江苏省连云港市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（图片版含答案）

高二数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1.B. 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.A
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。
9.BCD 10.AB. 11.ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。
12．14.7 13.11 14. 3
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2 2
解：(1)有放回摸球，每次摸到红球的概率为 5 ，且各次试验之间的结果是独立的，因此 X~B(2，5)，
X 的分布列为： P( X 0)
0 2 0
3 2 9
， P( X 1)
1 2 1
3 1 12 ，
P( X 2) 2 2 2 3 0

C2 ( 5) (5) 25
4
．
C2 (5) (5) 25
2 5 5 25
X 的分布表为：
X 0 1 2
P 9 25 12 25 4 25
不放回摸球，X 服从超几何分布，X 的分布列为：
C0C2
P( X 0) 4 6
C2
C1C1
, P( X 1) 4 6
C2
8 C2C0 2
, P( X 2) 4 6 .
15 C2 15
10 10 10
X 的分布表为：
解：（1）∵ S4 a6 5 ，∴3 a1 ＋ d 5
… 每个 2 分，全对 13 分
①，
又∵ a2n 2an 1，∴ a2 2a1 1 ， a1 d －1②
由①②得 a1 1， d 2，即 an 2n 1 5 分
（2） 1 1
1 ( 1
1 )
anan 1
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
a1a2
1
a2a3

1
a9a10
1 (1 1 1 1 1 1 )
2 3 3 5 17 19
= 1 (1 1 ) 9 10 分
2 19 19
由（1）得 cn (2n 1)2n 1 ，设数列{ c } 的前 n 项和为T
n n
Tn 1 20 3 21 5 22 (2n 1) 2n 1 ③
2Tn 1 21 3 22 5 23 (2n 3) 2n 1 (2n 1) 2n
由③－④得 Tn 1 20 2 (21 22 2n 1) (2n 1)2n
④….12 分
Tn (2n 3)2n 3 15 分
解：（1）当a 1时， f (x) e2x ex x ， f (x) 2e2x ex 1 1 分
f ( 1 ) 22 e e ， f (1) e2 e 1
曲线 f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为 y (2e2 e 1)x e2 4 分
（2） f (x) ae2x (a 2)ex x ， f (x) 2ae2x (a 2)ex 1 (2ex 1)(aex 1)
… 6 分
当 a ≤0 时， 2ae2x 0,(a 2)ex 0 ， f (x) 0 ，函数 f (x) 在R 上单调递减
… 8 分
当 a 0 时， f (x) 2ae2x (a 2)ex 1 (2ex 1)(aex 1)=0
aex 1 0 ， x ln a ，
当 x ( , ln a) 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在( , ln a) 上单调递减当 x ( ln a, ) 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在( ln a, ) 上单调递增
… 10 分
（3）当 ln a ≤0 ，函数 f (x) 在 0,1 上单调递增， f (x)min = f (0) 2a 2
… 11 分
当 0 ln a 1，函数 f (x) 在 0, ln a 上单调递减，在 ln a,1 上单调递增
f (x)
min
= f ( ln a) ln a 1 1 13 分
a
当 ln a ≥1，函数 f (x) 在 0,1 上单调递减，
f (x)min = f (1) ae2 (a 2)e 1 15 分
解：（1）由题意可知e c
5 ， 8 1
1 ，解得a 2 ， b 1
a 2
x2 2
a2 b2
双曲线 C 的标准方程为
4
y 1 4 分
（2）①由题意可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为： y k(x 2) 2


联立
x2 2
4
得(1 4k2 )x2 (16k2 16k)x 16k2 32k 20 0 ， 6 分
y k(x 2) 2
1 4k 2 0
所以 (16k 2 16k )2 4(1 4k 2 )( 16k 2 32k 20) 0 ， 8 分
k 0
化简得 8k 5 0 ，解得 k 5 ，所以 y 5 x 3 10 分
8 8 4

②设点 A(x , y ) ， B(x , y ) ，由①得联立
x2 2
得
1 1 2 2

y k(x 2) 2
1 4k 2 0
8k 5 0
(1 4k2 )x2 (16k2 16k)x 16k2 32k 20 0 ，
1 2
16k 2 16k
1 4k 2
16k 2 32k 20
k k
y1 y2
x1 x2

k(x1 2) 2 k(x2 2) 2
1 4k 2
1 2 x 2
x 2
x 2
x 2
1 2 1 2
= 2k
2
x1 2
2
x2 2
= 2k
2(x1 x2 4)
x1 x2 2(x1 x2 ) 4
… 14 分
16k 2 16k
2( 4k 2 1 4)
= 2k 16k 2 32k 20 16k 2 16k
4k 2 1
2 4k 2 1 4
32k 2 32k 32k 2 8
= 2k 16k 2 32k 20 32k 2 32k 16k 2 4
= 2k 32k 8 1 17 分
16 2
19．（1）证明：连接 AB，取 AB 中点 F，连接 DF，
A1D BD，AF BF ，
DF / /
2
A1 A ，又
1
OC / /
2
A1 A ， DF / /OC
四边形OCDF 为平行四边形， 2 分
CD / /OF ，又OF 平面 OAB，CD 平面 OAB， CD // 平面 OAB 4 分
连接 AP，过点 A 作 AG BP ，垂足为 G，由扇形 AOB 可知， APB 135 ，设 AP=a，BP=b，
则 AG
b ，在 OAB 中，由余弦定理得， AB2 AP2 BP2 2AP BPcos APB ，即
2
2 a2 b2 2a b ，
又 2 a2 b2 2a b (2 2)ab ，所以 ab 2 2 6 分
V V
1 S
.AG 1 1 2a 2 b = 2 ab 2(2 2) 2 1 ，当且仅当
B A1EP A1 BEP
BEP
3 2 2
6 6 3
a b 时取等号 8 分
以 OA,OB,OC 为一组基底，建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ，则 A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，
A (1, 0, 2) ，设 P(m, n,0) ，则 E(m, n, 2) ， m2 n2 1(0 m 1,0 n 1) 9 分
n A E n1 A1E (m 1)x ny 0
设平面 BA E 的法向量为 n (x, y, z) ，则 1 1 ，
1 1
n1 A1B n1 A1B x y 2z 0
不妨令 x n ，则 y 1 m ， z 1 m n ， n (n,1 m, 1 m n) ， 11 分
2 1 2
同理可求平面 PA1E 的法向量为 n2 (n,1 m, 0) 13 分
设二面角 B A1E P 的平面角大小为 ，
cos cos
=
2 2 ，
= =
0 m 1, 0 n 1, m2 n2 1 ， n 1 ， n 1 m 2 ，
0 n
2
1 m
1 ， 2
1 m
1 m n
，
1 m n
2 5 2
5
1， cos ( 2 5 ,1) ，
5
二面角 B A E P 余弦值的取值范围为( 2 5 ,1) 17 分
1 5