第8练 基本不等式的证明 考查要点：基本不等式及其证明 建议用时：40＋2分钟 一、 单项选择题 1. “a，b为正数”是“a＋b>2”的( ) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 设0A. aC. a<3. 下列不等式中，恒成立的是( ) A. x＋≥2 B. a＋b≥2 C. ≥ D. a2＋b2≥2ab 4. (2024沛县沛城高级中学调研)近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/kg，b元/kg，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元的猪肉，乙每周购买6 kg猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m1，m2，则下列结论中正确的是( ) A. m1＝m2 B. m1>m2 C. m2>m1 D. m1，m2的大小无法确定 5. (2024淮安期中)已知实数a，b，c满足c－b＝a＋－2，c＋b＝2a2＋2a＋，且a>0，则a，b，c的大小关系是( ) A. b>c>a B. c>b>a C. a>c>b D. c>a>b 6. (2024灌云一中阶段检测)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，CD⊥AB于点C，设AD＝a，BD＝b，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为( ) A. a2＋b2≥2ab B. ≥ C. ≤(a>0，b>0) D. ≥(a>0，b>0) 7. (2024佛山南海石门中学月考)设p：a>0，b>0，则在下列条件中，不能成为p的必要条件的是( ) A. (a＋b)≥4 B. a3＋b3≥2ab2 C. (a＋1)(b＋1)>1 D. a＋b＋1≥＋＋ 二、 多项选择题 8. (2024如东高级中学阶段测试)下列结论中，正确的是( ) A. x2＋≥4 B. ＋的最小值为2 C. 若x<1，则x＋≥3 D. 若2x2＋y2＝1，则＋≥3＋2 9. 下列结论中，正确的是( ) A. 函数y＝的最小值是4 B. 若a，b∈R，且ab>0，则＋≥2 C. 若x∈R，则x2＋3＋的最小值为3 D. 函数y＝2＋x＋(x<0)的最大值为0 三、 填空题 10. (2024淮安楚州中学调研)希罗平均数是两个非负实数的一种平均，若a，b是两个非负实数，则它们的希罗平均数H＝.记A＝，G＝，则A，G，H从小到大的关系为________． 11. 下列推导过程中：①若x>1，则x＋≥2＝2，x＋的最小值为2；②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4；③若a，b∈R，则＋≥2＝2，其中正确的有________．(填序号) 12. (2024无锡天一中学期中)已知a，b，c>0，且(a－b)≥1，则(a2＋b2＋c2)(＋＋)的最小值为________． 四、 解答题 13. 已知正数a，b，c，满足a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9. 第8练 基本不等式的证明 1. D 当a＝b>0时，a＋b＝2，故“a，b为正数”不是“a＋b>2”的充分条件；当a＝1，b＝0时，满足a＋b>2，但不满足a，b为正数，故“a，b为正数”不是“a＋b>2”的必要条件．综上，“a，b为正数”是“a＋b>2”的既不充分又不必要条件． 2. B 因为03. D 对于A，当x<0时，不等式显然不成立，故A错误；对于B，a＋b≥2成立的条件为a≥0，b≥0，故B错误；对于C，当a＝－b≠0时，不等式显然不成立，故C错误；对于D，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，故D正确． 4. C 甲购买猪肉的平均单价为m1＝＝＝，乙购买猪肉的平均单价为m2＝＝，显然m1>0，m2>0，且＝＝＝≤＝1，当且仅当a＝b时，等号成立．因为两次购买的单价不同，即a≠b，所以m15. B 因为a>0，由基本不等式，得c－b＝a＋－2≥2－2＝2－2>0，所以c>b.因为c＋b＝2a2＋2a＋，c－b＝a＋－2，两式相减，得2b＝2a2＋2a＋－a－＋2＝2a2＋a＋2，所以b＝a2＋＋1，所以b－a＝a2－＋1＝＋>0，故b>a，所以c>b>a. 6. A 易得OD≥CD.又OD＝＝，AD·BD＝AB·CD，所以CD＝＝，所以≥，化简，得a2＋b2≥2ab. 7. B 对于A，由a>0，b>0，得(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故能成为p的必要条件；对于B，当a＝，b＝2时，a3＋b3≥2ab2不成立，故不能成为p的必要条件；对于C，因为a>0，b>0，所以a＋1>1，b＋1>1，所以(a＋1)(b＋1)>1，能成为p的必要条件；对于D，由a＋b≥2，a＋1≥2，b＋1≥2，相加，得a＋b＋1≥＋＋，能成为p的必要条件． 8. AD 对于A，x2＋≥2＝4，当且仅当x2＝，即x＝±时，等号成立，故A正确；对于B，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但x2＋5≠1，故B错误；对于C，因为x<1，所以1－x>0，>0，则x＋＝x－1＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时，等号成立，故C错误；对于D，由2x2＋y2＝1，得＋＝(y2＋2x2)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即y2＝x2时，等号成立，故D正确．故选AD. 9. BD 对于A，对于函数y＝，当x<0时，y<0，故A错误；对于B，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a2＝b2时，等号成立，故B正确；对于C，因为x2＋3＋＝x2＋2＋＋1≥2＋1＝3，但x2＋2＝无解，所以等号不成立，故C错误；对于D，因为x<0，所以y＝2＋x＋＝2－[(－x)＋]≤2－2＝0，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，故D正确．故选BD. 10. G≤H≤A 由基本不等式可知，G≤A，当且仅当a＝b时，等号成立．因为H－G＝－＝＝≥0，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，所以H≥G.因为H－A＝－＝＝－≤0，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，所以H≤A.综上，G≤H≤A，当且仅当a＝b时，等号成立． 11. ② ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．因为x>1，所以x＋>2，故①错误；②由x<0，得－x>0，－>0，则x＋＝－[－x＋(－)]≤－2＝－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时，等号成立，故②正确；③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件，当a＝1，b＝－1时，＋＝－2，故③错误．综上，正确命题的序号是②. 12. 因为a，b，c>0，由(a－b)＝4－－＋1≥1，得＋≤4①.又因为＋≥2＝4②，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立，所以由①②可得＋＝4，且a＝2b，所以(a2＋b2＋c2)(＋＋)＝(5b2＋c2)＝＋＋＋1≥＋2＝，当且仅当＝，即2b2＝c2时，等号成立，所以(a2＋b2＋c2)(＋＋)的最小值为. 13. 因为a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2，当且仅当a＝b时，等号成立； ＋≥2，当且仅当a＝c时，等号成立； ＋≥2，当且仅当c＝b时，等号成立， 所以＋＋＋＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，等号成立， 所以＋＋1＋＋＋1＋＋＋1≥9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立， 所以＋＋≥9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 又a＋b＋c＝1， 所以＋＋≥9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．第10练 从函数观点看一元二次方程 考查要点：二次函数的图象，一元二次方程的根，二次函数的零点 建议用时：40＋2分钟 一、 单项选择题 1. 函数y＝x2－4x＋3的零点为( ) A. (1，0) B. (1，3) C. 1和3 D. (1，0)和(3，0) 2. (2024徐州期中)设a∈R，则“a＝－2”是“关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数根”的( ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. (2024南京一中月考)设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则＋的值为( ) A. 2 B. －2 C. D. － 4. (2024响水中学学情分析考试)关于x的一元二次方程x2＋qx＋8－q＝0有两个正实数根，则实数q的取值范围是( ) A. (8，＋∞) B. (－∞，－4) C. (－∞，－4)∪(8，＋∞) D. (－∞，－8) 5. (2024响水清源高级中学学情分析考试)若关于x的一元二次方程ax2－2x－4＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为( ) A. (0，＋∞) B. (2，＋∞) C. (1，＋∞) D. (－1，＋∞) 6. (2024镇江等地区联盟校调研)若二次函数y＝x2－2x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围为( ) A. (－∞，1) B. (－∞，1] C. (1，＋∞) D. [1，＋∞) 7. 关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题．甲：x＝2是该方程的根；乙：x＝1是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，那么该命题是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、 多项选择题 8. (2024常州高级中学期中)关于x的方程mx2＋2x＋1＝0有两个实数解的一个充分条件是( ) A. m≤－1 B. －19. 已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，则下列结论中正确的是( ) A. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0 B. 方程有两个正根的充要条件是0C. 方程无实数根的必要条件是m>1 D. 当m＝3时，方程的两个实数根之和为0 三、 填空题 10. (2024镇江等地区联盟校调研)若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m＝________． 11. (2024徐州期中)已知函数y＝ax2－2x＋1(x∈R)有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a的取值范围为________． 12. (2024沛县沛城高级中学学情调研)已知两个关于x的方程：ax2＋4ax＋4a－3＝0，x2＋(2a－1)x＋a2＝0，至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是________． 四、 解答题 13. (2024徐州高级中学期中)已知命题p：函数y＝x2－5x＋m的两个零点均在区间(0，＋∞)上，命题q：|m－a|<2. (1) 若p是真命题，求实数m的取值范围； (2) 若q是p的充分且不必要条件，求实数a的取值范围． 第10练 从函数观点看一元二次方程 1. C 解方程x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，所以函数y＝x2－4x＋3的零点是1和3. 2. A 由题意，得Δ＝1－4a≥0，解得a≤，显然由a＝－2能推出a≤，但是由a≤不一定能推出a＝－2，所以“a＝－2”是“关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数根”的充分条件． 3. D 由题意，得x1＋x2＝，x1x2＝－，所以＋＝＝－. 4. D 因为一元二次方程x2＋qx＋8－q＝0有两个正实数根，所以解得q<－8.故实数q的取值范围是(－∞，－8). 5. A 因为一元二次方程ax2－2x－4＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以解得a>0.故实数a的取值范围为(0，＋∞). 6. A 因为二次函数y＝x2－2x＋m图象的对称轴为直线x＝1，且函数在区间(1，＋∞)有且仅有一个零点，所以1－2＋m<0，解得m<1，故实数m的取值范围为(－∞，1). 7. B 由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意，故甲、乙命题一真一假．假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，得方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为1和0，此时命题丁为假命题．综上，只有命题乙为假命题，符合题意． 8. AB 因为mx2＋2x＋1＝0有两个实数解，当m＝0时，2x＋1＝0，显然不满足题意；当m≠0时，Δ＝4－4m>0，解得m<1，综上，m<0或09. ABC 对于A，若方程有一个正根和一个负根，则解得m<0；同时当m<0时，方程有一个正根和一个负根，故m<0是方程有一个正根和一个负根的充要条件，故A正确；对于B，若方程有两个正根，则解得01时，方程可能无实数根也可能有实数根，故m>1是方程无实数根的必要条件，故C正确；对于D，当m＝3时，由x2＋3＝0知，方程无实数根，故D错误．故选ABC. 10. 1 由题意，得因为x1＋x2＝1－x1x2，所以2m＝1－(m2－m－1)，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.又因为Δ＝(2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，解得m≥－1，所以m＝1. 11. (0，1) 因为函数y＝ax2－2x＋1(x∈R)有两个零点，一个大于1另一个小于1，又f(0)＝1>0，所以a≠0，所以当a>0时，a－2＋1<0，解得00，无解．综上，实数a的取值范围为(0，1). 12. R 当ax2＋4ax＋4a－3＝0有实数根时，解得a>0；当x2＋(2a－1)x＋a2＝0有实数根时，(2a－1)2－4a2≥0，解得a≤.因为两个方程至少有一个方程有实根，所以实数a的取值范围是R. 13. (1) 因为函数y＝x2－5x＋m的两个零点均在区间(0，＋∞)上， 所以解得0故实数m的取值范围为. (2) 因为|m－a|<2，所以a－2因为q是p的充分且不必要条件， 所以且两等号不同时成立， 所以2≤a≤， 故实数a的取值范围为.第7练 不等式的基本性质 考查要点：不等式的基本性质，比较数或式的大小，证明不等式 建议用时：40＋2分钟 一、 单项选择题 1. 已知－1A. b2. 设P＝，Q＝－，R＝－，则P，Q，R的大小关系是( ) A. P>Q>R B. P>R>Q C. R>P>Q D. Q>R>P 3. 若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( ) A. > B. a＋>b＋ C. a－>b－ D. > 4. 若实数x，y满足则2x＋y的取值范围是( ) A. [1，＋∞) B. [3，＋∞) C. [4，＋∞) D. [9，＋∞) 5. (2024连云港新海高级中学月考)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两个人步行速度、跑步速度均相同，步行速度小于跑步速度，那么下列结论中正确的是( ) A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两个人同时到教室 D. 谁先到教室不确定 6. (2024海安实验中学期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＞”和“＜”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b为非零实数，且a>b，则下列结论中正确的是( ) A. > B. ab2>a2b C. a2>b2 D. > 7. (2024常熟期中)设a，b，c为实数，且a0，则下列不等式一定成立的是( ) A. < B. > C. < D. > 二、 多项选择题 8. (2024宿迁期末)已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是( ) A. 若ac2>bc2，则a>b B. 若a>b，则a2>b2 C. 若aab D. 若a>b>1，则a－>b－ 9. (2024南通期末)若a>b>0，c>d>0，则下列结论中正确的是( ) A. a－c>b－d B. a(a＋c)>b(b＋d) C. < D. < 三、 填空题 10. 已知b g糖水中含有a g糖(b＞a＞0)，再添加n g糖(n＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式________． 11. (2024南京中华中学学情调研)已知a>0，m＝－，n＝－，则m与n的大小关系为________． 12. 若－10＜a＜b＜8，则a－b的取值范围是________，|a|＋b的取值范围是________． 四、 解答题 13. 对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称(x，y)是(z，w)的“下位序列”． (1) 对于2，3，7，11，试问(2，7)是否为(3，11)的“下位序列”； (2) 设a，b，c，d均为正数，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系． 第7练 不等式的基本性质 1. D 因为－10，所以b2. B 因为P－R＝－(－)＝2－＝－>0，所以P>R.因为R－Q＝－－(－)＝(＋)－(＋)，又(＋)2＝9＋2，(＋)2＝9＋2，>，所以＋>＋，所以R>Q.综上，P>R>Q. 3. C 对于A，因为a>b>0，所以<，故A错误；对于B，因为a＋－＝(a－b)是否大于0无法判断，故B错误；对于C，因为a>b>0，所以a－－＝(a－b)>0，即a－>b－，故C正确；对于D，因为a>b>0，所以－＝<0，即<，故D错误． 4. A 设2x＋y＝m(x＋y)＋n(5x＋2y)，则解得故2x＋y＝(x＋y)＋(5x＋2y).又所以(x＋y)≥，(5x＋2y)≥，所以2x＋y≥1.故2x＋y的取值范围是[1，＋∞). 5. B 设两个人步行速度、跑步速度分别是为x，y，且00，即t1>t2，所以乙先到教室． 6. D 对于A，－＝，若a>b>0，则b2－a2<0，ab>0，所以<0，即<，故A错误；对于B，ab2－a2b＝ab(b－a)，若a>b>0，则b－a<0，ab>0，所以ab(b－a)<0，即ab2b＝－2，则a20，所以>，故D正确． 7. A 对于A，－＝＝，因为a0，所以b－a>0，c－a>0，所以<0，即<，故A正确；对于B，当a＝－2，b＝－1，c＝1时，＝<＝，故B错误；对于C，因为a.又c>0，所以>，故C错误；对于D，因为a0，所以a2>b2>0，所以<，所以<，故D错误． 8. ACD 对于A，若ac2>bc2，则c2>0，由不等式的基本性质可得a>b，故A正确；对于B，若a>b，取a＝1，b＝－1，则a2＝b2，故B错误；对于C，若aab，故C正确；对于D，因为a>b>1，所以ab>1，a－b>0，所以－＝(a－b)＋(－)＝(a－b)－＝>0，所以a－>b－，故D正确．故选ACD. 9. BCD 对于A，取a＝5，b＝4，c＝3，d＝1，则a－c＝2，b－d＝3，a－cb>0，c>d>0，所以a＋c>b＋d>0，所以a(a＋c)>b(b＋d)，故B正确；对于C，因为a>b>0，c>d>0，所以ac>bd，所以－＝＝>0，即>，故C正确；对于D，－＝.因为a>b>0，c>d>0，所以b－a<0，c－d>0，所以<0，即<，故D正确．故选BCD. 10. ＜ 11. m12. (－18，0) (0，18) 因为a＜b，所以a－b＜0.因为－10＜b＜8，所以－8＜－b＜10.又－10＜a＜8，所以－18＜a－b＜0.因为0≤|a|＜10，所以－10＜|a|＋b＜18.又a0，所以0<|a|＋b<18. 13. (1) 因为2×11>3×7，不满足“下位序列” 的定义， 所以(2，7)不是(3，11)的“下位序列”． (2) 因为a，b，c，d 均为正数，(a，b)是 (c，d)的“下位序列”， 所以ad0. 因为－＝>0， 所以 >. 因为－＝>0， 所以 >， 所以>>. 求代数式取值范围的方法： 利用不等式的性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质有可能会扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，避免错误，如本练的T4.第11练 从函数观点看一元二次不等式 考查要点：一元二次不等式的解法，三个“二次”的关系 建议用时：40＋2分钟 一、 单项选择题 1. (2024溧阳期末)已知集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x>0}，则A∩B等于( ) A. {x|x>2} B. {x|02. (2024苏州十中月考)不等式≤1的解集为( ) A. [－2，3) B. [－2，3] C. (－∞，－2] D. (－∞，－2]∪(3，＋∞) 3. (2024如东高级中学阶段测试)命题“ x∈R，x2－ax＋1<0”为假命题的一个必要且不充分条件是( ) A. a∈[－2，2] B. a∈(－2，1) C. a∈[－2，3] D. a∈(－2，3) 4. (2024常州北郊高级中学阶段调研)下列四个不等式中，解为一切实数的是( ) A. x2＋6x＋10≥0 B. x2－2x＋5>0 C.－x2＋x＋1≥0 D. 2x2－3x＋4<0 5. “对所有x∈(1，4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的一个充分且不必要条件可以是( ) A. m<4 B. m>4 C. m≥3 D. m≤3 6. (2024无锡锡东高级中学期中)已知集合A＝，B＝{x|(x－2a)(x－a2－1)<0}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围为( ) A. (2，＋∞) B. [2，＋∞) C. {1}∪[2，＋∞) D. [1，＋∞) 7. (2024响水中学月考)对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出一种解法：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－4，2)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－4，2).类比上述解法，若关于x的不等式ax3＋bx2＋cx＋d>0的解集为(1，4)∪(8，＋∞)，则关于x的不等式＋＋＋d>0的解集为( ) A. (2，8)∪(16，＋∞) B. ∪ C. (1，2)∪(4，＋∞) D. ∪ 二、 多项选择题 8. (2024海安实验中学期中)已知不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－1或x≥3}，则下列结论中正确的是( ) A. a<0 B. a＋b＋c>0 C. c<0 D. cx2－bx＋a<0的解集为 9. (2024江都中学、仪征中学联考)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0}，则下列说法中正确的有( ) A. 当a>0时，若A∩B中恰有一个整数，则a∈ B. 若A∩B＝ ，则a∈ C. 若A∪B＝R，则a∈ D. a∈R，A∩B≠R 三、 填空题 10. (2024泰州期末)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下： x －4 －2 －1 1 2 4 y 6 －4 －6 －4 0 14 则关于x的不等式y<6的解集为________． 11. (2024苏州高新区一中月考)已知全集U＝R，A＝，B＝，则( UA)∩( UB)＝________． 12. (2024连云港新海高级中学月考)若a>1，且不等式x2－x＋4<0的解集中有且仅有四个整数，则实数a的取值范围是________． 四、 解答题 13. (2024无锡锡东高级中学期中)已知关于x的不等式ax2＋2ax＋1≥0对于x∈R恒成立． (1) 求实数a的取值范围； (2) 在(1)的条件下，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0. 第11练 从函数观点看一元二次不等式 1. C 解不等式x2－2x－8<0，得－20}，所以A∩B＝{x|02. A 由≤1，得≤0，所以解得－2≤x<3，所以不等式≤1的解集为[－2，3). 3. C 命题“ x∈R，x2－ax＋1<0”为假命题，即命题“ x∈R，x2－ax＋1≥0”为真命题，则 Δ＝(－a)2－4≤0，解得－2≤a≤2.对于A，“a∈[－2，2]”是命题“ x∈R，x2－ax＋1<0”为假命题的充要条件，故A错误；对于B，因为(－2，1)是[－2，2]的真子集，所以“a∈(－2，1)”是“ x∈R，x2－ax＋1<0”为假命题的一个充分且不必要条件，故B错误；对于C，因为[－2，2]是[－2，3]的真子集，所以“a∈[－2，3]”是 “ x∈R，x2－ax＋1<0”为假命题的一个必要且不充分条件，故C正确；对于D，因为(－2，3)与[－2，2]无包含关系，所以“a∈(－2，3)”是“ x∈R，x2－ax＋1<0”为假命题的一个既不充分又不必要条件，故D错误． 4. A 对于A，因为Δ＝62－4×1×10＝36－40＝－4<0，所以x2＋6x＋10≥0的解集为R，故A正确；对于B，因为x2－2x＋5＝(x－)2>0，所以x2－2x＋5>0的解集为{x|x≠}，故B错误；对于C，－x2＋x＋1≥0可化为x2－x－1≤0，Δ＝1＋4＝5>0，所以x2－x－1≤0的解集为{x|≤x≤}，故C错误，对于D，因为Δ＝32－4×2×4＝9－32<0，所以2x2－3x＋4<0的解集为空集，故D错误． 5. D 由题意，得>m，x∈(1，4]恒成立．因为＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，所以m<4，所以“m≤3”是“m<4”的充分且不必要条件． 6. C 由题意，得A＝{x|－17. B 若关于x的不等式ax3＋bx2＋cx＋d>0的解集为(1，4)∪(8，＋∞)，即解不等式ax3＋bx2＋cx＋d>0可得18.由＋＋＋d>0，得a·＋b·＋c·＋d>0，可得1<<4或>8，则x>0，所以<2x<1或0<2x<，解得00的解集为∪. 8. ABD 因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－1或x≥3}，所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以解得a<0，b＝－2a，c＝－3a>0，故A正确，C错误；因为a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，故B正确；不等式cx2－bx＋a<0可以化为3x2－2x－1<0，解得－9. ABD 由题意，得A＝{x|x<－3或x>1}，B＝{x|a－≤x≤a＋}．当a>0时，若A∩B中恰有一个整数，则2≤a＋<3，解得≤a<，故A正确；若A∩B＝ ，则 解得 －≤a≤0，故B正确；若A∪B＝R，则 即无解，故C 错误；由A＝{x|x<－3或x>1}知， a∈R，A∩B≠R，故D正确．故选ABD. 10. (－4，3) 由已知，得y＝ax2＋bx＋c的图象必过点(2，0)，(1，－4)，(－1，6)，则解得b＝1，a＝1，c＝－6，故y＝x2＋x－6.令f(x)<6，解得－411. [－1，2]∪(12，＋∞) 因为≥4，所以≥0，即≥0，所以≤0，即解得212. (4，5] 由x2－x＋4<0，得(x－a)·<0.由题意，得当12时，a>2>，则不等式的解集为.若满足解集中仅有四个整数，则四个整数为2，3，4，5或1，2，3，4.当四个整数为2，3，4，5时，513. (1) 当a＝0时，不等式1≥0恒成立； 当a≠0时，若不等式ax2＋2ax＋1≥0对于x∈R恒成立， 则解得0综上，实数a的取值范围为[0，1]. (2) 因为x2－x－a2＋a<0，且0≤a≤1， 所以(x－a)[x－(1－a)]<0. ①当1－a>a，即0≤a<时， 则a②当1－a＝a，即a＝时， <0，不等式无解； ③当1－a则1－a综上，当0≤a<时，不等式的解集为{x|a考查要点：基本不等式在最值、实际问题中的综合应用 建议用时：40＋2分钟 一、 单项选择题 1. (2024南通期末)函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. (2024涟水一中月考)已知正数a，b满足ab＝10，则的最大值是( ) A. B. C. D. 3. (2024邯郸期末)已知正实数x，y满足2x＋y＝2，则＋的最小值为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. (2024连云港期末)在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，且＋＝1，则△ABC的面积的最小值为( ) A. 3＋ B. 2 C. 4 D. 8 5. (2024徐州期中)已知a>0，b>0，且a＋2b＝ab，则a＋b的最小值是( ) A. 4 B. 3＋2 C. 16 D. 32 6. (2024宿迁青华中学统测)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A. 16 B. 25 C. 9 D. 36 7. (2024江都中学、仪征中学联考)设0A. 16 B. 2 C. 8 D. 1 二、 多项选择题 8. (2024常州北郊高级中学阶段调研)下列命题中，正确的有( ) A. 的最小值是2 B. 当x>2时，x＋的最小值是4 C. 当0D. 若正数x，y满足＋＝3，则2x＋y的最小值为3 9. (2024盐城五校联盟期末)设a>0，b>0，已知M＝，N＝，则下列说法中正确的是( ) A. M有最小值 B. M没有最大值 C. N有最大值为 D. N有最小值为 三、 填空题 10. (2024苏州学业质量阳光指标调研)已知正数a，b满足＋b＝1，则a＋的最小值为________． 11. (2024灌云一中阶段检测)已知正数x，y，z满足3x＋2y－z＝0，则的最小值为________． 12. (2024淮安期末)已知正数x，y满足x＋3y－－＝6，则x＋3y的最小值是________． 四、 解答题 13. (2024宿迁期末)如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400 m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为1 000元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为400元/m2；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为200元/m2.设AD长为x(单位：m). (1) 用x表示AM的长度，并求x的取值范围； (2) 当AD的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 第9练 基本不等式的应用 1. B 因为x∈(－1，＋∞)，所以x＋1>0，所以f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8，当且仅当4(x＋1)＝，即x＝时，等号成立，故函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为8. 2. A 因为正数a，b满足ab＝10，所以≤＝＝，当且仅当a＝2b，即a＝2b＝2时，等号成立． 3. C 由2x＋y＝2，得＝1，所以＋＝·＝≥(2＋10)＝9，当且仅当＝，即y＝，x＝时，等号成立，所以＋的最小值为9. 4. C 因为a>0，b>0，所以>0，>0，所以＋≥2，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立，所以2≤1，解得ab≥8，所以△ABC的面积S＝ab≥4.故△ABC的面积的最小值为4. 5. B 由a＋2b＝ab，得＋＝1.因为a>0，b>0，所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝1＋，a＝2＋时，等号成立，故a＋b的最小值是3＋2. 6. B 因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋(x＋y)＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋16＝25，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25. 7. C 因为08. BCD 对于A，＝＝＋≥2＝2，因为＝，即x2＋3＝0无解，所以取等条件不成立，故A错误；对于B，当x>2时，x－2>0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立，所以x＋的最小值为4，故B正确；对于C，当00，y>0，＋＝3，所以2x＋y＝(2x＋y)(＋)＝≥(5＋2)＝3，当且仅当＝，即x＝y＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3，故D正确．故选BCD. 9. ABD 因为a>0，b>0，所以M＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故A，B正确；当a>0，b>0时，＝≤，即≤，所以N＝≥，当且仅当a＝b时，等号成立，故C错误，D正确．故选ABD. 10. 9 由题意，得a＋＝＝5＋ab＋≥5＋2＝9，当且仅当ab＝，即a＝6，b＝时，等号成立，所以a＋的最小值为9. 11. 24 因为3x＋2y－z＝0，所以z＝3x＋2y，所以＝＝＝＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当＝时，等号成立．故的最小值为24. 12. 8 由题意设x＋3y＝t>0，则＋＝t－6>0，所以t>6.(x＋3y)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝y＝2时，等号成立，即t(t－6)≥16，解得t≥8或t≤－2(舍去)，故x＋3y的最小值为8. 13. (1) 由题意，得矩形AMQD的面积为， 所以AM＝. 因为AM>0，所以0(2) 由题意，得y＝1 000x2＋400×(400－x2)＋200×4××＝100(＋)＋140 000(0由基本不等式，得y≥100×2＋140 000＝240 000， 当且仅当＝，即x＝4时，等号成立， 所以当x＝4时，总造价最低，最低总造价为240 000元． 1. 应用基本不等式求最值时易忽略“一正、二定、三相等”这三个条件而致错！ 2. 利用基本不等式求最值时常见的凑配技巧：见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值．
