第2练 子集、全集、补集
考查要点：集合的包含关系，子集，真子集，补集，全集，Venn图，子集的个数
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024东台期末)设集合M＝{1，2，3}，则下列结论中正确是( )
A. 1 M
B. 2∈M
C. 3 M
D. {3}∈M
2. (2024如东高级中学阶段测试)下列关系中，正确的是( )
A. 0 {0}
B. {0}
C. {0，1} {(0，1)}
D. {(a，b)}＝{(b，a)}
3. (2024徐州高级中学期中)设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，则 BA等于( )
A. {1，2}
B. {2}
C. {1，2，3，4}
D. {3，4}
4. 已知集合A＝{x|x2＝1，x∈R}，B＝{x|x≥a}，若A B，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a<－1}
B. {a|a>1}
C. {a|a≤－1}
D. {a|a≥1}
5. (2024苏州黄埭中学月考)满足{1，2，3} A?{1，2，3，4，5，6}的集合A的个数有( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
6. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是( )
A. {m|m≤3}
B. {m|－3≤m≤3}
C. {m|2≤m≤3}
D. {m|m≤2}
7. 已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，若A是U的子集，且同时满足①若x∈A，则2x A；②若x∈ UA，则2x UA，则集合A的个数为( )
A. 8 B. 16 C. 20 D. 24
二、 多项选择题
8. (2024肥城期中)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2，m}，其中m∈U，则 UM可以是( )
A. {3，4}
B. {1，2，3}
C. {4，5}
D. {2，5}
9. (2024常州高级中学期中)已知集合A＝{－1，1}，非空集合B＝{x|x3＋ax2＋bx－1＝0}，则下列条件能够使得B A的是( )
A. a＝1，b＝－1
B. a＝－1，b＝1
C. a＝3，b＝－3
D. a＝－3，b＝3
三、 填空题
10. (2024镇江等地区联盟校调研)集合{(x，y)|x2＋y2<2，x∈Z，y∈Z}的非空真子集的个数是________．
11. (2024连云港海滨中学月考)若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，B A，则实数x＝________．
12. (2024苏州十中月考)设全集S＝{x|x2－6x＋a＝0，x∈R}， SA＝{5}，则集合A＝________．
四、 解答题
13. 已知集合A＝{1－a，a2－2a－1}，且2∈A.
(1) 求实数a的值；
(2) 写出集合A的所有真子集．
第2练 子集、全集、补集
1. B 由元素与集合的关系可知，1∈M，2∈M，3∈M，{3} M，故A，C，D错误，B正确．
2. B 因为0是元素，而{0}是集合，元素和集合之间不能用包含关系，故A错误；因为空集是任何非空集合的真子集，{0}是单元素非空集合，故B正确；因为{0，1}是两个元素的实数集，{(0，1)}是一个元素的点集，元素类型都不相同，所以不具有包含关系，故C错误；因为{(a，b)}，{(b，a)}这两个集合中的元素分别是(a，b)，(b，a)，显然这两个点不一定是同一个点，所以两个集合不一定相等，故D错误．
3. D 集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，则 BA＝{3，4}．
4. C 由题意，得A＝{1，－1}，B＝{x|x≥a}．因为A B，所以a≤－1，即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
5. B 集合A中一定含有1，2，3，可能含有4，5，6，但不能同时含有4，5，6.由此可得到满足条件的集合A的个数就是集合{4，5，6}的真子集个数，共有23－1＝7(个).
6. A 当B＝ 时，m＋1＞2m－1，解得m＜2，符合题意；当B≠ 时，且下面两个不等式的等号不能同时成立，解得2≤m≤3.综上，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
7. B 由题意，得当2∈A时，1 A，4 A；当2 A时，{1，4} A，即元素2与元素1，4必选其一；当3∈A时，6 A；当3 A时，6∈A，即元素3与元素6必选其一；元素5与7没有限制，所以集合A可以为{2，3}，{2，6}，{2，3，5}，{2，3，7}，{2，6，5}，{2，6，7}，{2，3，5，7}，{2，6，5，7}，{1，4，3}，{1，4，6}，{1，4，3，5}，{1，4，3，7}，{1，4，6，5}，{1，4，6，7}，{1，4，3，5，7}，{1，4，6，5，7}，共16个．
8. AC 因为m∈U，所以当m＝3时，M＝{1，2，3}， UM＝{4，5}；当m＝4时M＝{1，2，4}， UM＝{3，5}；当m＝5时，M＝{1，2，5}， UM＝{3，4}．故选AC.
9. ABD 对于A，方程x3＋x2－x－1＝0，因式分解，得(x－1)(x＋1)2＝0，解得x＝－1或x＝1，所以B＝{－1，1}，满足B A，故A正确；对于B，方程x3－x2＋x－1＝0，因式分解，得(x－1)(x2＋1)＝0，解得x＝1，所以B＝{1}，满足B A，故B正确；对于C，方程x3＋3x2－3x－1＝0，因式分解，得(x－1)(x2＋4x＋1)＝0，解得x＝1或x＝－2±，所以B＝{1，－2－，－2＋}，不满足B A，故C错误；对于D，方程x3－3x2＋3x－1＝0，因式分解，得(x－1)3＝0，解得x＝1，所以B＝{1}，满足B A，故D正确．故选ABD.
10. 30 因为{(x，y)|x2＋y2<2，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(1，0)，(0，1)}，所以其非空真子集的个数为25－2＝30.
11. ± 因为集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，B A，当x2＝0时，x＝0，集合A元素之间不满足互异性，舍去；当x2＝2时，x＝±，符合题意；当x2＝x时，x＝0或x＝1，集合A或集合B元素之间不满足互异性，舍去．综上，x＝±.
12. {1} 因为 SA＝{5}，所以5∈S，则52－6×5＋a＝0，解得a＝5，所以S＝{1，5}．又 SA＝{5}，所以A＝{1}．
13. (1) 因为2∈A，所以1－a＝2或a2－2a－1＝2，
当1－a＝2，即a＝－1时，a2－2a－1＝2不满足集合元素的互异性，舍去；
当a2－2a－1＝2时，解得a＝－1(不满足集合元素的互异性，舍去)或a＝3，
所以当a＝3时，1－a＝－2，A＝{－2，2}．
综上，实数a的值为3.
(2) 由(1)，得A＝{－2，2}，
所以集合A的所有真子集为 ，{－2}，{2}．
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，如本练的T2和T13(2).当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其很容易被忽视，导致漏解，产生错误，有效地预防方法是分类讨论，如本练的T6.第3练 交集、并集
考查要点：交集，并集，区间的定义
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024淮安期末)已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∪B等于( )
A. {1，2}
B. {－1，0，1，2，3}
C. {0，1，2，3}
D. {1，2，3}
2. (2024宿迁期末)若集合M＝{x|<2}，N＝{x|3x≥2}，则M∩N等于( )
A.
B. {x|0≤x<4}
C.
D.
3. (2024海安实验中学期中)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{0，2，4}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {0，2}
B. {－1，0，1，2，4}
C. {－1，0，2，4}
D. {－1，1，4}
4. (2024连云港海滨中学月考)已知集合A＝{(x，y)|x－y＝2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x＋y＝0，x，y∈R}，则集合A∩B的子集个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛，则只参加球类一项比赛的人数为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
7. (2024湖南师大附中入学考试)已知全集U＝M∪N＝{x∈N|0≤x≤10}，M∩( UN)＝{1，3，5，7}，则集合N等于( )
A. {x|0≤x≤10}
B. {x∈N|0≤x≤10}
C. {0，2，4，6，8，9，10}
D. {0，2，4，6，8，10}
二、 多项选择题
8. (2024江都中学、仪征中学联考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{x|ax＋2＝0}，若P∪Q＝P，则实数a的值可以是( )
A. －2 B. －1 C. 1 D. 0
9. 已知集合A＝{x|－1A. A∩B＝
B. A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C. A∪( RB)＝{x|x≤1或x>2}
D. A∩( RB)＝{x|2三、 填空题
10. (2024常州联盟学校月考)若集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{2，5}，则如图中的阴影部分表示的集合为________．
11. 已知A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]，若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是________．
12. 定义一种集合运算A B＝{x|x∈(A∪B)且x (A∩B)}，设集合M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|1＜x＜3}，则M N所表示的集合是________．
四、 解答题
13. (2024江都中学、仪征中学联考)已知集合A＝{x|x≤－3或x≥2}，B＝{x|1(1) 求( RA)∪B；
(2) 若B∩C＝C，求实数m的取值范围．
第3练 交集、并集
1. B 由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2，3}．
2. D 由题意，得M＝{x|0≤x<4}，N＝，所以M∩N＝.
3. D 由图可知，阴影部分元素属于集合A或B，但不属于A∩B.因为A∪B＝{－1，0，1，2，4}，A∩B＝{0，2}，所以阴影部分的集合为{－1，1，4}．
4. C 由解得故A∩B＝{(1，－1)}有1个元素，所以集合A∩B的子集个数是2.
5. C 如图，设只参加球类一项比赛的人数为x，同时参加田径和球类的人数为y，只参加田径的人数为z，则解得x＝8，故只参加球类一项比赛的人数为8.
6. A 由A∩B＝B，得B A.又B≠ ，所以解得－≤m≤2，故实数m的取值范围是.
7. C 由题意，得U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．因为M∩( UN)＝{1，3，5，7}，所以 UN＝{1，3，5，7}，所以N＝{0，2，4，6，8，9，10}．
8. ABD 因为P∪Q＝P，所以Q P.由ax＋2＝0，得ax＝－2.当a＝0时，方程无实数解，所以Q＝ ，满足题意；当a≠0时，x＝－，令－＝1或－＝2，解得 a＝－2或a＝－1.综上，a的值为0或－2或－1.故选ABD.
9. BD 对于A，A∩B＝{x|－12}，则A∪( RB)＝{x|x<－2或x>－1}，故C错误；对于D，由选项C知，A∩( RB)＝{x|210. {1，3} 由集合U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，5}，得 UB＝{1，3，4，6}．又A＝{1，3，5}，所以图中的阴影部分表示的集合A∩( UB)＝{1，3}．
11. (4，＋∞) 由区间的概念，得B≠ ，所以A∩B＝ 借助数轴可得或解得m>4，故实数m的取值范围是(4，＋∞).
12. {x|－2＜x≤1或2≤x＜3} 由题意，得M∪N＝{x|－2＜x＜3}，M∩N＝{x|1＜x＜2}，则M?N＝{x|－2＜x≤1或2≤x＜3}．
13. (1) 由集合A＝{x|x≤－3或x≥2}，
得 RA＝{x|－3又B＝{x|1所以( RA)∪B＝{x|－3(2) 由B∩C＝C，得C B.
当m－1>2m，即m<－1时，C＝ ，符合题意；
当m－1≤2m，即m≥－1时，要使得C B，需满足m－1>1，且2m<5，即2故实数m的取值范围为{m|m<－1或2 只有非空集合才能用区间表示，给出区间后要注意左端点小于右端点的隐含条件，同时要注意看清区间端点是否取到．如本练的T11.第1练 集合的概念与表示
考查要点：集合的概念，集合中元素的特征，常用数集的记法，元素与集合的关系，列举法和描述法，集合相等，有限集、无限集和空集
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024常州联盟学校月考)集合{x∈N|x≤3}还可以表示为( )
A. {0，1，2，3}
B. {2，1，3}
C. {1，2，3，4}
D. {x|0≤x≤3}
2. 已知集合M＝{x|x∈A且x B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，4}，则M等于( )
A. {1} B. {4} C. {2，3} D. {1，2}
3. 给出下列说法：①的近似值的全体构成一个集合；②自然数集N中最小的元素是0；③在整数集Z中，若a∈Z，则－a∈Z；④一个集合中不可以有两个相同的元素．其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. (2024连云港海滨中学月考)有下列关系：①∈R；②∈Q；③0＝{0}；④0 N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z，其中正确的个数为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5. (2024涟水一中月考)设a，b∈R，P＝{1，a}, Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a＋b的值( )
A. －2 B. 0 C. 1 D. 2
6. 已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则实数a的值为( )
A. －1 B. －3或－1 C. 3 D. －3
7. 设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为( )
A. 4 B. 5 C. 19 D. 20
二、 多项选择题
8. (2024如东高级中学阶段测试)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示中正确的是( )
A. －1 A B. －11 A
C. 3k2－1∈A D. －34∈A
9. (2024常州联盟学校月考)下列四个命题中，正确的是( )
A. 方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}
B. 由＋(a，b∈R)所确定的实数集合为{－2，0，2}
C. 集合{(x，y)|3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{(0，8)，(2，5)，(4，2)}
D. A＝中含有三个元素
三、 填空题
10. (2024淮安楚州中学期初测试)若A＝{－2，－1，1，2，3}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝________．
11. (2024连云港高级中学学情检测)对于集合A，B，集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B，例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．若已知C×D＝{(1，2)，(2，2)}，则集合D＝________．
12. (2024南京外国语学校月考)设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 023＝________．
四、 解答题
13. (2024连云港海滨中学月考)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，x∈R，a∈R}．
(1) 若A是空集，求a的取值范围；
(2) 若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A.
第1练 集合的概念与表示
1. A 集合{x∈N|x≤3}的元素为小于等于3的全部自然数，故{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}．
2. C 因为集合A＝{1，2，3}，B＝{1，4}，所以M＝{x|x∈A且x B}＝{2，3}．
3. C ①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，故①错误；②自然数集N中最小的元素是0，故②正确；③在整数集Z中，若a∈Z，则－a∈Z，整数的相反数还是整数，故③正确；④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知④正确．故正确的个数为3.
4. D 由元素与集合的关系易知，①②⑥正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N，故④错误；在⑤中，π Q，故⑤错误．故正确的个数为3.
5. A 因为P＝Q，所以解得所以a＋b＝－2.
6. D 由题意，得a2＋4a＝－3①或a－2＝－3②，由①解得a＝－1或a＝－3 ；由②解得a＝－1.当a＝－1时，a2＋4a＝－3，a－2＝－3，不符合集合中元素的互异性，舍去，故a＝－3.
7. C 当a＝1时，b＝4，5，6，7，8；当a＝2时，b＝4，5，6，7，8；当a＝3时，b＝4，5，6，7，8；当a＝4时，b＝5，6，7，8，所以P*Q中有5＋5＋5＋4＝19(个)元素．
8. BCD 对于A，当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，故A错误；对于B，令－11＝3k－1，得k＝－ Z，所以－11 A，故B正确；对于C，因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，故C正确；对于D，令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，故D正确．故选BCD.
9. BC 对于A，方程的解为解集为{(2，－2)}，故A错误；对于B，由＋(a，b∈R)知，a≠0，b≠0，当a，b同为正数时，＋＝2；当a，b一正一负时，＋＝0；当a，b同为负数时，＋＝－2，故由＋(a，b∈R)所确定的实数集合为{－2，0，2}，故B正确；对于C，由3x＋2y＝16，x∈N，y∈N，得y＝，当x＝0时，y＝8；当x＝2时，y＝5；当x＝4时，y＝2，故可以化简为{(0，8)，(2，5)，(4，2)}，故C正确；对于D，∈N，a∈Z，当a＝－3时，＝1；当a＝0时，＝2；当a＝1时，＝3；当a＝2时，＝6，故A＝＝{－3，0，1，2}中含有4个元素，故D错误．故选BC.
10. {1，4，9} 因为A＝{－2，－1，1，2，3}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，所以B＝{1，4，9}．
11. {2} 由题意，得集合D中只有元素2，所以D＝{2}．
12. 0 由{1，a＋b，a}＝易知a≠0，a≠1.由两个集合相等定义可知，若得a＝－1，经验证，符合题意；若由于a≠0，则方程组无解，综上，a＝－1，b＝1，所以a2 023＋b2 023＝(－1)2 023＋12 023＝0.
13. (1) 当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解得x＝，不符合题意；
当a≠0时，若方程ax2－3x＋2＝0无实数根，
则解得a>，
综上，a的取值范围为.
(2) 当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解得x＝，此时A＝；
当a≠0时，若方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根，
则解得a＝，
此时方程ax2－3x＋2＝0化为x2－3x＋2＝0，解得x＝，所以A＝.
综上，a的值为0或，当a＝0时，A＝；当a＝时，A＝.
关于两集合相等问题的解题策略：
1. 若两个集合为元素个数较少的有限集，可以从元素相同的角度来求解．如本练的T5和T12.
2. 若集合中元素个数较多、元素呈现一定的规律性或集合为无限集时，可从子集的角度说明A B同时B A来求解．
