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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.1菱形的性质与判定 (2)
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：由作图可知：，
四边形是菱形，
．
故选：B．
2．（本题6分）如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．
解∵是边上的中线
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
∴．
∴，
∴．
故选C．
3．（本题6分）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．40 D．24
解：∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，
∴；
∵点分别为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长．
故选：B．
4．（本题6分）如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．是等边三角形 D．四边形为菱形
解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴四边形为菱形，故D选项正确，不符合题意；
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B选项正确，不符合题意；
根据题意无法得到的大小关系，
∴无法确定的形状，故C选项错误，符合题意；
故选：C
5．（本题6分）如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（ ）
A．6 B． C． D．12
解：如图，连接，过点作交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵菱形的边长为4，即，
∴在中，，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
二、填空题（共35分）
6．（本题7分）如图，正五边形的两条对角线与相交于点，若，则四边形的周长为 ．
解：∵正五边形，
∴，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴四边形周长为，
故答案为：．
7．（本题7分）如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则 度．
解：如图：
，，
四边形为平行四边形，
，，
是的角平分线，
，
，
为菱形．
，即．
故答案为：．
8．（本题7分）如图，在中，，点为斜边上一动点，点关于直线的对称点为点，连接，当时，的长为 ．
解：∵中，，，，
∴，；
∵点B关于直线的对称点为点E，
∴点E在以C为圆心，1为半径的圆上，
∵，
∴点E在的垂直平分线上，
如图所示，当点E位于位置时，
∴，，
则四边形为菱形，
则；
当点E位于位置，
∵，，
∴点为中点，
∵点B关于直线的对称点为点，
∴，
故答案为：1或．
9．（本题7分）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，则图中阴影部分的面积为 ．
解：如图所示，过点作于点，交于点，连接，则
在中，，，，
∴，则
∴
∵在中，，，将绕点按顺时针旋转得到
∴，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，则，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，则，
又∵，
∴是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴
故答案为：．
10．（本题7分）如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，则下列结论：；；；四边形是菱形；平分．其中错误的是 （填序号）
解：四边形是平行四边形，
，，，
又，
，
点是的中点，
，
故正确；
由可知，
又点是的中点，
，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故正确；
由可知，且，
且，
四边形是平行四边形，
，
在和中，，
，
故正确；
若四边形是菱形，则，
无法证明，
故错误；
由可知，
由可知，
由可知四边形是平行四边形，
，
，
根据三角形的三线合一定理，可得：平分，
故正确；
综上所述，错误的是
故答案为：．
三、解答题（共35分）
11．（本题7分）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如果四边形为矩形，，，求的长．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵O为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形为矩形，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．（本题7分）如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若．
(1)求证：；
(2)若，求证：平分．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形，
∴平分．
13．（本题7分） 如图，在中，，D，E分别是边的中点，连接并延长到F，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长；
（1）证明：点E是的中点，
又，
四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：在中，
是边的中点，是直角三角形，
，
平行四边形是菱形，
，
四边形的周长．
14．（本题7分）如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离．
（1）证明：，
，，
O是的中点，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是菱形，
即：，
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形
设点D到的距离为h
，，四边形是菱形
，
，
，
由得，
解得．
15．（本题7分）如图，直线经过点和点，将向上平移个单位得到，且经过点．
(1)求直线的表达式和的值；
(2)连接，将沿直线平移到，边与轴相交于点（如图），小明说：“我发现边上存在点，在平移的过程中可以使得四边形为菱形”．你觉得小明的发现是否正确？如果正确，求点的坐标；如果不正确，请说明理由．
（1）解：设直线的表达式为，
把和代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴与y轴交于，
∵向上平移个单位得到，且经过点
∴；
（2）解：同（1）可求直线的表达式为，
如图，
若四边形为菱形，
则，，，
∵平移，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即为的中点，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或，
∴或，
当时，
∵，
∴设的表达式为，
把代入，得，
解得，
∴，
联立方程组，
解得，
∴；
当时，
∵，
∴设的表达式为，
把代入，得，
解得，
∴，
联立方程组，
解得，
∴
此时，故不符题意，舍去；
综上，．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.1菱形的性质与判定 (2)
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题6分）如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．
3．（本题6分）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．40 D．24
4．（本题6分）如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．是等边三角形 D．四边形为菱形
5．（本题6分）如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（ ）
A．6 B． C． D．12
二、填空题（共35分）
6．（本题7分）如图，正五边形的两条对角线与相交于点，若，则四边形的周长为 ．
7．（本题7分）如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则 度．
8．（本题7分）如图，在中，，点为斜边上一动点，点关于直线的对称点为点，连接，当时，的长为 ．
9．（本题7分）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，则图中阴影部分的面积为 ．
10．（本题7分）如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，则下列结论：；；；四边形是菱形；平分．其中错误的是 （填序号）
三、解答题（共35分）
11．（本题7分）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如果四边形为矩形，，，求的长．
12．（本题7分）如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若．
(1)求证：；
(2)若，求证：平分．
13．（本题7分） 如图，在中，，D，E分别是边的中点，连接并延长到F，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长；
14．（本题7分）如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离．
15．（本题7分）如图，直线经过点和点，将向上平移个单位得到，且经过点．
(1)求直线的表达式和的值；
(2)连接，将沿直线平移到，边与轴相交于点（如图），小明说：“我发现边上存在点，在平移的过程中可以使得四边形为菱形”．你觉得小明的发现是否正确？如果正确，求点的坐标；如果不正确，请说明理由．
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