析】假设最后三个人一样多时都是4份糖豆，丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加了一倍：丙：4÷2=2(份)，甲4+2=6(份)
乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加了一倍：乙：4÷2=2(份)，丙：2+2=4(份)；甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加了一倍：甲6÷2=3(份)，乙2+3=5(份)，即甲、乙、丙原来各有3、5、4份。如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有：51÷3×5=85(粒)
50．解：根据题意，可得
=
=
=3（升）
答：最开始瓶子里有3升矿泉水．
【解析】第五口喝了剩下的，那么还剩下，它对应的数量是0.5升，由此用除法求出第五口之前矿泉水的量，同理可以求出第四口之前、第三口之前…一直到原来的升数．
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