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第4章 平面内的两条直线
探索并证明平行线的判定方法2,3.（难点）
探究
两条直线被第三条直线所截，由同位角相等可以判定两条直线平行，那么内错角相等可以判定两条直线平行吗？同旁内角互补呢？
如图1，直线AB，CD被直线EF所截，∠2与∠3是内错角.
F
E
D
C
B
A
图1
若∠2=∠3，
又因为∠3=∠1（对顶角相等）,
则∠1=∠2.
因此AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
F
E
D
C
B
A
图1
如图1，直线AB，CD被直线EF所截，∠2与∠3是内错角.
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
通常简单说成：内错角相等，两直线平行.
由此可得平行线的判定方法2：
如图2，直线AB，CD被直线EF所截，∠1与∠2是同旁内角.
F
E
B
A
D
C
图2
若∠1+∠2=180°，
又因为∠2+∠3=180°,
则∠3=∠1.
因此AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
通常简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
由此可得平行线的判定方法3：
【例3】如图3 ，AB∥DC，∠BAD=∠BCD.那么 AD∥BC 吗？
解 因为AB∥DC，
所以∠1=∠2 (两直线平行，内错角相等).
又因为∠BAD=∠BCD，
所以∠BAD-∠1=∠BCD- ∠2.
即∠3=∠4.
所以 AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
A
B
C
D
2
1
3
4
图3
【例4】如图4，∠1=∠2= 50o ， AD∥BC， 那么 AB∥DC 吗？
解 因为AD∥BC，
所以∠1 + ∠3 =180°(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠1 = ∠2，
所以∠2+∠3 =180°.
所以 AB∥DC(同旁内角互补，两直线平行).
1
2
3
A
C
D
B
图4
练习
1.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，能判定
a∥b的是（ ）
A. ∠2=∠5 B. ∠3=∠4
C. ∠3+∠4=180° D. ∠4+∠5=180°
解析：A选项∠2=∠5，不能判断ab；
B选项∠3=∠4，不能判断ab；
C选项由∠3+∠4=180°，∠3=∠1得∠1+∠4=180°，
由同旁内角互补，两直线平行，可判断ab；
D选项∠4+∠5=180°，不能判断ab．
C
1
2
3
4
5
a
b
2.如图，点E在AB的延长线上，下列条件中不能判断AD∥BC的是（ ）
A.∠1=∠3 B.∠2=∠4
C.∠C=∠CBE D. ∠C+∠ABC=180°
解析： 因为∠2=∠4，
所以AD∥CB；
因为∠1=∠3或∠C=∠CBE或∠C+∠ABC=180°，
所以得AB∥DC.
B
3. 如图所示，在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，若∠1=∠2，∠A=55°则∠ADC=______.
解析：因为∠1=∠2，
所以AB∥DC，
所以∠A+∠ADC=180°,
因为∠A=55°，
所以∠ADC=105°.
105°
4.如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1=∠7；②∠3=∠6；③∠1=∠8；④∠5+∠8=180°.
其中能判断a∥b的条件是 ．
解析：①∠1=∠7，对顶角相等，不能判定a∥b，①不符合题意；②∠3=∠6，可根据内错角相等，两直线平行得到a∥b，②符合题意；③∠1=∠8，根据对顶角∠2=∠8，则∠1＝∠2，可由同位角相等，两直线平行得到a∥b，③符合题意；④∠5+∠8＝180°，根据对顶角∠2=∠8、∠3=∠5，可得∠3+∠2＝180°，可根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b，④符合题意.
②③④
5.如图，AC∥ED，∠A=∠EDF，若∠FDC=25°，求∠ABC的度数.
解析：因为AC∥DE，
所以∠A=∠DEB．
因为∠A=∠FDE，
所以∠DEB=∠FDE，
所以AB∥DF，
所以∠B=∠FDC=25°.
平行线的判定方法
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行课题 第4章 4.4 平行线的判定 第2课时 平行线的判定方法2,3
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.知识与技能目标 ①进一步掌握推理、证明的基本格式，掌握平行线判定方法2,3的推理过程。 ②学习简单的推理论证说理的方法。 2.过程与方法目标 通过简单的推理过程的学习，培养学生进行数学推理的习惯和方法，同时培养提高学生“观察－分析－推理－论证”的能力。 3.情感、态度和价值观目标 通过探究与练习、交流与讨论，感受观察反思、合作交流获取知识的乐趣，体会“熟能生巧”。
教学重难点 重点： 平行线判定方法2和方法3的推理过程及几何解题的基本格式。 难点： 判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式。
教学准备 多媒体课件
教学过程 一、新课引入 1、叙述平行线的判定方法1 2、结合图形用数学语言叙述平行线的判定方法1。 3、我们学习平行线的性质定理时，有几条定理？那么两条直线平行的判定方法除了方法外，是否还有其他的方法呢？ 二、讲授新课 1、如下图，两条直线a、b被第三条直线c所截，有一对内错角相等，即∠1＝∠2，那么a与b平行吗？ 分析后，学生填写依据。 解：因为∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠3（对顶角相等）， 所以∠2＝∠3（等量代换）. 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）. 2、如下图，两条直线a、b被第三条直线c所截，有一对同旁内角互补，即∠1＋∠2＝180°，那么a与b平行吗？分析后，学生填写依据. 解：因为∠1＋∠2＝180°（已知）， ∠1＋∠3＝180°（邻补角的概念）， 所以∠2＝∠3（等式的性质）. 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）. 3、归纳平行线的判定方法2和判定方法3. 平行线的判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。通常简单说成：内错角相等，两直线平行. 平行线的判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.通常简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 4、归纳所学的三条判定方法的简单表述形式： 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 5、做一做 用两个相同的三角形，可以拼成一个四边形，拼成的四边形的对边互相平行吗？ 例题： 例：如图已知AB∥CD，∠ABC＝∠ADC。问AD∥BC吗？ 解：因为AB∥CD（已知）， 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）. 又因为∠ABC＝∠ADC（已知）， 所以∠ABC－∠1＝∠ADC－∠2， 即∠4＝∠3（等式的性质）， 所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。 例4：如图，∠1=∠2=50°，AD∥BC，那么AB∥DC吗？ 解：∵AD∥BC， ∴∠1+∠3=180°.(两直线平行，同旁内角互补) 三、课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有什么困惑？ 四、板书设计 第4章 平面内的两条直线 4.4 平行线的判定 第2课时 平行线的判定定理2,3 1.平行于同一直线的两直线平行 2.平行线的判定
教学设计反思 本节课学行线的判定，平行线的判定与性质是几何的一个重要内容，初学时学生容易混淆．教师应注意引导学生分析，做到言必有据，书写时应体现几何逻辑思维的严密性．让学生从例题和练习中不断感悟。
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第4章 平面内的两条直线
4.4 平行线的判定
第2课时 平行线的判定方法2，3
练基础
1. （株洲攸县期末）如图，能判定AD BC的条件是 （ ）
A. ∠1=∠2
B. ∠2=∠3
C. ∠1=∠4
D. ∠3=∠4
知识点1 内错角相等，两直线平行
B
2. 如图，AB，CD相交于点O，∠A=∠1，∠B=∠2，AC与BD平行吗？为什么？
【解】AC与BD平行. 理由如下：
因为∠A=∠1，∠B=∠2，∠1=∠2，
所以∠A=∠B，所以AC BD.
3. （湘西州期中）如图，∠B=100°，∠A=80°，则下列结论正确的是 （ ）
A. AC BD
B. AB CD
C. AB=AC
D. BD=CD
知识点2 同旁内角互补，两直线平行
A
4. （教材P111T4改编）下图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=40°，∠2=40°，∠3=140°，试找出图中有哪些直线相互平行，并说明理由.
【解】OB AC，OA BC. 理由如下：
因为∠1=40°，∠2=40°，
所以∠1=∠2，所以OB AC.
因为∠2=40°，∠3=140°，
所以∠2+∠3=180°，所以OA BC.
5. （新情境 传统文化）中国汉字博大精深，是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史. 图1是一个“互”字，图2是由图1抽象出来的几何图形，其中AB CD，MG FN. 点E，M，F在同一直线上，
点G，N，H在同一直线上，且∠GHC+∠AEF=
180°. 试说明∠EFN=∠G.
【解】如图2，延长EF交CD于点P.
因为AB CD，
所以∠AEF=∠EPD.
又因为∠GHC+∠AEF=180°，所以∠GHC+∠EPD=180°，
所以EF GH，所以∠EFN+∠GNF=180°.
因为MG FN，所以∠G+∠GNF=180°，所以∠EFN=∠G.
6. （邵阳新宁期中）将一副三角板按如图放置，其中∠D=30°，给出下列结论：①如果∠2与∠E互余，则DE AC；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC AD，则有∠2=60°；④如果∠CAD=150°，必有∠4=
∠C. 其中正确的有 （ ）
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ①②③④
知识点3 平行线的判定与性质的综合运用
B
7. （益阳资阳期末）如图，CD BE，∠1+∠2=180°.
（1）若∠AFE=85°，则∠ABC=________°；
（2）若BE平分∠ABC，∠1=136°，∠D=70°，求∠A的度数.
85
【解】（2）因为CD BE，
所以∠1+∠EBC=180°，∠D+∠DEB=180°.
因为∠1=136°，所以∠EBC=44°.
因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC=44°.
因为CD BE，所以∠AEB=∠D.
又因为∠D=70°，所以∠AEB=70°.
所以∠A=180°-∠AEB-∠ABE=180°-70°-44°=66°.
8. （易错题）如图，下列推理中正确的有 （ ）
①因为∠1=∠4，所以BC AD；
②因为∠2=∠3，所以AB CD；
③因为∠BCD+∠ADC=180°，所以AD BC；
④因为∠1+∠2+∠C=180°，所以BC AD.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
练提升
A
9. （永州校级期中）如图，下列条件中，不能判定直线l1 l2的是 （ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3
C. ∠4=∠5 D. ∠2+∠4=180°
B
10. （新趋势 开放性问题）如图，请填写一个你认为恰当的条件
___________ ，使AB CD（要求：不添加辅助线）.
∠CDA=∠DAB（答案不唯一）
11. （衡阳期中）如图，给出下列条件：①∠C=∠BDE；②∠C=∠CAF；③∠B+∠EDG=180°；④∠BAC+∠C=180°. 其中能判定AB CD的是________（填序号）.
②③④
12. （新趋势 过程性学习）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A，试说明BE CF.
完善下面的解答过程.
解：因为∠3=∠4（已知），
所以AE ________（___________________________），
所以∠EDC=∠5（____________________________）.
BC
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
因为∠5=∠A（已知），
所以∠EDC=________（等量代换），
所以DC AB（____________________________），
所以∠5+∠ABC=180°（___________________________），
即∠5+∠2+∠3=180°.
因为∠1=∠2（已知），
∠A
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
所以∠5+∠1+∠3=180°（_______________），
即∠BCF+∠3=180°，
所以BE CF（____________________________）.
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
13. （邵阳校级期中）如图，在四边形ABCD中，CE平分∠DCB，交DA的延长线于点E，且∠B+∠DAB=180°，∠E=∠3.试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由.
【解】AB CD. 理由如下：
因为∠B+∠DAB=180°，所以ED BC，所以∠E=∠1.
因为∠E=∠3，所以∠3=∠1.
因为CE平分∠DCB，所以∠2=∠1，所以∠3=∠2，所以AB CD.
14. （新情境 生产生活）如图是一种躺椅及其结构示意图，AB与CD都平行于EF，OE与OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE=∠BNM.
（1）判断OE与DM的位置关系，并说明理由；
（2）若OE平分∠AOF，∠1：∠2=1：2，
求∠BOE的度数.
练素养
【解】（1）OE DM，理由如下：
因为∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，所以∠AOE=∠AND，所以OE DM.
（2）因为∠1：∠2=1：2，所以设∠1=x，则∠2=2x.
因为AB EF，所以∠AOE=∠2=2x.
因为OE平分∠AOF，所以∠EOF=∠AOE=2x.
因为∠AOE+∠EOF+∠1=180°，所以2x+2x+x=180°，
所以x=36°. 所以∠1=36°，∠EOF=72°，
所以∠BOE=∠1+∠EOF=36°+72°=108°.
