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（总课时03）§1.1菱形的性质与判定 （3）
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）菱形的周长为8米，两相邻角度数比是，菱形的面积是（ ）平方米
A．2 B． C．4 D．
解：∵菱形的周长为8米，
∴边长为2米，
∵两相邻角的度数之比为，两相邻角的度数之和为，
∴，
∴是等边三角形．
∴米．
∴米．
在直角中，根据勾股定理可得，米，
∴米，
∴菱形的面积为（平方米），
故选：B．
2．（本题6分）下列命题中，它们的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个实数相等，则它们的绝对值相等
B．全等三角形的对应角相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形
解：选项A：原命题为“如果两个实数相等，则它们的绝对值相等”．逆命题为“绝对值相等的两实数相等”．反例：3和绝对值相等但不相等，故逆命题为假命题．
选项B：原命题为“全等三角形的对应角相等”．逆命题为“对应角相等的三角形为全等三角形”．反例：相同形状，大小不同的三角形对应角相等但非全等，故逆命题为假命题．
选项C：原命题为“菱形的对角线互相垂直”．逆命题为“对角线垂直的四边形是菱形”．反例：风筝形对角线垂直但非菱形（需对角线垂直且平分），故逆命题为假命题．
选项D：原命题为“如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形”．逆命题为“直角三角形三边a，b，c满足”．根据勾股定理逆定理，直角三角形必满足两直角边平方和等于斜边平方，故逆命题为真命题．
综上，逆命题为真命题的选项是D．
故选：D．
3．（本题6分）如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，连接，点F，G分别是，的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接；
∵点F，G分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
∴当最小时，最小；
当时，最小，从而最小；
∵四边形是菱形，，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴
即的最小值为；
故选：B．
4．（本题6分）如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴都是等边三角形，
∴图中一共有4个等边三角形，
故选：A．
5．（本题6分）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④
解：①∵四边形是菱形．
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴①符合题意；
②由①得，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴②符合题意；
③当点E，F分别是中点时，
由（1）知，为等边三角形，
∵点E，F分别是中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴③不符合题意；
④过点F作交于P点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故本选项符合题意：
∴正确的结论是①②④．
故选：B．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，则菱形的面积是
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
故答案为：24．
7．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，，则点的坐标为 ．
解：过点作轴，如图所示：
在菱形中，，则，
是等腰直角三角形，则,
，
由勾股定理可得，解得，
则，
点的坐标为，
故答案为：．
8．（本题6分）如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为 ．
解：∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（本题6分）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，连接，，则的最小值为 ．
解：如图所示，连接，，交于点O，过点作于点Q，
∵点P是菱形对角线上一动点，
∴，，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当D，P，Q在同一直线上且时，的最小值等于线段的长，
又∵，
∴．
故答案为：．
10．（本题6分）如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为 ．
解：连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，如图：
∵将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，
∴，
∵，
∴在上的时，有最小值为，
四边形是菱形，是边的中点，
，，，
，
∴,
∴在中，，
∴，
，
在中，
，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，在平行四边形中，平分，平分，分别交于点，连结．
(1)请利用无刻度的直尺和圆规按照题意找到点和点；
(2)求证：四边形是菱形．
（1）解：如图所示为所求：
（2）证明：∵在平行四边形中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
12．（本题8分）如图，平行四边形中，， ，点M、N分别以A、C为起点，秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒．
(1)求边上高的长度；
(2)连接，当t为何值时，四边形为菱形；
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，解得：．
∴边上高的长度为．
（2）解：由题意可得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：．
∴当t为时，四边形为菱形．
13．（本题8分）如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点．
(1)求证：
(2)连接，，当满足什么条件时，四边形是菱形，并证明你的结论．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
分别是，的中点，
，
在和中，，
，
．
（2）解：当时，四边形时菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
．
分别是，的中点，
，
，
四边形是平行四边形．
，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
平行四边形是菱形．
14．（本题8分）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是菱形．
（1）证明：如图，连接交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵分别为的中点，
∴，
∴，，
∴共线，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）证明：由（1）可得到，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
15．（本题8分）如图，在中，点是的中点，点在上，点在延长线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
（1）证明：在中，是边的中点，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：满足条件时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
∵点是的中点，
即为中线，
，
即，
四边形为菱形．
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（总课时03）§1.1菱形的性质与判定 （3）
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）菱形的周长为8米，两相邻角度数比是，菱形的面积是（ ）平方米
A．2 B． C．4 D．
2．（本题6分）下列命题中，它们的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个实数相等，则它们的绝对值相等
B．全等三角形的对应角相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形
3．（本题6分）如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，连接，点F，G分别是，的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题6分）如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（本题6分）如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，则菱形的面积是
7．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，，则点的坐标为 ．
8．（本题6分）如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为 ．
9．（本题6分）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，连接，，则的最小值为 ．
10．（本题6分）如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，在平行四边形中，平分，平分，分别交于点，连结．
(1)请利用无刻度的直尺和圆规按照题意找到点和点；
(2)求证：四边形是菱形．
12．（本题8分）如图，平行四边形中，， ，点M、N分别以A、C为起点，秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒．
(1)求边上高的长度；
(2)连接，当t为何值时，四边形为菱形；
13．（本题8分）如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点．
(1)求证：
(2)连接，，当满足什么条件时，四边形是菱形，并证明你的结论．
14．（本题8分）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形是菱形．
15．（本题8分）如图，在中，点是的中点，点在上，点在延长线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
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