高二数学第四章 导数及其应用

高二数学第四章 导数及其应用 整理人：邢丞
第1讲 导数的概念及运算
★知识梳理★
1.用定义求函数的导数的步骤.
（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=.
2.导数的几何意义和物理意义
几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的斜率；物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处的瞬时速度.
3. 几种常见函数的导数
（为常数）；（）；；
； ；；.
4.运算法则
①求导数的四则运算法则：
；；.
②复合函数的求导法则：或
★重难点突破★
1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法
2.难点：切线方程的求法及复合函数求导
3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.
（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。
问题1.比较函数与,当时,平均增长率的大小.
点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是
(1)计算自变量的改变量
(2)计算对应函数值的改变量
(3)计算平均增长率:
对于,又对于,
故当时, 的平均增长率大于的平均增长率.
（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,
问题2. 已知,则 .
点拨：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.
设,,则
.
（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。
问题3. 求在点和处的切线方程。
点拨：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；
点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。
即过点的切线的斜率为4，故切线为：．
设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，
故，。
即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：
★热点考点题型探析★
考点1: 导数概念
题型1.求函数在某一点的导函数值
[例1]设函数在处可导，则等于（ ）
　　A． B． C． D．
考点2.求曲线的切线方程
[例2] 如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则= .
题型3.求计算连续函数在点处的瞬时变化率
[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.
【新题导练】.
1. 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .
2. 某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（ ）
A．－1 B．－3 C．7 D．13
3. 已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.
考点2 导数的运算
题型1:求导运算
[例1] 求下列函数的导数：
（1） 　 （2）　 　（3）
题型2:求导运算后求切线方程
[例2]已知函数
（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.
题型3:求导运算后的小应用题
[例3]某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为( )
A. B. C. D.
【新题导练】.
4. 设函数，且，则（ ）
A．0 B．-1 C．3 D．-6
5. 设函数，（、、 是两两不等的常数），则 ．
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 是的导函数，则的值是 ．
2. 在处的导数值是___________.
3. 已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为 .
4.已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．求直线的方程及的值；
5.已知函数的图象都相切，且l与函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；
综合拔高训练
6. 对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:
（1）求函数的“拐点”A的坐标;
（2）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.
7.已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。
（1）若，求的值；
（2）用表示，并求的最大值。
8. 设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。求证：；
第2讲 导数在研究函数中的应用
★知识梳理★
函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。
3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) .
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
4．求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
★重难点突破★
1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法
2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题
3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题
（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
问题1. 设，．令，讨论在内的单调性并求极值；
点拨:根据求导法则有，
故，于是，
2
减 极小值 增
列表如下：
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.
问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）求证：当时，有.
点拨:由转化为为增函数是解答本题关键.类似由
转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.
（1）由得因为，
所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.
（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，
有成立，
从而
两式相加得
★热点考点题型探析★
考点1: 导数与函数的单调性
题型1.讨论函数的单调性
[例1]设，函数，，，试讨论函数的单调性．
题型2.由单调性求参数的值或取值范围
[例2]若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.
题型3.借助单调性处理不等关系
[例3] 当，求证
【新题导练】.
1. 若函数f(x)=x3－ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0分析：本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.
2. 函数y=x3+x的单调增区间为
A.(－∞,+∞) B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.不存在
3. 已知函数,,设．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值.
考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.
题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值
[例1]若函数在处取得极值,则 .
[例2]设函数（），其中，求函数的极大值和极小值．
[例3]已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.
题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。
[例4]已知函数图像上的点处的切线方程为．
（1）若函数在时有极值，求的表达式
（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围
【新题导练】
4．在区间上的最大值为，则=（ ）
A. B. C. D. 或
5．在区间上的最大值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
6．已知函数是上的奇函数，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意不等式恒成立.
★抢分频道★
基础巩固训练
1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
2．函数有（ ）
A. 极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C. 极小值－2，极大值2 D. 极小值－1，极大值3
3．函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为( )
A.1－e B.－1 C.－e D.0
4．若，求函数的单调区间.
5．已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。
综合拔高训练
6．已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
7．已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
8．已知函数（）
求f(x)的单调区间；
证明：lnx<
第3讲 导数的实际应用
★知识梳理★
利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：
★重难点突破★
1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。
2.难点：建模的过程
3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题.
（1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题
问题1：路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.
点拨：利用导数的物理意义解决
设路灯距地平面的距离为，人的身高为.设人从点运动到处路程为米，时间为(单位：秒)，AB为人影长度，设为,则
∵， ∴
∴,又,∴
∵,∴人影长度的变化速率为.
（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.
问题2.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
[剖析]设为 ,则由题设可得正六棱锥底面边长为
（单位：）
于是底面正六边形的面积为（单位：）
帐篷的体积为（单位：）
求导数，得令解得(不合题意，舍去),.
当时，,为增函数；当时，,为减函数。
所以当时,最大.答当为时，帐篷的体积最大.
★热点考点题型探析★
考点: 最优化问题
题型1.函数模型中的最优化问题
[例1]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省
[例2]某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大 有多少元
题型2.几何模型的最优化问题
【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.
[例3]某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， △、△和四边形均由单一材料制成，制成△、△和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形.
(1) 求证：四边形是正方形；
(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
题型3:三角模型的最优化问题
[例4] 若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）
【新题导练】.
1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
2. .一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
★抢分频道★
基础巩固训练
1. 我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段 答:
据有关统计资料, 我国儿童4岁前身高情况有一组统计数据
年龄/岁 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
身高/米 0.52 0.63 0.73 0.85 0.93 1.01 1.06 1.12 …
2.某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之间距离对时间的变化率是_____________.
3.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为 .
4. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最大，则其高应为____________.
5. 质量为5 kg的物体运动的速度为v=(18t－3t2) m/s,在时间t=2 s时所受外力为______N.
综合拔高训练
6.在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路(如图).
(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.
(2)当x为何值时运费最省？
7.设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
8.今有一块边长的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，值应为多少？
第4讲 定积分与微积分的基本定理
★知识梳理★
1、定积分概念
定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.
2、定积分性质
（1）；
（2）
（3）
3、微积分基本定理
一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.
4．、常见求定积分的公式
（1） （2）（C为常数）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
★重难点突破★
1.重点：定积分的计算和简单应用。
2.难点：利用定积分求平面区域围成的面积
3.重难点：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.
（1）弄清定积分与导数之间的关系
问题1.一物体按规律做直线运动，式中为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例常数为），试求物体由运动到时，阻力所做的功.
解析：要求变力所做的功，必须先求出变力对位称的变化函数，这里的变力即媒质阻力，然后根据定积分可求阻力所做之功.
解因为物体的速度
所以媒质阻力
当时，，当时，，
阻力所做功
　　　　　　　　　　　　　　　
（2）掌握定积分在求曲边梯形面积的方法.
问题2. 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.
解析：作出及的图形如右：
解方程组 得
解方程组 得
所求图形的面积
★热点考点题型探析★
考点1: 定积分的计算
题型1.计算常见函数的定积分
[例1]求下列定积分
（1） （2） （3）
题型2:换元法求定积分
[例2]计算:
题型3:计算分段函数定积分
例3. 求
题型4:定积分的逆运算
例4. 已知求函数的最小值.
【新题导练】.
1．计算：
2. .设 则=（ ）
A. B. C. D.不存在
考点2: 定积分的应用
题型1.求平面区域的面积
[例1]求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.
题型2.物理方面的应用
[例2]汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？
★抢分频道★
基础巩固训练
1. = .
2. ．
3. = .
4. 已知,当= 时, .恒成立
5. 求曲线，及所围成的平面图形的面积.
综合拔高训练
6. 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
7. 抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．
8. 设直线与抛物线所围成的图形面积为S,它们与直线围成的面积为T, 若U=S+T达到最小值,求值;并求此时平面图形绕轴一周所得旋转体的体积.
第四章 导数及其应用 综合检测卷
选择题(每小题5分，共40分)
1. 已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为（ ）
A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44
2．函数的图象在处的切线的斜率是（ ）
A.3 B.6 C.12 D.
3. （ ）
4．函数，在上的最大、最小值分别为（ ）
A. B. C. D.
5．下列结论中正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B.如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
6. 如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是（ ）
A.在区间(－2,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数
C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时,f(x)取到极小值
7．函数在内有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A.(0,3) B. C. D.
8．抛物线到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.以上答案都不对
二、 填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分）
9．曲线y=x2－2x在点(1,－)处的切线的倾斜角为__________.
10.已知函数在处有极大值，在处极小值，则 ，
11.
12．已知函数的图象与轴切于非原点的一点，且，那么 ，
13.若，则=
14. 已知函数则的值为
15. 已知函数有极大值又有极小值，则的取值范围是
三、解答题（共80分）
16．（本题满分13分）求的最大值和最小值。
17．（本题满分13分）设函数的图象与轴的交点为P点，曲线在点P处的切线方程为。若函数在处取得极值0，试求函数的单调区间。
18．（本题满分14分）已知函数上的最大值为3，最小值为，求，的值。
19. （本题满分14分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区．已知，曲线段是以点为顶点且开口向右的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到）．
20. （本题满分14分）
已知二次函数为常数）；.若直线1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（Ⅰ）求、b、c的值
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
21. （本题满分12分）已知函数.（）
（Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
高二数学第四章 导数及其应用详解答案
第一讲
【考点1】
例1 .故选
例2观察图形,设,过P点的切线方程为即
它与重合,比较系数知:故=2
例3加速度v= (10+Δt)=10 m/s. ∴v=2t=2×5=10 m/s.
【新题导练】.
1.曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.
2.计算即可
3.设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)
对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①
对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q切线方程y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②
∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0
∴直线l方程为y=0或y=4x－4
【考点2】
例1（1）
（2）
（3）
例2（1）设切线的斜率为k，则
又，所以所求切线的方程为： 即
例3选D
【新题导练】.
4.+++
故 又,故
5. 代入即得0..
【抢分频道】
1.故=3
2.故填
3.|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上∴y=－2,∴y′=－,∵kAB=－,∴－
∴x=4,代入y2=4x(y<0)得y=－4. ∴P(4,－4)
4解：依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，
所以直线的方程为．又因为直线与的图像相切，所以由
，
得（不合题意，舍去）；
5.由，故直线l的斜率为1，切点为 即（1，0）
∴ ① 又∵
∴ 即 ②
比较①和②的系数得
6.（1），.令得
， .拐点
（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得
左边,
右边
右边=右边在图象上关于A对称
7.（1）设与在公共点处的切线相同
由题意知 ，∴
由得，，或（舍去）
即有
（2）设与在公共点处的切线相同
由题意知 ，∴
由得，，或（舍去）
即有
令，则，于是
当，即时，；
当，即时，
故在的最大值为，故的最大值为
8.(Ⅰ)方法一、 .由题设，得 ①
②
∵，∴，∴。
由①代入②得，∴，
得∴或 ③
将代入中，得 ④
由③、④得；
方法二、同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，所以，则
方法三：同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，显然，所以
因为图象的开口向下，且有一根为x1=1
由韦达定理得,
,所以，即，则，由得：
所以：
第二讲
【考点1】
例1：
对于，
当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
例2：又在区间[－1,1]上单调递增
在[－1,1]上恒成立 即在[－1,1]的最大值为
故的取值范围为
例3：设函数
当时， ，故在递增，当时，,又，，即，故
【新题导练】
1.解析：f′(x)=3x2－2ax=3x(x－a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x－a)≤0,
即a≥2,∴a≥3.答案：A
2.解析：∵y′=3x2+1>0恒成立，∴y=x3+x在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间.答案：A
3.解析：（I），
∵，由，∴在上单调递增。
由，∴在上单调递减。
∴的单调递减区间为，单调递增区间为。
（II），
恒成立
当时，取得最大值。
∴，∴
【考点2】
例1【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.
[解析]因为可导,且,所以,解得.经验证当时, 函数在处取得极大值.
例2解析：.，
．
令，解得或．
由于，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
例3：的定义域为，
的导数.
令，解得；令，解得.
从而在单调递减，在单调递增.
所以，当时，取得最小值.
（Ⅱ）解法一：令，则，
① 若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即.
② 若，方程的根为 ，
此时，若，则，故在该区间为减函数.
所以时，，
即，与题设相矛盾.
综上，满足条件的的取值范围是.
解法二：依题意，得在上恒成立，
即不等式对于恒成立 .
令， 则.
当时，因为，
故是上的增函数， 所以 的最小值是，
所以的取值范围是.
例4：（1）， 因为函数在处的切线斜率为-3，
所以，即，又得。
函数在时有极值，所以，解得，
所以．
（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零，
则得，所以实数的取值范围为
【新题导练】
4：选B在上的最大值为，且在时，，解之或（舍去），选B.
5.，令可得或（2舍去），当时，0，当时，0，所以当时，f（x）取得最大值为2.选C
6[解析]（1）由奇函数定义，有. 即 因此，
由条件为的极值，必有
故 ,解得
因此
当时，，故在单调区间上是增函数.
当时，，故在单调区间上是减函数.
当时，，故在单调区间上是增函数.
所以，在处取得极大值，极大值为
（2）由(1)知，是减函数，且
在上的最大值为最小值为
所以，对任意恒有
[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题.
【抢分频道】
1解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A
2.解析：，令得
当时，；当时，；当，
时，，当，故选D.
3.解析：y′=－1,令y′=0,即x=1,在(0，e］上列表如下：
x (0,1) 1 (1,e) e
y′ + 0 －
y 增函数 极大值－1 减函数 1－e
由于f(e)=1－e,而－1＞1－e,从而y?最大=f(1)=－1.
答案：B
4.[解析]
（当a.>1时，对x∈（0，+∞）恒有>0， ∴当a.>1时，f(x)在（0，+∞）上为增函数；
5.解：（x）=3ax2+6x－1. 要使f（x）在[0，4]递减，则当x∈（0，4）时，（x）<0。
∴或，解得a≤－3.
6解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x.
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因，故切线的斜率为
，
整理得.
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根.
设g(x 0)= ，则g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0 =1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
，解得－3故所求的实数a的取值范围是－37.解：（Ⅰ），
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增
∴的极小值为
（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴ ，
令，，
当时，，在上单调递增
∴
∴在（1）的条件下，
（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，
① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件.
③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.
8解：（1）函数f(x)的定义域为，
①当时，>0，f(x)在上递增
②当时，令得解得：
，因（舍去），故在上<0，f(x)递减；在上，>0，f(x)递增.
（2）由（1）知在内递减，在内递增.
故，又因
故，得
第三讲
例1： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得
=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.
例2解法一:设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大.
依题意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］
=－6x2+108x+378=－6(x－9)2+864(1≤x≤10),
显然,当x=9时,ymax=864(元),
即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.
解法二:由上面解法得到y=－6x2+108x+378.
求导数,得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,
解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.
例3（1）图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，△为等腰直角三角形， 四边形是正方形.
(2) 设，则，每块地砖的费用
为，制成△、△和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)，
.
由，当时，有最小值，即总费用为最省.
答：当米时，总费用最省.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"http://www.21cnjy.com/例4【解题思路】如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最大的照度，只需求的极值就可以了.
解析：设到的距离为，则，
于是，.
当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大.
（0，）
+ -
↗ ↘
【新题导练】.
1解析:设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，其体积为，
则，令，得，
解得（已舍去）且仅当时，；当时，.所以函
数在时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数的最大值.
，故当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.
2.设船速度为时，燃料费用为元，则，由可得，∴，∴总费用，，令得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，∴当时，取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
【抢分频道】
1: 要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快
2:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从点开始，小时时甲乙两船的距离
，
当时，
3解：设长为，则宽为，仓库的容积为V
则
，令得
当时，；当时，
时，
4解：设圆锥底面半径为r，高为，则，，圆锥体积一天，令得，当时，；时，
时，V最大，当应填
5解:∵v′=18－6t,∴v′|t=2=18－6×2=6.∴t=2时物体所受外力F为6×5=30.
6.解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x，则DB=100－x.
∴每吨货物运费y=(100－x)·3k+·5k(元)
(2)令y′=－3k+5k··k=0
∴5x－3=0
∵x>0，∴解得x=15
当015时，y′>0
∴当x=15时，y有最小值.
答：当x为15千米时运费最省 .
7解：(1) 因为,
而, 故,
.
∴.
(2) , 由
当在上变化时，的变化情况如下表:
-2 （-2，-1） -1 （-1，1） 1 （1，2） 2
+ 0 － 0 +
58 增函数 极大值62 减函数 极小值58 增函数 62
由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃.
8解：折成盒子后底面正三角形的边长为，高为
设：容积为V，则
令得（舍去）
当时，；当时，
时，
答：为时，盒子的容积最大为
第四讲
【考点一】
例1：（1）
（2）
（3）
例2【解题思路】：我们要直接求的原函数比较困难，但我们可以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.
解析：
例3【解题思路】：首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，再换元积分或奏变量完成.
解析：
例4：
当时，最小=1当时，最小=1
【新题导练】.
1解析:8
2.解析选C
【考点二】
例1：作出在上的图象与轴交于0、、
，所求积
例2：由题意，千米/时米/秒
，令得15－3t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.
所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为
公里
【名师指引】若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在时间内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程；如果
时，则路程.
【抢分频道】
1
2
3
4
5：作出，及的图如右
解方程组 得
解方程组 得
所求面积
6：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依题意，有所求面积=.
（3）依题意，有，
∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.
7：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以(1)
又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组
得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．
于是代入（1）式得：
，；　
令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且．
8
故函数无最小值。当时，显然无最小值。
第一章 综合检测卷
1解析:由函数值的增量公式Δy=f(x0+Δx)－f(x0),得Δy=f(2+0.1)－f(2)=(2+0.1)2+1－(22+1)=0.41.答案:B
2解析：选B
3解析：C
4解析：，讨论点，得答案为B.
5解析：根据函数的单调性与导数的关系和极值点的定义选B
6解:在(－2,1)上,导函数的符号有正有负,所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数;同理,函数在(1,3)上也不是单调函数.在x=2的左侧,函数在(－,2)上是增函数,在x=2的右侧,函数在(2,4)上是减函数,所以在x=2时,f(x)取到极大值;在(4,5)上导数的符号为正,所以函数在这个区间上为增函数.
答案:C
7解析： ，由题意知只要 选D
8解析：由，所以抛物线上点到直线的最短距离，最短距离为，故选B
9解：y′=x－2, ∴y′|x=1=1－2=－1.由tanα=－1,0°≤α<180°,得α=135°.答案：135°
10.解析：由根与系数的关系得，
11解析：
12解析：，令切点，则有两个相等实根，且，∴
，令得。
，即，
∴
13.解析：
14解析：∵，∴＝
.
15解析：为三次多项式，从而为二次函数。若无实数根或有重根，则为非负或非正。从而是单调函数，不会有极值。故若有极值，则应是有不同实根、，此时在与在上符号相反，所以在、处取得极值，且一为极大一为极小。综上所述，可知有极大值又有极小值的充分必要条件是有两个不同实根。 ，令得方程
由得
16解析：……………6分
∴函数上为单调递增函数，……………9分
∴……………11分
…………13分
17解析：∵函数的图象与轴的交点为P点，
∴点…………………4分
∴曲线在P点处的切线方程为………6分
由题设知，曲线在点P处的切线方程为，
………………8分
又函数在处取得极值0，…………10分
由…………12分
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为。………13分
18解析：，令…………4分
若，
则由，…………6分
所以从而。由，所以；…………………9分
若，则由，所以
。由，所以………13分
综上所述，…………14分
19解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
则抛物线方程令为．而，代入
则有． ………………………………4分
令，易求工业区面积． ………………6分
求导解得． ……………………………………9分
当时，，是的增函数，
当时，，是的减函数. …………………………12分
所以当时，取得最大值，且 ．…………13分
答：把工业园区规划成长为，宽为的矩形时，工业园区的用地面积最大，最大的用地面积约为． ……………………14分
20解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16
则，
∴函数f（x）的解析式为…………………………4分
（Ⅱ）由得
∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（………………6分
由定积分的几何意义知：
………………………………9分
（Ⅲ）令
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴x=1或x=3时，
当x∈（0，1）时，是增函数；
当x∈（1，3）时，是减函数
当x∈（3，+∞）时，是增函数
∴………12分
又因为当x→0时，；当
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须
即， ∴m=7或
∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。…………14分
优化问题
函数模型
解决数学问题
优化问题的解
O
O1
图1
图2
y
6
x
6
2
O
k
h
20
a
y
2Л
Л
0
x
t
v
a
b
o
V=v(t)
B(2,4)
A(1,1)
y=x
2
1
x
o
1
a
y=x2
y=ax
图1
y=ax
y=x2
1
a
图2