《植树问题》教学设计
教学目标：
1．通过观察、猜测、动手操作、推理等活动，探究棵数与间隔数的关系，构建两端都栽的植树问题数学模型。
2．经历构建植树问题数学模型的过程，渗透“化繁为简”和“一 一对应”的数学思想，培养学生抽象、概括的能力。
3．在解决实际问题的过程中体会数学模型的价值，感受数学与生活的密切联系。
教学重点：发现并理解两端都栽的棵数与间隔数的关系。
教学难点：构建两端都栽的植树问题的模型并解决实际问题。
一：导入
1.师:（PPT五年级同学跳绳比赛的照片）这是我们五年级同学参加学校跳绳比赛的照片，请同学们观察一下第二位同学和第三位同学之间有什么？生：有空隙。
2.师：像这样，与相邻两个同学之间空隙，数学上叫“间隔”
3.数一数，5个同学之间有几个间隔？4个同学之间呢？3个同学之间呢？两个同学呢？4个间隔、3个间隔、2个间隔、1个间隔，这些就是间隔数（板书：间隔数）。
5.师：其实，我们的生活中到处都有间隔，我们教室就有很多间隔，谁能找一找？
6.生：窗户之间、课桌之间、同学之间。师：这几位同学都长有一双非常善于观察的眼睛，掌声鼓励。我们这节课就来研究和间隔有关的数学问题。
【设计意图：使学生通过手，初步认识并理解间隔的意义，初步体验间隔数和手指数之间的关系。然后举例生活中的间隔，进一步认识“间隔”，为后面的学习打下知识基础。】
二：探究新知，构建模型。
（一）理解题意
1.（请看例题）出示例1：同学们在全长20米的马路一边植树，每隔5米栽一棵，一共需要栽多少棵树？
2.下面请一位同学一下这个题：同学们在全长是20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？声音很洪亮，请坐。从题目中你知道了哪些数学信息？生边说，师边用白板批注圈画（全长20米，一边，每隔5米，）
3.“一边”什么意思？(一条路有两边，一边就是只在一边栽树，另一边不栽树。大家理解了吗？理解了。逻辑很清晰，请坐)
4.“每隔5米栽一棵”是什么意思？
使生明确：“每隔5米栽一棵”就是指两棵树之间的间隔长度都是5米。也就是每段长5米，（边说边用两只手比，要求学生同时比）板书（间隔长 每段的长度 ）
5.全长是20米的小路，每隔5米栽一棵树，一共要栽多少棵树？请大家猜一猜。
学生猜测 4棵、 5棵、
师： 到底是4棵对，还是5棵对，还是4棵、5棵都对呢？请同学们思考一下 从同学们疑惑的双眼中，我读出了大家求知的渴望，下面让我们小组合作，共同来研究解决这个问题！
（二）小组合作，借助画图，初步建立模型
活动一：小组合作
说：说把自己的想法在小组内说一说
画：把自己的想法在线段图上画一画
想：还有其他不同的栽法吗？
师：请同学们大声地读一读。大家的声音非常洪亮。现在请同学们从抽屉里拿出学习单，开始完成活动一：小组合作。（5分钟）
师：从同学们端正的坐姿能看出来大家都已经完成了任务，在同学们的操作中，我发现了3种不同的栽法，并把他们请到了讲台上。请第一种栽法的同学展示你的作品，并用老师的小树苗栽一栽，边栽边向同学们讲解你的栽法（第二种、第三种....）板书
生：我栽的是4棵树，我们可以在开头栽一棵，然后每个点也栽一棵，因为20÷5，我们得出来的是4，我们不一定要在尾加里加1棵树，所以我觉得应该是栽4棵，大家同意我的栽法吗？同意，我不同意。我觉得应该栽到后面，你来前面摆一下，（把起点的小树摆到了末尾），你栽的也对，但你的栽法和我的栽法其实是一样的，我是把小树栽到了前面，你是把小树栽到了末尾，咱俩的栽的正好是调了个（打手势）。师：听明白了吗？好，请回。大家听明白了吗？感谢小焦老师精彩的讲解，请回座位。
（第二种栽法）生：我的栽法是那个头和尾都要先栽1棵，然后每隔5米栽一棵，就是5棵了。这种栽法同意吗？语言表达很清晰，来掌声送回座位。（第三种栽法）生：我的栽法是那个头和尾都不栽，然后在中间栽3 棵，这种栽法大家同不同意？请回座位。
师：我们来看这三种栽法， 第一种栽法，这端栽了那端不栽，我给它起个名字叫只栽一端，板书：只栽一端。这种叫只栽一端，那这种呢？（生：就是两端都栽）很好，与只栽一端，形成了对比，板书：两端都栽。最后一种，就是两端不栽，板书：两端不栽。这三种的栽法就是我们今天要学习的植树问题（板书）
师：这三种栽法，我们能用算式表示吗？请同学们在练习本上快速地写一写，（板书）
只栽一端 20÷5=4（棵）
两端都栽 20÷5＋1=5（棵）
两端不栽 20÷5－1=3（棵）
师：同学们真能干，不光能画还会列式计算，三种栽法不同，列式也不同，但三个不同的算式当中都有一个相同的算式，那就是20÷5，请问20÷5=4的含义是什么？（生：20÷5=4求得是他们的间隔数）师：同不同意，来我们一起来看20÷5其实求的是20里面有几个5，我们数一数好吧，一个5、两个5、三个5、四个5，一个5米就相当一个间隔对吧，四个5米就是4个间隔。
师：我们来看20÷5=4这个算式，20米是什么？（全长）5米呢？4我们大家刚刚分析了是间隔数。这样我们就得到了求见个数的公式：全长÷间隔长=间隔数 （板书）
师：从刚才的分析知道20÷5明明求的是4个间隔，那怎么等于4棵树了呢？谁能解释一下？好，看起来有一定的难度，大家都很疑惑，没关系，请看大屏幕，为了便于研究老师把三种栽法用线段图表示了出来，我们看第一种栽法只栽一端，大家看第一棵树的后面，第一棵树的后面，紧跟着一个间隔，第二棵树后面又紧跟着一个间隔，现在我们把每棵树与每棵树后面的间隔合起来，请举起你的右手，我们一起来数一数，树—间隔、树—间隔、树—间隔、树—间隔，哦，一棵树对应一个间隔，我们把这种情况叫做一一对应。有4棵树就有4个间隔，所以棵树=间隔数（板书）。
师：第一种栽法，有棵数=间隔数这种关系，那么，第二种栽法两端都栽，是不是也有棵数=间隔数这种关系呢？让我们大家一起来看一看（出示PPT两端都栽的线段图），请一位同学按照刚才的方法来数一数，（全体学生举起右手跟着一起数）树—间隔、树—间隔、树—间隔、树—间隔，哦多了1棵怎么办？那就加上1呗（在20÷5＋1=5标出），现在，两端都栽这种栽法棵树和间隔数之间的有什么关系，哪位同学能总结一下？哦，都举手了，那就一起说，棵数=间隔数+1，我们的同学真是太聪明了，表扬自己。（板书 棵数=间隔数+1）
师：再接再励，我们来看第三种栽法：两端不栽。哪位同学愿意领着大家数一数，间隔—树、间隔—树、间隔—树、间隔，哦这次是多了1个间隔，怎么办？谁来说一说，棵数=间隔数-1。有没有不同的意见，没有，非常棒。（板书 棵数=间隔数-1）
师：今天我们研究的是在一条线段上植树，有三种不同的情况，而每种情况对应的棵数和间隔数数之间的关系也不同。我们把这类问题称为植树问题（板书）。
【设计意图：学生通过猜测，画图验证，汇报交流的过程中，体会“化繁为简”“一一对应”的数学思想，构建起两端都栽的植树问题的模型】
三：运用模型，解决实际问题
（活动二） 学以致用
师：我们大家一起找到了植树问题的规律，现在老师把例1拓展一下，同学们会做吗？请同学们拿出学习单，完成活动二。
1.指名生展示，注意纠错。（算式单位）
2.拓展成求两边种树，开阔学生思路
师：同学们真棒!老师给同学们点赞（老师竖起大拇指）
（活动三） 拓展应用
师：植树问题是不是一定要植树呢？哦，不一定。那什么样的问题属于植树问题呢？诶，不着急，老师准备了几个生活中的问题，我们来判断一下哪些属于植树问题？
（PPT出示）请同学们来判断下面各题哪些属于植树问题？
1、公园里有32棵树，平均栽成4行，每行栽几棵？
2、在一条全长3km的街道一旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
3、有一根木头长10m，把它平均锯成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共需要几分钟？
4、五路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两个站之间的路程都是1km，一共要设立多少个车站？
师：这几个问题哪些是植树问题呢？请同学们自己读题，同桌可以相互讨论。生：我觉得都是。我觉得第1、3、4题都不是植树问题。我觉得只有第1题不是植树问题。师：对于这4道题现在出现三种不同的看法，好我们大家逐一分析探讨一下，先来看第1题，两种不同的看法，哪一个对？（提问）生：我觉得**是对的。为什么？因为第1题是平均分的问题，师：那我们刚才做的例题，在全长20m小路的一边植树，每隔5m栽一棵，这不是也是平均分吗？生：第1题的平均分是平均分成了4行，而例1的平均分是平均分成了4段（4段也就是4个间隔），大家听懂了吗？懂了。有了间隔才是植树问题，逻辑非常清晰，请坐。好，看第2题，这个题大家没有分歧，都认为是植树问题，快速地在学习单上做一做。（幻灯片展示）预设：3000÷50=60（个） 60+1=61（盏）
3km=3000m 3000÷50=60（段） 60+1=61（盏）
学生展示，师：**做的对不对，有没有问题？
师：第3小题锯木头，也是有两种不同的看法，谁能说一下理由。生：我认为第3小题是植树问题，为什么？因为第3题有一根木头长10m，把它平均锯成5段，5段就是5个间隔，你能到讲台上画一画吗？锯了4次就是5段，这是两端不栽。师：大家同意吗？还有不同的意见吗？思路清晰，语言简洁，请回座位。大家会列算式吗？老师把第3、第4题做为课后作业，放到了学习单最后，请大家课后完成。
师：现在老师回到前面我们提出的问题：那什么样的问题属于植树问题呢？植树问题是研究间隔和对应点之间关系的。
四：课堂小结:本节课你有哪些收获？
师：这节课我们大家有什么收获？生1：我们通过小组合作探索出来了植树问题的三种情况：只栽一端 棵树=间隔数； 两端都栽 棵树=间隔数+1 ；两端不栽 棵树=间隔数-1；生2：还学会了求间隔数的公式：全长÷间隔长=间隔数 。生3：能够判断出来哪类问题是平均分，哪类问题是植树问题。生4：我知道了棵数和间隔数是一一对应的关系。
【设计意图：通过小结，再次巩固所学知识。感受数学与生活的联系，进一步激发学习和探究的兴趣。】
板书设计
植树问题
间隔数 = 总长÷间隔长
只栽一端
棵树=间隔数
10米
两端都栽
棵树=间隔数+1
10米
两端不栽
棵树=间隔数-1
10米(共10张PPT)
人教版五年级上册数学广角
植树问题
间隔
例1：同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
活动（一）：小组合作：
说：把自己的想法在小组内说一说
画：把自己的想法在线段图上画一画
想：还有其它不同的栽法吗？
只栽一端
5米
5米
5米
5米
两端都栽
5米
5米
5米
5米
两端不栽
5米
5米
5米
5米
一一对应
例1
同学们在全长2km的小路 植树，每隔5 m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
2km=2000m
401 × 2=802（棵）
401
802
一 边
两边
2000 ÷ 5=400 400+1=401（棵）
答：一共要栽 棵
判断下面各题，哪些属于植树问题？
1、公园里有32棵树，平均栽成4行，每行栽几棵？
2、马拉松比赛全程约42km，平均每隔3km设置一个饮水服务点（起点不设，终点设），全程一共有多少个饮水服务点？
3、有一根木头长10m，把它平均锯成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共需要几分钟？
4、五路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的距离都是1km，共设有多少个车站？
2、马拉松比赛全程约42km，平均每隔3km设置一个饮水服务点（起点不设，终点设），全程一共有多少个饮水服务点？
42÷3=14(个）
答：全程一共要有14个饮水服务点
3、园林工人有一根木头长10m，把它平均锯成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共需要几分钟？
4、五路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的距离都是1km，一共设有多少个车站？
课后作业
植树问题不一定要与 有关。想一想：什么样的问题是植树问题？
植树问题:是研究间隔和对应点的关系。
本节课你有哪些收获？
只栽一端 棵数=间隔数
两端都栽 棵数=间隔数+1
两端不栽 棵数=间隔数-1
植树问题:是研究间隔和对应点之间关系的
