广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷（含答案）

柳州市 2026 届新高三摸底考试
数学
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)
注意事项:
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
复数 2i
2 i
的虚部为( )
2
5
4
5
2
5
4
5
已知集合 A = { 1,1,2,4},B = {x∣ 1 ≤ 2x ≤ 4} ,则 A ∩ B = ( )
A. { 1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. { 1,4}
设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 S1 = 9,a1 + a4 = 5 ,则 {an} 的公差为( ‘ )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二项式 1
5 1
的展开式中,含
x3
的项的系数是 ( )
A. -10 B. 10 C. -5 D. 5
已知圆锥的表面积为 12π ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径是(
)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
已知 tan α +
cosα
= 2 ,则 cosα sinα
= ( )
1
2
-2 C. 2 D. 1
2
已知函数 f
(x)
= x2 + 2x 3,x ≤ 0
2 + lnx,x > 0
,若方程 f
(x)
= k 的实数解恰有两个,则实数 k 的取值
范围是( )
A. k ≤ 4 B. 4 < k < 3 C. k = 4 或 k > 3 D. k = 4 或 k ≥ 3
已知椭圆 E:x2 + y2 = 1 的左右焦点分别为 F ,F ,上顶点为 A ,过 F 且垂直于 AF 的
16 12
1 2 1 2
直线与 E 交于 B 、 C 两点,则 △ ABC 的周长为 ( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
某人工智能公司近 5 年的利润情况如下表所示:
第 x 年 1 2 3 4 5
利润 y /亿元 2 3 4 5 7
已知变量 y 与 x 之间具有线性相关关系,设用最小二乘法建立的回归直线方程为 y = 1.2x + a ,则下列说法正确的是 ( )
a = 0.6
变量 y 与 x 之间的线性相关系数 r < 0
预测该人工智能公司第 6 年的利润约为 7.8 亿元
残差绝对值的最大值为 0.4
已知函数 f(x) = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0,0 < φ < π) 的部分图象如图所示,则(
)
ω = 2
π
φ = 3
直线 x = 17π
12
是函数 f(x) 图象的一条对称轴
f(x) 在 π , π 的值域为 [ 1,2]
6 4
如图所示, fi(x)(i = 1,2,3,4) 是定义在 [0,1] 上的四个函数,其中满足性质: “对 [0,1]
中任意的 x1 和 x2 ,任意 λ ∈ [0,1] , f[λx1 +(1 λ)x2] ≥ λf(x1) + (1 λ)f(x2) 恒成立”的有(
)
A. f1(x) B. f2(x) C. f3(x) D. f4(x)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
已知 |a| = 5,|b| = 4,a 与 b 的夹角 θ = 2π ,则 (a + b) b = .
直线 y = x 与双曲线 x2 y2 = 1
相交于 A,B 两点,且 A,B 两点的横坐标之积为 -
a2 8
(a > 0)
8 ,则双曲线的离心率为 .
在三棱锥 V ABC 中, VA = VB = AB = AC = BC = 2,VC = 1 ,则该三棱锥外接球的半径为
.
O (1)答案:C. 如果 OA 与正面 OAB 交等于线段,则 OA 与线段相交)
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
( 13 分)已知函数 f(x) = (ax + b)ex 的图象在点 (0,f(0)) 处的切线方程为 2x y + 1 = 0
.
求 a,b 的值；
求 f(x) 的单调区间与极值.
( 15 分)如图,四棱锥 P ABCD 的底面是矩形, PD ⊥ 底面 ABCD , PD = 2 , DC = 1 ,
M 为 BC 中点,且 PB ⊥ AM .
求 BC ；
求二面角 A PM B 的正弦值.
第 16 题图
(15 分) 记 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2b = c + 2asin B .
求 A ；
若 a = 2 3, △ ABC 的面积为 3,D 为 BC 上一点, AD 为 ∠BAC 的平分线,求 AD . 18.(17 分)为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于 170 cm 的关联性,调查了该校
所有高二年级的学生,整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取 100
名学生,对性别和身高是否大于 170 cm 进行统计,得到如下列联表二,其中女生占 2
5
,身高低
于 170 cm 的学生占 1 .
2
表一:
性别 身高 合计
低于 170 cm 不低于 170 cm
女 360 90 450
男 100 450 550
合计 460 540 1000
表二:
性别 身高 合计
低于 170 cm 不低于 170 cm
女 25
男
合计 100
从表一中随机抽取一人,分别用 A1 、 A2 表示抽到男生、女生,用 B 表示抽到学生身高不低于 170 cm ,计算 P(B∣A1) , P(B∣A2) ,并判断该校高二年级学生的性别和身高是否有关联？
请完成列联表二,并依据 α = 0.01 的独立性检验,能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联 对比第一问的结论, 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论, 请提出可行性建议;
现在从表二中,抽取样本容量为 10 的样本,其中女生样本数据为:159、160、165、171(单
位: cm),男生样本数据为:164、166、168、172、174、176(单位:cm),求出这个样本的第 70百分位数,并从不大于第 70 百分位数的样本数据中抽取 3 人,记 X 为抽到的女生人数,求 X的分布列及数学期望.
附: 2 n(ad bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
其中 n = a + b + c + d .
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
χα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. (17 分) 圆心在 x 轴上移动的圆经过点 A( 4,0) ,且与 x 轴, y 轴分别交于 B(x,0) , C (0,y) 两个动点.
求点 T(x,y) 的轨迹 E 的方程；
过点 D(3,2) 作互相垂直的两条直线 l1,l2,l1 与曲线 E 相交于 P1,Q1 两点, l2 与曲线 E
相交于 P2,Q2 两点,线段 P1Q1,P2Q2 的中点分别为 M,N .
(i)试问直线 MN 是否经过定点？若是,请求出该定点的坐标,若不是,请说明理由；
柳州市 2026 届新高三摸底考试数学参考答案及评分标准
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A A C D C B
二、多选题
2025.6
9 10 11
选 2 个 选 2 个
选 1 个（A （AC 或 选 3 个 选 1 个（A （AC 或 选 3 个 选 1 个（B 选 2 个
或 C 或 D） AD 或 （ACD） 或 C 或 D） AD 或 （ACD） 或 C） （BC）
CD） CD）
2 分 4 分 6 分 2 分 4 分 6 分 3 分 6 分
三、填空题
12.6 13.
三、解答题
165
15.解析：(1)f'(x) = (ax + b)'ex + (ax + b) (ex)' = (ax + a + b)ex
f'(0 = (a + b)e0 = a + b = 2
切线为 2x - y + 1 = 0，当 x = 0 时，y = 1 , 故 f (0 = 1，即 b = 1，所以 a = b = 1.
函数定义域为 R , 由 (1) 知，f (x = (x + 1)ex
f′(x = (x + 2)ex。
令 f′(x > 0，得 x >-2，令 f′(x < 0，得 x <-2
因此，f (x 的单调递增区间为(-2 ,+∞ ，单调递减区间为 (-∞,-2 ；
且在 x =-2 处取得极小值，极小值为 f (-2 =-e-2，无极大值.
解析：(1)以 D 为原点，分别以 DA , DC , DP 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系。
设 BC = 2a，则 D(0 ,0 ,0 ，A(2a ,0 ,0 ，B(2a ,1 ,0 ，P(0 ,0 ,2 ，M (a ,1 ,0
_
PB = (2a ,1 ,-2

，AM = (-a ,1 ,0 。
_
因为 PB ⊥ AM ，所以
，即：-2a2 + 1 = 0 a2 = 1
a = 2
PB AM = 0 2 2
故 BC = 2a =
(2) 由(1) 知 BC = 2 ，则 M ( 2 ,1 ,0 ，

PM = (
2 ,1 ,-2
_
，AP = (- 2 ,0 ,2
_
，BP = (- 2 ,-1 ,2 。
设平面 APM 的法向量 n1 = (x1,y1,z1 ，
_
- 2 x1+ 2z1= 0
由 n1 AP = 0，n1 PM = 0 得： 2
( 2 x1+ y1-2z1= 0
令 x1 = 2 ，则 z1 = 1，y1 = 1，故 n1 = ( 2 ,1 ,1 。
设平面 BPM 的法向 n2 = (x2,y2,z2 ，
_
- 2 x2-y2+ 2z2= 0
由 n2 BP = 0，n2 PM = 0 得： 2
( 2 x2+ y2-2z2= 0
令 z2 = 1，则 x2 = 0，y2 = 2，故 n2 = (0 ,2 ,1 。
·1·
设二面角 A - PM - B 的平面角为 θ
cosθ = n1 n2
= 3 = 3 5
n1 n2
2 × 10
综上，(1)BC = 2 ；(2) 二面角 A - PM - B 的正弦值为 55 。
解析：(1) 因为 2b = c + 2asin(B- π
= c + 3 asinB - acosB
由正弦定理可得 2sinB = sinC + 3 sinAsinB - sinAcosB，
且sinC = sin(A+ B = sinAcosB + cosAsinB，
即 2sinB = 3 sinAsinB + cosAsinB ，
因为 B ∈ (0 ,π
，则 sinB ≠ 0，所以 3 sinA + cosA = 2，即 sin(A+ π =1
又因为 A ∈ (0 ,π
，则 π < A + π < 7π ，可得 A + π = π ，所以 A = π .
6 6 6 6 2 3
(2) 因为 AD 为∠BAC 的平分线，则 ∠BAD = ∠CAD = π ，
因为 S△ABC = S△BAD + S△CAD，
所以 1 AB AC sin∠BAC = 1 AB AD sin∠BAD + 1 AD AC sin∠CAD
2
设 AD = t
即 1 bc × 3
= 1
2
× c × t × 1
+ 1
2
× t × b × 1 ，可得 (b + c)t = 3 bc，
2 2 2 2 2 2
在△BAC 中，由余弦定理可得 a2 = b2 + c2 - 2bccos∠BAC = (b + c 2 - 2bc - 2bccos∠BAC ，即 12 = (b + c 2 - 3bc
△ABC 的面积 S△ABC = 1 bc sin∠BAC = 1 × bc × 3 = 3 bc = 3 ，
2 2 2 4
所以 bc = 4 , 所以 b + c = 2 6 , t = 3 bc
= 4
2
= 2 , AD =
解析：(1)P(B|A1
= 450 = 9
，P(B|A2
= 90 = 1 ，有关。
(2) 表二：
550 11
450 5
性别 身高 合计
低于 170 cm 不低于 170 cm
女 25 15 40
男 25 35 60
合计 50 50 100
H0：假设该中学高二年级学生的性别与身高无关，
χ2 =
100(25 × 35 -25 × 15 2
40 × 60 × 50 × 50 =
25 ≈ 4.167 < 6.635，
依据 α = 0.01 的独立性检验，没有充分的证据说明 H0 不成立，
即该中学高二年级学生的性别与身高无关；
第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面、更准确，而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性，因此可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量。
10 个数据从小排到大的顺序为：159，160，164，165，166，168，171，172，174，176，10 × 0.7 = 7，因
此第 70 百分位数为 171 + 172
= 171.5，
身高小于 171.5cm 的人共 7 人，其中男生有 3 人，女生 4 人，
X 可以为 0，1，2，3，
P X= 0
= C3
= 1
P X= 1
= C2C1
= 12
P X= 2
= C1C2
= 18
P X= 3
= C3
= 4
( 3 35 ， (
3 35 ， (
3 35 ， (
3 35 ，
·2·
则 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1 35 12 35 18 35 4 35
E(X
= 1 × 12 + 2 × 18 + 3 × 4 = 12 。
35 35 35 7
解析：(1) 由已知，得线段 AB 是动圆的直径，故 AC ⊥ BC
_ _
于是 AC BC = 0 , 即(4 , y) (-x , y) = 0 ,
化简得：y2 = 4x，即为点 T(x , y) 的轨迹 E 的方程.
(2) 由题意，直线 l1 , l2 的斜率存在且不为 0，设直线 l1 : y - 2 = k(x - 3) , P1(x1 , y1) , Q1(x2 , y2)联立： (y= kx+(2 -3k) , 得：k2x2 + (4k - 6k2 - 4)x + (2 - 3k)2 = 0
x + x = 6k2 -4k+ 4
, x x = (2 -3k)2
1 2 k2
1 2 k2
y1 + y2 = k(x1 + x2) + (4 - 6k) = 4
所以点 M ( 3k2 -2k+ 2
, 2 ) , 以- 1
代 k 得到 N (3 + 2k + 2k2 ,-2k)
k2 k k
2 + 2k k
直线 MN 的斜率 kMN = k =
3k2 -2k+ 2 -(3 + 2k+ 2k2)
k2
1 -k-k2
直线 MN 的方程为：y + 2k = k [x - (3 + 2k + 2k2)]，当 x = 5 时，y = 0
1 -k-k2
MN 过定点（5,0）
（3）S△AMN = 1 × 9 × 2 + 2k = 9 × 1 + k = 9( 1
+ k ) ≥ 9 × 2
= 18
2 k k k
当且仅当 k =±1 时，△AMN 面积的最小值为 18.
·3·