(共22张PPT)
第5章 轴对称与旋转
1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转；（重点）
2.探索旋转的基本性质.（重、难点）
观察
如图5.2-1 ,分别观察正在运行的钟表指针、电风扇的叶片和汽车的雨刮器，你能发现它们都是在绕哪个点旋转吗？
图5.2-1
（3）
（2）
（1）
类似于上面三个实例，如图5.2-2，将图形（Ⅰ）上的每一个点，绕这个平面内一定点 O 按同一方向旋转同一个角α，即把图形（Ⅰ）上的每一个点与定点的连线绕定点 O 旋转角α，得到图形（Ⅱ），我们把图形的这种变换叫做旋转.这个定点 O 叫旋转中心，角α叫作旋转角.（在本书中，旋转角不超过360°）
原位置的图形（Ⅰ）叫作原像，新位置的图形（Ⅱ）叫作图形（Ⅰ）在旋转下的像. 图形（Ⅰ）上的每一个点 P 与它在旋转下的像点 P' 叫作在这个旋转下的对应点.
图5.2-2
抽象
【例1】如图5.2-3，已知 O 为△ABC外一点，以点 O 为旋转中心，把△ABC顺时针旋转120 ，画出旋转后的三角形.
解 可按如下步骤来画：
（2）将 OA，OB，OC 绕点 O 顺时针旋转
120°，分别得到OA'，OB'，OC'；
（3）连接 A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C' 就是所要画的三角形.
图5.2-3
A'
B'
C'
A
B
C
O
.
（1）连接 OA，OB，OC；
120
120
120
如图5.2-4，将△ABC 绕△ABC 外一点 O 逆时针旋转 α 得到△A'B'C'，其中点 A，B，C 的对应点分别是点 A'，B'，C'，且△ABC 内的点 P在这个旋转下的对应点是点 P'.
说一说
图5.2-4
（1）比较 OA 与 OA'的长度，它们相等吗？
（2）比较∠POP' 和∠AOA' 的大小，它们相等吗？
（3）∠AOP 和∠A' OP' 相等吗？
A'
B'
C'
A
B
C
O
.
P'
P
α
.
由上以及大量实践经验可知，旋转具有以下基本性质：
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.
在图5.2-4中，
（1）分别比较 AB 与 A'B'，BC 与 B'C'，AC 与 A'C'的长度，它们相等吗？
（2）分别比较∠ABC与∠A'B'C'，∠BAC与∠B'A'C'，∠BCA与∠B'C'A'大小，它们相等吗？
做一做
通过比较可以发现，
旋转保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
AB = A'B'，BC = B'C'，AC =A'C'.
∠ABC=∠A'B'C'，∠BAC=∠B'A'C'，∠BCA=∠B'C'A'.
大量实践经验都表明：
【例2】如图5.2-5，将△ABC按逆时针方向旋转45 ，得到△AB'C'.
（1）图中哪一点是旋转中心？
解 （1）点A是旋转中心.
图5.2-5
【例2】如图5.2-5，将△ABC按逆时针方向旋转45 ，得到△AB'C'.
（1）图中哪一点是旋转中心？
（2）∠B'AB 和∠C'AC 有什么关系？它们的度数是多少？
解 （2）点B，C的对应点分别是B'，C'.因为两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，且等于旋转角，所以∠B'AB=∠C'AC=45 .
图5.2-5
【例2】如图5.2-5，将△ABC按逆时针方向旋转45 ，得到△AB'C'.
（1）图中哪一点是旋转中心？
（2）∠B'AB 和∠C'AC 有什么关系？它们的度数是多少？
（3）AB 与AB'，AC 与 AC' 有什么关系？
解（3）因为对应点到旋转中心的距离相等，所以AB=AB'，AC=AC'.
图5.2-5
【例2】如图5.2-5，将△ABC按逆时针方向旋转45 ，得到△AB'C'.
（1）图中哪一点是旋转中心？
（2）∠B'AB 和∠C'AC 有什么关系？它们的度数是多少？
（3）AB 与AB'，AC 与 AC' 有什么关系？
（4）BC 与 B' C' 有什么关系？
图5.2-5
解（4）因为旋转保持任意两点间距离不变，所以BC=B' C'.
【例2】如图5.2-5，将△ABC按逆时针方向旋转45 ，得到△AB'C'.
（1）图中哪一点是旋转中心？
（2）∠B'AB 和∠C'AC 有什么关系？它们的度数是多少？
（3）AB 与AB'，AC 与 AC' 有什么关系？
（4）BC 与 B' C' 有什么关系？
（5）∠BAC 和∠B'AC' 有什么关系？
图5.2-5
解（5）因为旋转保持角的大小不变，所以∠BAC =∠B'AC' .
练习
1.如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三角形A'OB'，若∠AOB=25°，则∠AOB'的度数是（ ）
A.25° B.35° C.40° D.85°
解析：因为三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到三角形A'OB'，
所以∠BOB'=60°，
又因为∠AOB=25°，
所以∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=60°-25°=35°.
B
2.图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（ ）
A.平移 B.翻折 C.旋转 D.以上三种都不对
C
3.如图，在三角形ABC中，∠BAC=65°，∠C＝20°，将三角形ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A.65 B.75 C.85 D.130
解析：因为DE∥AB，
所以∠DAB＝180°-∠D，
因为∠D=∠B=180°-20°-65°=95°，
所以∠DAB=180°-95°=85°，
所以n=85°.
C
4.如图，将三角形ABC绕点C按逆时针方向旋转至三角形DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=30°，∠B=35°，则∠BCE的大小是（ ）
A.30° B.35° C.45° D.65°
解析：因为在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=35°，
所以∠ACB=180°-∠A-∠B=115°.
因为将三角形ABC绕点C按逆时针方向旋转至三角形DEC，
所以三角形ABC和三角形DEC大小相等，
所以∠ACB=∠DCE=115°，
所以∠BCE=180°-∠DCE=65°.
D
5.如图，将三角形ABC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AB'C'，若AC⊥B'C'，则∠C=________.
解析：因为将三角形ABC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AB'C'，
所以∠CAC'=60°，∠C=∠C'，
因为AC⊥B'C'，
所以∠C=∠C'=90°-∠CAC'=30°.
30°
6.如图，在三角形ABC中，∠CAB=45°，若∠CAB'=25°，则旋转角的度数为 _____．
解析：因为∠B'AB=∠CAB-∠CAB'=45°-25°=20°，
所以旋转角的度数为20°.
20°
7.如图，在三角形ABC中，∠BAC=20°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转50°得到三角形AB'C'，则∠C'AB的度数为______．
解析：因为将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转50°得到三角形AB'C'，
所以∠CAC'=50°，
因为∠BCA=20°，
所以∠C'AB=∠CAC'+∠BCA=50°+20°=70°.
70°
8.如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=4.3，三角形DAE逆时针旋转后能够与三角形DCF重合．
（1）旋转中心是______，旋转角为______；
（2）请你判断三角形DFE的形状，简单说明理由；
（3）四边形DEBF的面积为 ．
解：（1）由旋转可得，旋转中心是点D；旋转角为∠ADC=90°.
D
90°
（2）三角形DFE是等腰直角三角形．
理由：根据旋转可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°，所以三角形DFE是等腰直角三角形．
（3）根据旋转可得：三角形ADE与三角形CDF大小相等，
所以四边形DEBF的面积=正方形ABCD的面积=4×4=16．
16
旋转
性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.
旋转保持任意两点间距离相等，保持角的大小不变.(共20张PPT)
第5章 轴对称与旋转
5.2 旋 转
练基础
1. 下列运动属于数学上的旋转的是 （ ）
A. 钟表上的时针运动
B. 火箭升空的运动
C. 城市环路公共汽车
D. 将等腰三角形沿着底边上的高对折
知识点1 旋转的相关概念
A
2. （衡阳校级期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转至△AB′C′，使B，A，C′三点在同一直线上，∠A=30°，则∠BAB′的度数是________.
150°
3. （常德校级期末）如图所示，北京冬奥会的雪花图案绕其中心至少旋转________度后可以与原位置的图案重合.
60
4. 在图形的旋转过程中，有4个说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的形状和大小都不变；④旋转前、后图形的位置一定会改变. 说法正确的有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
知识点2 旋转的性质
C
5. 如图，在方格纸中，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后得到△A'OB'，则下列四个图形中正确的是 （ ）
A
6. （邵阳邵东期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE，点B的对应点是点D，点C的对应点是点E，∠BAC=60°，则∠DAC的度数为________.
10°
7. （衡阳校级期中）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，此时点C在边A'B上. 若AB=5，BC'=2，则A'C的长是________.
3
8. （永州期末）利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形网格纸中，有如图所示的△ABC（顶点都在格点上）.
（1）作出该三角形关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）作出将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转90°后的△A''B'C''；
（3）求△A''B'C''的面积.
知识点3 旋转作图
9. （易错题）如图，将图a绕点O旋转后可得到的图形是 （ ）
练提升
A
10. （永州冷水滩期末）把△ABC绕点C顺时针旋转20°，点A，B的对应点分别是点A'，B'，且A'B' BC，已知∠A=60°，则∠B'CA= （ ）
A. 80° B. 60°
C. 40° D. 20°
A
11. （株洲茶陵期末）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，DE与BC交于点F，连接AF，则下列结论一定正确的是 （ ）
A. AB=AE B. ∠BFD=∠BAD
C. ∠BAF=∠CAE D. EF+CF=DE
B
12. 如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=AC，△AEC顺时针旋转后与△AFB重合，则点________是旋转中心，旋转角的度数是________度.
A
90
13. （益阳中考）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，三角形ABC的顶点都在格点上，将三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转得到三角形A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________.
90°
14. （株洲攸县期末）如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE.
（1）图中哪一个点是旋转中心？
（2）按什么方向旋转？旋转角是多少度？
（3）如果CF=3 cm. 求CE的长.
【解】（1）由图可知，旋转中心为点C.
（2）由图可知，△DCF绕点C逆时针旋转90°可以得到△BCE，
所以按逆时针方向旋转，旋转角是90°.
（3）根据旋转性质可知CE=CF.
因为CF=3 cm，所以CE=3 cm.
15. （新趋势 探究性问题）将两块相同的含30°角的直角三角尺按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC. 固定三角尺A1B1C，然后将三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C，A1B1分别交于点D，E，AC与A1B1交于点F.
（1）当旋转角等于20°时，求∠BCB1的度数.
（2）当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由.
练素养
【解】（1）由旋转的性质得∠ACA1=20°.
因为∠ACB=90°，
所以∠BCD=∠ACB-∠ACA1=90°-20°=70°，
所以∠BCB1=∠BCD+∠A1CB1=70°+90°=160°.
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直. 理由如下：
因为AB⊥A1B1，所以∠A1ED=90°.
因为∠B1A1C=30°，所以∠A1DE=180°-∠A1ED-∠B1A1C=180°-90°-30°=60°，
所以∠ADC=120°.
因为∠BAC=30°，所以∠ACD=180°-∠ADC-∠BAC=180°-120°-30°=30°.
即旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直.课题 第5章 5.2 旋转 5.2 旋转
授课教师 授课类型 新授课
教学目标 1.知识与技能目标 通过具体实例认识旋转，理解旋转的概念和基本性质。 2.过程与方法目标 使学生经历对旋转图形的观察、分析、操作等过程，增强主动探索、发现数学知识的意识；通过多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力。 3.情感、态度和价值观目标 通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣。
教学重难点 重点： 图形旋转的有关概念及性质。 难点： 对旋转角的理解；探索旋转变换的基本性质。
教学准备 多媒体课件
教学过程 一、创设情境，激发兴趣 情境1：老师手中拿着一个儿童风车，你们小时候都玩过吗？当老师跑动的时候，风车会怎样？ 设计意图：通过实物模型的操作，激发了学生的兴趣，让学生发现数学来源于生活，感到数学的形象、生动，学生的注意力迅速转移到本节课的课题。 情境2：其实我们的生活中还有很多这样的旋转现象，教师用计算机演示动画图片。 设计意图：让学生直观感受生活中的旋转现象。 问题1：它们的运动具有什么共同的特征？ 设计意图：鼓励学生通过观察和思考，并尝试用自己的言语来描述这些旋转现象的共同特征，初步感受到旋转的概念。 情境3：在学生回答后，将儿童风车抽象出几何图形，抽取其中一片叶片，用动态的多媒体课件展示图形的旋转过程，归纳出旋转的概念。 将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内的一个定点O按同一个方向旋转同一个角α，即把图形F上的每一个点与定点的连线绕定点O按同一个方向旋转角α，得到图形，我们把图形的这种变换叫作旋转。 原位置的图形叫作原像，新位置的图形叫作原像在旋转下的像.图形上的每一个点P与它在旋转下的像点P’叫作在这个旋转下的对应点. 设计意图：旋转的定义本身远没有这个定义的形成过程重要，这个过程可以作为一种机会，由具体材料抽象概括的机会，训练逻辑严密性的机会，赏数学语言的机会。 问题2：引导学生思考：在旋转的过程中，哪些条件是必不可少的？在学生回答时归纳：旋转中心、旋转角、旋转方向、原像、像、对应点等。（板书） 二、实验操作，探究性质 活动1：演示旋转，发现性质 观察：三角形的形状和大小改变了吗？若将旋转前后的对应点与旋转中心相连，那么旋转前后，都有哪些相等的线段？ 旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等. 设计意图：利用几何画板演示旋转中心分别是三角形某顶点、三角形某边上一点、内部一点、外部一点四种情况的旋转，直观感受旋转前后图形的形状和大小不改变、对应点到旋转中心的距离相等两条性质。 活动2：动手操作，发现性质 任务：各组同学，请选择相应序号的旋转图，利用量角器测量，填表： 图1 图2 图3 图4 测量对应点与旋转中心的连线所成的角: 角∠AOA'∠BOB'∠COC'度 数
发现： . 活动3：几何画板演示，验证性质 归纳旋转的性质： ③两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角 . 设计意图：让学生动手操作，在课堂上积累探究旋转性质所需要的经验，增强体验，获得感性认识．信息技术的使用更进一步加深了学生对知识的理解，印象更深刻。 三、学以致用 1.如图，将三角形ABC按逆时针方向旋转60°到三角形DEC的位置. （1）旋转中心是 . （2）点A的对应点是____，点B的对应点是_____. （3）CA=_____，CB= . （4）旋转角∠ACD=________=____ . 设计意图：主要是考查学生对旋转中心、旋转角、对应点的理解． 2.如图,将三角形ABC绕点O旋转得到三角形A'B'C',且∠AOB=30°，∠AOB'=20°，则三角形ABC旋转的角度是 . 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图,点D是等边三角形ABC内的一点,如果三角形ABD绕点A逆时针旋转后能与三角形ACE重合,则∠DAE= °. 设计意图：主要考查学生灵活运用旋转的性质． 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将三角形ABC绕点A逆时针方向旋转60°后得到三角形AB'C'，则∠BAC'等于（ ） A.60° B.105° C.120° D.135° 变式：上述条件不变，则∠B'AC=____ . 四、应用性质 如图，它可以看作是由一个菱形绕顶点O旋转一个角度后，顺次按这个角度同向旋转而得到. 一共旋转了______次，每次旋转了_______ 变式：本图案还可以看成是由哪个基础图形 经过怎样的变换而得到的？ 五、课堂小结： 通过这节课的学习:我学会了… 使我感触最深的… 我感到最困惑的是… 六、板书设计 第5章 轴对称与旋转 5.2 旋转 旋转
教学设计反思 本节课的内容主要包括三个方面：旋转的概念、旋转的性质、旋转作图．结合身边的旋转实例让学生理解旋转的概念，可类比轴对称的性质与作图学习旋转的性质与作图．教学中应注重让学生积极参与课堂活动，通过大胆质疑、师生互动、小组合作，实现教学目标。
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