第6练 全称量词命题与存在量词命题
考查要点：全称量词与存在量词，全称量词命题与存在量词命题的判断与否定
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024泰州期末)命题“ x∈R，x2≥1”的否定为( )
A. x R，x2≥1 B. x∈R，x2<1
C. x∈R，x2≥1 D. x∈R，x2<1
2. (2024海安实验中学期中)命题“ x>1，x2＋1≥0”的否定为( )
A. x≤1，x2＋1≥0 B. x>1，x2＋1<0
C. x>1，x2＋1<0 D. x≤1，x2＋1<0
3. (2024连云港新海高级中学月考)下列全称量词命题中，为真命题的是( )
A. 所有的质数都是奇数
B. x∈R，x2＋1≥1
C. 对每一个无理数x，x2也是无理数
D. 所有能被5整除的整数，其末位数字都是5
4. (2024灌云一中阶段检测)命题“ x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题的一个充分且不必要条件是( )
A. a≤1 B. a≤2 C. a≤3 D. a≤4
5. (2024常熟期中)“m>0”是“ x∈R，x2＋2x＋m>0为真命题”的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6. (2024丹阳珥陵高级中学教学情况调研)下列命题中，为假命题是( )
A. x∈R，|x|＋1>0 B. x∈N*，(x－1)2>0
C. x∈R，|x|<1 D. x∈R，＋1＝2
7. (2024苏州十中月考)命题“ x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个必要且不充分条件是( )
A. a≥1 B. a≥4 C. a≤4 D. a≥0
二、 多项选择题
8. (2024浏阳期末质量监测)已知两个命题：①若x>0，则2x＋1>5；②若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等，则下列说法中正确的是( )
A. 命题①是全称量词命题
B. 命题①的否定为“存在x>0，2x＋1≤5”
C. 命题②的否定为“存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等”
D. 命题①和②被否定后，都是真命题
9. (2024南京中华中学学情调研)下列命题中，为真命题的是( )
A. 若x∈A∩B，则x∈A∪B
B. x∈R，2x
C. 若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D. 若 x∈R，x2＋m≤0，则m的取值范围是{m|m≤0}
三、 填空题
10. (2024涟水一中月考)已知命题p： x>0，ln (x＋1)>0，则命题p的否定为__________________．
11. (2024苏州高新区一中月考)若命题“ x∈R，使2x2＋5x－m≠0”是假命题，则实数m的一个可能取值为________．
12. 若命题“ x∈R，x2－x＋a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
13. (2024苏州十中月考)已知命题p： x∈[－1，1]，x2＋2x－k≤0，命题q： x∈R，x2＋2kx＋3k＋4＝0.
(1) 当命题 p为假命题时，求实数k的取值范围；
(2) 若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围．
第6练 全称量词命题与存在量词命题
1. D 命题“ x∈R，x2≥1”的否定为“ x∈R，x2<1”．
2. B 命题“ x>1，x2＋1≥0”的否定为“ x>1，x2＋1<0”．
3. B 质数中2不是奇数，故A为假命题；因为 x∈R，都有x2≥0，所以x2＋1≥1，故B为真命题；为无理数，但()2＝2是有理数，故C为假命题；所有能被5整除的整数，其末位数字可以是5也可以是0，故D为假命题．
4. A 若“ x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题，则2x2≥a，对任意x∈[1，2]恒成立，只需a≤(2x2) min＝2，所以若命题“ x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题，则a≤2，所以a≤1是命题“ x∈[1，2]，2x2－a≥0”为真命题的一个充分且不必要条件．
5. B 由“ x∈R，x2＋2x＋m>0为真命题”，得Δ＝4－4m<0，解得m>1.因为若m>1，则m>0，反之不成立，所以“m>0”是“ x∈R，x2＋2x＋m>0为真命题”的必要且不充分条件．
6. B 对于A，易知|x|＋1>0恒成立，故A是真命题；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B是假命题；对于C，当x＝0时，|x|＝0<1，故C是真命题；对于D，当x＝±1时，＋1＝2，故D是真命题，
7. D 由命题“ x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，得a≥(x2) min＝1，所以a≥1，所以a≥0为该命题是真命题的一个必要且不充分条件．
8. AB 命题①是全称量词命题，故A正确；命题①的否定为“存在x>0，2x＋1≤5”，故B正确；命题②的否定为“存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等”，故C错误；因为命题②是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误．故选AB.
9. ACD 对于A，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B，所以x∈A∪B，故A正确；对于B，当x＝0时，2x＝x2，故B错误；对于C，假设x，y都不大于1，即x≤1，y≤1，所以x＋y≤2，与x，y∈R，且x＋y>2矛盾，所以若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1，故C正确；对于D，若 x∈R，x2＋m≤0，即 x∈R，m≤－x2.因为(－x2)max＝0，所以m≤0，故D正确．故选ACD.
10. x>0，ln (x＋1)≤0
11. 0(答案不唯一) 因为命题“ x∈R，使2x2＋5x－m≠0”是假命题，所以命题“ x∈R，使2x2＋5x－m＝0”是真命题，即方程2x2＋5x－m＝0有解，所以Δ＝52－4×2×(－m)≥0，解得m≥－，故实数m的一个可能取值为0(满足m≥－即可).
12. 因为命题“ x∈R，x2－x＋a<0”是假命题，所以命题“ x∈R，x2－x＋a≥0”是真命题，则Δ＝1－4a≤0，解得a≥，故实数a的取值范围是.
13. (1) 当命题 p为假命题时，命题p为真命题．
由题意，得x2＋2x≤k在区间[－1，1]上恒成立．
因为当x∈[－1，1]时，x2＋2x∈[－1，3]，
所以k≥(x2＋2x)max＝3，即k≥3.
故实数k的取值范围为[3，＋∞).
(2) 因为命题p和q中有且仅有一个是假命题，
所以命题p和q一真一假．
当命题q为真命题时，
Δ＝4k2－4(3k＋4)≥0，
解得k≤－1或k≥4.
①当命题p为真，命题q为假时，
解得3≤k<4；
②当命题q为真，命题p为假时，
解得k≤－1.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－1]∪[3，4).
当判断一个命题的真假比较困难时，可转换为判断其命题的否定的真假哦！如本练的T11，T12，T13.第4练 命题、定理、定义
考查要点：命题的概念、命题的结构、命题的真假，定理与定义
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024宿迁北附同文实验学校月考)有下列语句：①空集是任何集合的子集；②若x>1，则 x>2；③3比1大吗？④若平面上两条直线不相交，则它们平行；⑤＝－2；⑥x>15，其中是命题的为( )
A. ①②⑥ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ①②④⑤
2. 命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A. 这个四边形的对角线互相平分
B. 这个四边形的对角线互相垂直
C. 这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D. 这个四边形是平行四边形
3. 将命题“乘积为负数的两个数异号”改写成“若p，则q”的形式为( )
A. 若两个数相乘，则乘积为负数时，这两个数异号
B. 若两个数异号，则这两个数的乘积为负数
C. 若两个数的乘积不为负数，则这两个数不是异号
D. 若两个数的乘积为负数，则这两个数异号
4. 关于区间I＝(a，＋∞)，有下列四个命题，甲：小于1的数都不在区间I内；乙：区间I内不存在互为倒数的两个数；丙：区间I内存在小于1的数；丁：区间I内每个数的平方都大于它本身．若只有一个假命题，则该命题是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 下列说法中，不是定理的是( )
A. 同位角相等，两直线平行
B. 三角形两边之和大于第三边
C. 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方
D. 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
6. 下列命题中，真命题的是( )
A. 若x＝3，则x2－2x－3＝0
B. 若x2－2x－3＝0，则x＝3
C. 若x＝－1，则x2－2x－3≠0
D. 若x2－2x－3≠0，则x的值可能是3
7. 若命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数根”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，1)
B. (－∞，1]
C. (－∞，0)∪(0，1)
D. (－∞，0)∪(0，1]
二、 多项选择题
8. 已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，则下列命题中是真命题的有( )
A. M中的元素都不是P中的元素
B. M中有不属于P的元素
C. M中有属于P的元素
D. M中的元素不都是P中的元素
9. (2024镇江等地区联盟校调研)下列命题中，是真命题的是( )
A. 若x2＋x－2＝0，则x＝1
B. 若x>1，则x2>1
C. 平行四边形的对角线互相平分
D. 空集是任何集合的真子集
三、 填空题
10. 命题“若x>0，则|x|≥0”为________命题．(填“真”或“假”)
11. 若命题“方程x2－2x＋m＝0无实数根”为假命题，则实数m的取值范围是________．
12. 命题“两个偶数的和一定是偶数”的条件是________________，其真假性是________．
四、 解答题
13. (2024江苏月考)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1) 6是12和18的公约数；
(2) 当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3) 已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
第4练 命题、定理、定义
1. D 根据命题的定义可知，③是疑问句，故不是命题，对于⑥，因为x是未知数，所以无法判断“x>15”是否成立，故不是命题，所以①②④⑤是命题．
2. C 命题改写为“若p，则q”的形式：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．
3. D
4. C 根据甲和丙两个命题可知甲和丙互相矛盾，故两个命题必然一真一假．又只有一个假命题，所以乙和丁都为真命题．根据乙和丁可知I＝(a，＋∞) (1，＋∞)，故丙为假命题．
5. D A，B，C都是定理，D是定义．
6. A 若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，故A正确，B错误；若x＝－1，则x2－2x－3＝0，故C错误；若x2－2x－3≠0，则x的值不可能是3，故D错误．
7. C 由题意知解得a<1，且a≠0.
8. BD 因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以集合M中至少有一个元素不属于集合P，故B，D正确；M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故A，C错误．故选BD.
9. BC 对于A，解方程x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1，故A错误；对于B，因为x>1，所以x2>x>1，故B正确；对于C，由平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，故C正确；对于D，空集是空集的子集，空集不是空集的真子集，故D错误．故选BC.
10. 真
11. (－∞，1] 由题意，得方程x2－2x＋m＝0有实数根，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，故实数m的取值范围是(－∞，1].
12. 两个数都是偶数 真命题 命题“两个偶数的和一定是偶数”即若两个数都是偶数，则它们的和一定是偶数，显然是真命题．
13. (1) 若一个数是6，则它是12和18的公约数．因为12＝6×2，18＝6×3，所以6是12和18的公约数，
所以若一个数是6，则它是12和18的公约数是真命题．
(2) 若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，
当a＝0时，方程为2x－1＝0，x＝，方程ax2＋2x－1＝0只有1个实根，
所以若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根是假命题．
(3) 已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，
则y＝4，x＝2，
当y＝5，x＝3时，满足y－x＝2，
所以已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2是假命题．第5练 充分条件、必要条件、充要条件
考查要点：充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用
建议用时：40＋2分钟
一、 单项选择题
1. (2024连云港期末)“|a|>|b|”是“a>b”的( )
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2. (2024海安高级中学阶段检测)已知p：－1m，若p是q的充分且不必要条件，则实数m的取值范围是( )
A. [1，＋∞)
B. (－∞，－1)
C. (－1，0)
D. (－∞，－1]
3. (2024连云港新海高级中学月考)若不等式|x－1|A. [2，＋∞)
B. [1，＋∞)
C. (－∞，2]
D. (－∞，1]
4. (2024丹阳珥陵高级中学教学情况调研)设a∈R，则“a＝－3”是“关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数根”的( )
A. 充要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充分且不必要条件
D. 既不充分又不必要条件
5. 已知p：－4A. [－1，6]
B. (－∞，－1]
C. [6，＋∞)
D. (－∞，－1]∪[6，＋∞)
6. (2024苏州黄埭中学月考)设x∈R，不等式|x－3|<2的一个必要且不充分条件是( )
A. 10
C. x<4 D. 2≤x≤3
7. “方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根”的充要条件是( )
A. 0C. a≤1 D. 0二、 多项选择题
8. 已知条件p：{x|x2＋x－6＝0}，q：{x|xm＋1＝0}，若p是q的必要条件，则m的值可以是( )
A. B. C. － D. 0
9. (2024常州北郊高级中学调研)下列说法中，正确的是( )
A. “a>1”是“<1”的充分且不必要条件
B. 命题“若x<1，则x2<1”的是真命题
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要且不充分条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件
三、 填空题
10. (2024徐州高级中学期中)“x>y>0”是“x2>y2”的________．(填“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”“充要条件”或“既不充分又不必要条件”)
11. 若“|x|12. (2024连云港赣榆期中)若不等式|x－2|四、 解答题
13. (2024灌云一中期末)已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤4}，全集U＝R.
(1) 当a＝1时，求A∩B；
(2) 若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求实数a的取值范围．
第5练 充分条件、必要条件、充要条件
1. D 设a＝－2，b＝0，此时满足|a|>|b|，但不满足a>b，则充分性不成立；设a＝2，b＝－3，此时满足a>b，但不满足|a|>|b|，则必要性不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要条件．
2. D 因为p是q的充分且不必要条件，所以{x|－1m}，则m≤－1.故实数m的取值范围是(－∞，－1].
3. A 由|x－1|4. C 若关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数根，则Δ＝1－4a≥0，解得a≤，所以“a＝－3”是“关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数根”的充分且不必要条件．
5. A 由－46. B 由|x－3|<2，得10}，{x|2≤x≤3}?{x|10是不等式|x－3|<2的一个必要且不充分条件．
7. C 当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0有一个负实根－，符合题意；当a>0时，解得08. BCD 设A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，B＝{x|xm＋1＝0}．因为p是q的必要条件，所以B A，当B＝ 时，由mx＋1＝0无解可得m＝0，符合题意；当B≠ 时，B＝{2}或B＝{－3}，当B＝{2}时，由2m＋1＝0，解得m＝－；当B＝{－3}时，由－3m＋1＝0，解得m＝.综上，m的值可以为0，－，.故选BCD.
9. AD 对于A，由a>1，能推出<1，但由<1，不能推出a>1，例如当a<0时，符合<1，但不符合a>1，所以“a>1”是“<1”的充分且不必要条件，故A正确；对于B，当x<－1时，x2>1，故B错误；对于C，由x≥2，且y≥2能推出x2＋y2≥4，充分性成立，故C错误；对于D，由a≠0不能推出ab≠0，但由ab≠0能推出a≠0，故D正确．故选AD.
10. 充分且不必要条件 若x>y>0，则x2>y2成立，即充分性成立；若x2>y2，例如x＝－2，y＝1满足x2>y2，但xy>0”是“x2>y2”的充分且不必要条件．
11. [3，＋∞) 由题意，得a>0，由不等式|x|12. (－∞，0] 当a≤0时，不等式|x－2|0时，因为|x－2|13. (1) 当a＝1时，A＝{x|0≤x≤2}，
所以A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2) 因为“x∈B”是“x∈A”的必要条件，所以A B.
由题意，得A≠ ，
所以解得0≤a≤3，
故实数a的取值范围为[0，3].
判断命题充分条件、必要条件的方法：
1. 定义法：若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q且q p，则p是q的充要条件，如本练T1，T4，T6，T7，T9，T10.
2. 等价转化法：p是q的充分条件 q是p的必要条件 q是 p的充分条件 p是 q的必要条件．
3. 集合判断法：利用集合间的包含关系判断，如本练的T2，T3，T5，T8，T11，T12，T13(2).
建立命题p，q对应的集合：p：A＝{x│p(x)成立}，q：B＝{x│q(x)成立}，则
(1) p是q的充分条件 A B；p是q的充分且不必要条件 A?B；
(2) p是q的必要条件 B A；p是q的必要且不充分条件 B?A；
(3) p是q的充要条件 A B且B A(或A＝B).