课题 第4章 4.5 垂线 第1课时 垂线
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.知识与技能目标 （1）掌握互相垂直及其有关概念。 （2）会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线。 （3）理解并掌握垂线的两条性质。 2.过程与方法目标 （1）通过现实生活情景，培养学生的观察能力和概括能力； （2）通过实例的了解，能简单地运用垂线的性质和判定。 3.情感、态度和价值观目标 通过观察与探索，交流与讨论，感受观察反思、合作交流获取知识的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，养成良好的数学习惯。
教学重难点 重点： 两直线互相垂直的概念及垂线的有关性质。 难点： 垂线的有关性质及垂线的画法。
教学准备 多媒体课件
教学过程 一、新课引入 1.直角等于多少度？一个平角等于几个直角？ 2.如果a∥b，c∥b，那么 a∥c。 3.两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补。 二、讲授新课 1.互相垂直的有关概念 （1）观察教材内容，引出生活中互相垂直的例子。 （2）在同一平面内两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角，此时可知其余三个角也是直角，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线. （3）垂直的符号：垂直用符号“⊥”表示，AB与CD垂直（O为垂足），记作AB⊥CD，读作AB垂直于CD。 （4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条. （5）日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条. 2.画垂线的方法 引导学生用三角板画垂线，经过点P（如图（1）（2））画直线AB的垂线。 （1） （2） （3） （4） 3.垂线的有关性质 （1）动脑筋 如图（3），在同一平面内，如果a⊥m，b⊥m，那么a∥b吗？ 因为a⊥m（已知）， 所以∠1＝90°. 因为b⊥m（已知）， 所以∠2＝90°（垂直的定义）， 所以∠1=∠2(等量代换)， 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。 （2）归纳：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 （3）如图（4），在同一平面内，如果a∥b，m⊥a，那么m⊥b吗？ 因为m⊥a（已知）， 所以∠1＝90°。 因为a∥b（已知）， 所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）， 所以∠2＝90°(等量代换)， 所以b⊥m（互相垂直的概念）。 （2）归纳：在平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么这条直线必垂直于另一条。 例1：在如图所示的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1=60°，求∠2的度数. 例2：如图，已知CD⊥AB，∠1=∠2，求∠BEF的度数. 三、课堂小结 本节课你的收获是什么？ 还有什么困惑？ 四、板书设计 第4章 平面内的两条直线 4.5 垂线 第1课时 垂线 垂线
教学设计反思 本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直(如本节课的例2)。垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性。对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆。
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第4章 平面内的两条直线
4.5 垂 线
第1课时 垂 线
练基础
知识点1 垂直的定义
1. （邵阳校级期末）如图，AB⊥CD，垂足为点O，EF是过点O的一条直线，已知∠1=40°，则∠2= （ ）
A. 40° B. 45°
C. 50° D. 60°
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2. （永州新田期末）如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，若∠AOD=140°，则∠COE= （ ）
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
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B
3. （教材P115T1改编）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是 （ ）
A. ∠AOD=∠BOC
B. ∠AOC+∠AOE=90°
C. ∠AOE=∠BOD
D. ∠AOD+∠BOD=180°
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4. （邵阳隆回期末）如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为点D，∠C=50°，∠ABC的度数是 （ ）
A. 40° B. 45°
C. 60° D. 80°
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5. （益阳沅江期末）两条直线相交所构成的四个角中：①有一个角是直角；②有一对对顶角相等；③有一对邻补角相等；④有三个角都相等. 以上4个条件中，能判定这两条直线垂直的条件有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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6. 如图，OC⊥OB，如果∠AOC：∠AOB=1：4，那么∠AOB=________度.
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7. （长沙开福阶段练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，∠1=∠2.
（1）求∠NOD的度数；
（2）若∠AOD=3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数.
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【解】（1）因为OM⊥AB，所以∠AOM=90°.
所以∠1+∠AOC=90°.
因为∠1=∠2，所以∠2+∠AOC=90°，
即∠CON=90°. 所以∠NOD=180°-∠CON=180°-90°=90°.
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（2）因为∠AOD=3∠1，∠1=∠2，
所以∠AOD=3∠2，所以∠NOD=2∠2.
由（1）知，∠NOD=90°，所以2∠2=90°，
所以∠2=45°，所以∠1=45°.
因为OM⊥AB，所以∠AOM=90°.
因为∠AOM=∠AOC+∠1，∠1+∠MOD=180°，∠1=45°，
所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-45°=45°，∠MOD=180°-∠1=180°-45°=135°.
8. 在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是 （ ）
A. 相交 B. 相交且垂直
C. 平行 D. 不能确定
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C
知识点2 垂线与平行线的综合
9. 在同一平面内有四条直线l1，l2，l3，l4，若l1⊥l2，l2 l3，l3⊥l4，则l1与l4的位置关系是________.
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平行
10. （湘西州期末）如图，DA⊥CE于点A，CD AB，∠1=30°，则∠D等于多少度？
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【解】因为DA⊥CE，
所以∠EAD=90°.
因为∠1=30°，∠EAD=∠1+∠BAD，
所以∠BAD=90°-30°=60°.
因为AB CD，
所以∠D=∠BAD=60°.
11.（新情境 科技进步）目前太阳能已经被广泛使用，当光线垂直照射在太阳能板上时，接收的太阳能最多.某一时刻太阳光的照射角度如图，要使此时接收的太阳能最多，那么太阳能板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 （ ）
A. 48° B. 58° C. 68° D. 78°
练提升
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B
12. 如图，直线AB CD，∠C=45°，AE⊥CE，则∠1=________.
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135°
13. 如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有________对.
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14. 如图，AB⊥BC，AB DE，∠1=15°，则∠BDE的度数为________.
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105°
15. （易错题）在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC=30°，射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为____________.
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60°或120°
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17. （长沙校级期中）已知：如图，DE BC，BD平分∠ABC，EF平分∠AED.
（1）试说明EF BD；
（2）若BD⊥AC，∠C=2∠2，求∠ABC+∠C.
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（2）因为BD⊥AC，所以∠CDB=90°.
因为∠1=∠2=∠CBD，∠C=2∠2，所以∠C=2∠CBD.
因为∠CBD+∠C+∠CDB=180°，
所以∠CBD+∠C=∠CBD+2∠CBD=90°，
所以∠CBD=30°，所以∠ABC=∠C=60°，
所以∠ABC+∠C=60°+60°=120°.
18. （新趋势 探究性问题）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE=2∠BOD.
（1）若∠AOE=40°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOE=2α，试探究OA与OB之间的位置关系，并说明理由.
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练素养
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（2）OA⊥OB. 理由如下：
因为∠AOE=2∠BOD，∠AOE=2α，所以∠BOD=α.
因为∠AOE+∠AOF=180°，
(共14张PPT)
第4章 平面内的两条直线
1.理解垂线、垂线段等概念；
2.会过一点画已知直线的垂线.会利用垂线的概念判定两直线垂直；
3.掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（重、难点）
观察
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线,如图1所示,则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
90°
图1
如图2，在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另作一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.垂直用符号“⊥”表示.
如图2，直线AB与CD互相垂直（O为垂足）.记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”.
图2
A
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O
如图3，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线.
图3
C
D
A
B
O
两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见.举出教室内一些互相垂直的实例,并与同学交流.
议一议
两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线.
（1）如图4，在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a//b吗？
思考
（1）如图4，因为a⊥l，b⊥l，
所以∠1=∠2=90°，
所以a∥b（同位角相等，两直线平行）.
a
b
图4
1
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l
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
（2）如图5，在同一平面内，如果直线a∥b，l⊥a，那么l⊥b吗？
图5
1
2
a
b
l
（2）如图5，因为l⊥a，
所以∠1=90°.
因为a∥b，
所以∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等），
因此l⊥b.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.
思考
【例1】在如图6的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1=60°，求∠2的度数.
解 因为BD，AE都垂直于CG，
所以BD∥AE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
从而∠2=∠1=60°（两直线平行，同位角相等）.
图6
【例2】如图7，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠1=∠2，求∠BFE的度数.
解 因为CD⊥AB，
所以∠BDC=90°.
又因为∠1=∠2，
所以DC∥EF （同位角相等，两直线平行）.
所以∠BEF=∠BDC=90°（两直线平行，同位角相等）.
图7
练习
1.如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=56°，则∠BED的度数为（ ）
A.24° B.26° C.34° D.44°
解析：因为EF⊥AB，
所以∠AEF=90°，
因为∠CEF=56°，
所以∠AEC=90°-56°=34°.
因为∠BED=∠AEC，
所以∠BED=34°.
C
2.如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=25°，则∠2的度数是（ ）
A. 25° B. 65° C. 55° D. 64°
解析：因为AB⊥CD，
所以∠AOD=90°，
因为∠1=25°，
所以∠FOD=∠1=25°，
所以∠2=∠AOD-∠FOD=65°.
B
3.如图，已知直线a∥b，点B在直线a上，点A，C在直线b上，且AB⊥BC．若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
解析：因为∠1＝35°，AB⊥BC，
所以∠3＝180°-90° 35°=55°，
因为a∥b,
所以∠2=∠3=55°.
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C
4. 如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=40°，那么∠2的度数是______．
解析：因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°.
因为∠1+∠2+∠COD=180°，
所以∠2=180°-∠COD-∠1
=180°-90°-40°=50°.
50°
若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另作一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.垂直用符号“⊥”表示.
在同一平面内，如果一直线垂直于两平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条.
在同一平面内，垂直于同一条两条直线平行.
垂线的性质：
垂线的定义：
