课题 第4章 4.6两条平行线间的距离 4.6两条平行线间的距离
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.知识与技能目标 （1）理解平行线之间的距离的概念。 （2）能够测量两条平行线之间的距离，会画到已知直线已知距离的平行线。 2.过程与方法目标 通过平行线之间的距离转化为点到直线的距离，使学生初步体验转化的数学思想。 3.情感、态度和价值观目标 （1）让学生感受数学知识源于生活应用于生活的特点； （2）让学生充满成就感，激发学生学习数学的兴趣。
教学重难点 重点： 理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系。 难点： 画到已知直线已知距离的平行线。
教学准备 多媒体课件
教学过程 一、新课引入 1.点到直线距离。 2.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。 3.三条直线的平行关系。 二、讲授新课 1.做一做。测量自己的数学课本的宽度。要注意什么问题？刻度尺要与课本两边互相垂直。 2.公垂线、公垂线段的概念 与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线。如图形（教材P121图4.6-1）中的直线AB与CD都是公垂线，这时连结两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段。 图中的线段AB和CD都是平行线l1与l2的公垂线段。 两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条的垂线段。 3.公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等。 4.两平行线上各取一点连接而成的所有线段中，公垂线段最短。 如图，m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连接AB。 再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB。 从而得到上述定理。 5、两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度。 三、精导： 例 如图设直线a、b、c是三条平行直线。已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离。 引导学生分析，然后仿照教材例题写出解题过程： 解：如图，在直线a上任取一点A，过A作AC⊥a，分别交b、c于B、C两点，则AB、BC、AC分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段。 AC＝AB+BC＝5＋2＝7， 所以a与c的距离为7 cm。 三、课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有什么困惑？ 四、板书设计 第4章 平面内的两条直线 4.6 两条平行线间的距离 1．公垂线段 （1）概念 （2）性质 2．两条平行线间的距离
教学设计反思 本节课通过生活中的实例引入，让学生理解公垂线、公垂线段、两条平行线间的距离等概念，对于没有给出图形的三条平行线，在求距离时要注意分情况讨论，不要漏解。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
第4章 平面内的两条直线
4.6 两条平行线间的距离
练基础
知识点1 公垂线段的概念及其性质
1. 如图是两条平行线，则这两条平行线的公垂线段有 （ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条
D
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2. 下列说法中，错误的是 （ ）
A. 公垂线段是指两平行直线的公垂线
B. 两条平行线的所有公垂线段都相等
C. 两点之间，线段最短
D. 垂线段最短
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A
3. （新情境 生产生活）如图，地面上一样长的电线杆AB，CD都与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C之间的距离，但他没有梯子，于是就测量了底端B，D之间的距离，他认为B，D之间的距离等于A，C之间的距离，你认为对吗？________（填“对”或“不对”），依据是______________________________________.
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对
两条平行线的所有公垂线段都相等
4. 两条平行线间的距离是指它们的 （ ）
A. 公垂线 B. 公垂线段
C. 公垂线段的长度 D. 以上都不对
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知识点2 两条平行线间的距离
C
5. （娄底期末）如图，直线a b，则直线a，b之间的距离是 （ ）
A. 线段AB的长度
B. 线段CD的长度
C. 线段AD的长度
D. 线段CE的长度
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6. （常德校级阶段练习）如图，a b，AB CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是 （ ）
A. CE FG
B. CE=FG
C. A，B两点的距离就是线段AB的长
D. 直线a，b间的距离就是线段CD的长
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7. 如图，把△ABC沿BC方向平移，得到△A'B'C'，随着平移距离的不断增大，△A'CB面积的大小变化情况是 （ ）
A. 增大 B. 减小
C. 不变 D. 不确定
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C
8. （岳阳期末）已知直线a，b，c在同一平面内且互相平行，直线a与b之间的距离是4 cm，直线b与c之间的距离是7 cm，那么直线a与c之间的距离是 （ ）
A. 11 cm B. 3 cm
C. 11 cm或3 cm D. 不能确定
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C
9. （教材P122例1改编）如图，直线a b，且a，b之间相距4 cm，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在点Q的运动过程中，线段PQ最短是________cm.
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10. （岳阳校级期末）如图，已知AD BC，△ABD的面积等于5，AD=4，BC=8，则△BCD的面积是________.
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11. （株洲期末）已知直线m n，点A在m上，点B，C，D在n上，且AB=4 cm，AC=5 cm，AD=6 cm，则m与n之间的距离 （ ）
A. 等于5 cm B. 等于6 cm
C. 等于4 cm D. 小于或等于4 cm
练提升
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12. 如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE.若△ADE的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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13. （长沙期末）如图，点A，B为定点，直线l AB，P是直线l上一动点.对于下列各值：①线段AB的长；②∠APB的度数；③△PAB的周长；④△PAB的面积.其中不会随点P的移动而变化的是 （ ）
A. ①③ B. ①④
C. ②③ D. ②④
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14. （易错题）直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a b. 点P在直线a，b之间，若PA=2，PB=4，则直线a，b之间的距离 （ ）
A. 等于6 B. 小于6
C. 不大于6 D. 不小于6
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15. （新趋势 动手操作题）按下列要求画图并填空.
（1）过点B画出直线AC的垂线BD，交直线AC于点D，则点B到直线AC的距离是线段________的长；
（2）过点B作直线AC的平行线BT，那么直线AC和直线BT的距离是线段________的长.
【解】（1）如图，直线BD即为所求.
（2）如图，直线BT即为所求.
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BD
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16. 如图，已知AD BC，AB EF，CD EG，∠A=∠D，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？
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【解】线段EH的长是两条平行线AD，BC之间的距离. 理由如下：
因为AB EF，CD EG，所以∠AEF+∠A=180°，∠DEG+∠D=180°.
因为∠A=∠D，所以∠AEF=∠DEG.
因为EH平分∠FEG，所以∠FEH=∠GEH，
所以∠AEF+∠FEH=∠DEG+∠GEH，即∠AEH=∠DEH.
因为∠AEH+∠DEH=180°，所以∠AEH=90°，所以EH⊥AD，
所以线段EH的长是两条平行线AD，BC之间的距离.
17. （永州双牌期末）如图，直线a b，AC⊥AB，AC交直线b于点C.
（1）若∠1=70°，求∠2的度数；
（2）若AC=5，AB=12，BC=13，求直线a与b之间的距离.
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【解】（1）因为a b，∠1=70°，
所以∠3=∠1=70°.
因为AC⊥AB，
所以∠2+∠3=90°，
所以∠2=90°-∠3=20°.
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18. （新情境 生产生活）如图，有一块地，PA，PB为水渠，水渠左边为张庄的地，右边为李庄的地.现要把水渠修直而不改变张庄、李庄原有的土地面积，应该如何修？请用尺规作图并简要说明.
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练素养
【解】如图，连接AB，过点P作AB的平行线交MN于点H，交EF于点G，连接AG（或BH）.
由平行线间的距离的定义可以得出△ABG（或三角形ABH）和△ABP的面积相等，所以可以沿AG（或BH）修直水渠，从而不改变张庄、李庄原有的土地的面积.(共17张PPT)
第4章 平面内的两条直线
1.了解两条平行线的所有公垂线段都相等；（难点）
2.了解两条平行线之间距离的意义；（重点）
3.能度量两条平行线之间的距离.
思考
画两条互相平行的直线，从其中一条直线上任取两点，比较这两点到另一条直线的距离．再多取几个点，结果会发生变化吗 由此你会发现什么的？
如图1，l1// l2，在直线l上任取两点A，C，分别作AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点B，D.
于是AB⊥l1，CD⊥l1.
图1
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C
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与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段．图1中的线段AB，CD都是平行线l1与l2的公垂线段.
图1
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数学上已经证明上述结论是真的.
两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
两条平行线的所有公垂线段都相等.
比较线段AB与CD的长度，可以发现AB= CD.
再另取几个点，也会发现平行线l1与l2的公垂线段的长度相等，且均等于线段AB的长度，由此可得：
由上述结论可以进一步猜测：平行线l1与l2之间的距离等于l1上任一点到直线l2的距离.
下面来说明这个猜测是真的．
如图1，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段，从而线段AB的长度是直线l1与l2之间的距离.
又线段AB的长度是点A到直线l2的距离，
因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A到直线l2的距离.
图1
D
C
B
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由此可知：
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
【例1】如图2，AB// DC，AB=DC， DE⊥AB， BF⊥CD，垂足分别为点E，F，那么线段AE与CF相等吗
解 因为AB∥DC，DE⊥AB，所以DE⊥DC.
又AB∥DC，BF⊥CD，
于是BF⊥AB.
因而DE∥FB.
又DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，
从而线段DF，EB都是平行线DE与FB的公垂线段.
故DF=EB.
又AB=DC，所以AB-EB=DC-DF，即AE=CF.
图2
【例2】如图3，设a，b，c是三条互相平行的直线．已知a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，求a与c的距离．
解 在a上任取一点A，过点A作AC⊥c，分别与b，c
相交于B，C两点.因为a，b，c是三条互相平行的直线，
所以∠1=∠2=∠3=90°，即AB⊥b，AC⊥a.
因此，线段AB，BC，AC分别表示平行线a与b，b与c，a与c的公垂线段．
AC=AB+BC=5+2=7（cm），因此a与c的距离是7cm.
A
b
c
B
C
a
5cm
2cm
3
2
1
图3
若将例2中的“如图3所示”去掉，a与c的距离会变化吗 将你的结果与同学交流．
议一议
a与c的距离有两种情况：当a与c在b的同一侧时，a与c的距离为3；当a与c在b的两侧时，a与c的距离为7.
练习
1.已知a∥b，b∥c，且a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为3，那么a与c之间的距离为（ ）
A. 2 B. 5 C. 8 D. 2或8
解析：有两种情况：
①如图1
因为AB=5cm, BC=3cm,
所以AC=AB+ BC=8cm.
D
A
B
C
图2
②如图2
因为AB=5cm, BC=3cm, 所以AC=AB-BC=2cm.
c
b
a
图1
A
B
C
b
c
a
2.已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ）
A.只有AB B.只有AE C.AB和CD均可 D.AE和CF均可
解析：因为从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
所以线段AB和CD都可以表示直线m与n之间的距离.
C
3. 把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的线为直线b，则直线a与直线b之间的距离为（ ）
A.等于4cm B.小于4cm C.大于4cm D.不大于4cm
解析：分两种情况：
如果直线a与水平方向垂直,则直线a与b之间的距离为4cm,
若果直线a与水平方向不垂直, 则直线a与b之间的距离小于4cm
直线a与直线b之间的距离不大于4cm.
D
4.如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若三角形ABC的面积为S1，三角形ABD的面积为S2，则（ ）
A.S1＞S2 B.S1＝S2 C.S1＜S2 D.不确定
解析：因为l1∥l2，
所以C、D两点到l2的距离相等，
即三角形ABC和三角形ABD的高相等．
同时三角形ABC和三角形ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．
B
解析：因为a∥b，
所以三角形ABD的AB边上的高等于三角形ACE的AE边上的高，
因为点B是线段AE的中点，
所以AE=2AB，
所以三角形ACE的面积=三角形ABD的面积×2=2×2=4.
4
5.如图，已知直线a∥b，点B是线段AE的中点，三角形ABD的面积是2，则三角形ACE的面积是______．
6.已知，正方形ABCD的边长为4cm，求三角形EBC的面积.
解析：由题意可知：三角形EBC与正方形ABCD的底相同，都为BC，且三角形EBC的高即是正方形的边DC，
故三角形面积为正方形面积的一半：4×4÷2=8（cm2）．
1.两点间的距离：连接两点的线段的长度.
2.点到直线的距离：直线外一点到这条直的垂线段的长度.
3.两条平行线间的距离：两条平行线的公垂线段的长度.
