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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§1.2矩形的性质与判定 1
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）下列说法中正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形 D．矩形的对角线一定互相垂直
解：A. 平行四边形的对角线相等，说法错误，故该选项不符合题意；
B. 对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，故该选项不符合题意；
C. 四条边相等的四边形是菱形，说法正确，故该选项符合题意；
D. 矩形的对角线一定互相垂直，说法错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．（本题6分）如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接交于O，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：B．
3．（本题6分）如图， 在矩形中， 对角线相交于点O，若， 则的长是（ ）
A．2 B． C． D．4
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴,
故选：C．
4．（本题6分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
∴四边形的面积为．
故选：C
5．（本题6分）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点、，连接，则的长（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得：，即．
故选：D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件 ，使．(只填写一个即可)
解：添加，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
7．（本题6分）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是 ．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵平分交于点E，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
8．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、 相交于点E，，，如果轴，那么的长为 ．
解：如图，取的中点，连接，
在中，，，
，
的中点，
，
，
是等边三角形，
，
轴，
，
矩形，
，
是等边三角形，
，
故答案为：2．
9．（本题6分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ．
解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴
∴，
在中，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（本题6分）如图，在矩形中，点、分别在边、上，且．在不添加任何辅助线的情况下，现只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
解：∵四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或或或(一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
故答案为∶ （答案不唯一）．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接．
(1)求证：；
(2)若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由．
（1）证明：在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
在中，，
∵，共线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
12．（本题8分）如图，矩形中，对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，．
(1)求的度数；
(2)求的面积．
（1）解：在矩形中，有，
，
，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
平分，
，则，
，则为等腰三角形，
，
．
（2）解：过点作，如图所示：
，，
，
∵，，
，
的面积．
13．（本题8分）如图，矩形的对角线交于点O，且．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求矩形的面积．
（1）证明：四边形为菱形，理由如下：
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵矩形，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：由（1）知：四边形为菱形，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为．
14．（本题8分）已知，在四边形中，与的平分线分别交边于、两点，交于点．
(1)如图1，若四边形是平行四边形，求证：；
(2)如图2，若四边形是矩形，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰直角三角形．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
∴，
，
，
，
．
（2）解：图中的等腰直角三角形是共 4 个，
理由如下：
∵四边形是矩形，
，
∵平分平分，
，
∴都是等腰直角三角形，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴是等腰直角三角形．
15．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴与轴上，点的坐标为．
(1)当，时，若一次函数的图象平分矩形面积，求的值；
(2)若为矩形内部一点，且的面积与的面积相等，求证：点在上．
（1）解：如图所示，连接，，交于点，则点为矩形的对称中心，
一次函数的图象平分矩形面积，
一次函数的图象经过点，
点的坐标为，
当，时，，
，
把，代入，可得，
解得；
（2）设，则点到轴的距离为，到轴的距离为，
点的坐标为，
，，
又的面积与的面积相等，
，即，
由题可得，解析式为：，
把代入，得，
点在上．
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§1.2矩形的性质与判定 1
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）下列说法中正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．四条边相等的四边形是菱形 D．矩形的对角线一定互相垂直
2．（本题6分）如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题6分）如图， 在矩形中， 对角线相交于点O，若， 则的长是（ ）
A．2 B． C． D．4
4．（本题6分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
5．（本题6分）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点、，连接，则的长（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件 ，使．(只填写一个即可)
7．（本题6分）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是 ．
8．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、 相交于点E，，，如果轴，那么的长为 ．
9．（本题6分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ．
10．（本题6分）如图，在矩形中，点、分别在边、上，且．在不添加任何辅助线的情况下，现只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接．
(1)求证：；
(2)若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由．
12．（本题8分）如图，矩形中，对角线，交于点，平分，交于点，连接，且，．
(1)求的度数；
(2)求的面积．
13．（本题8分）如图，矩形的对角线交于点O，且．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求矩形的面积．
14．（本题8分）已知，在四边形中，与的平分线分别交边于、两点，交于点．
(1)如图1，若四边形是平行四边形，求证：；
(2)如图2，若四边形是矩形，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰直角三角形．
15．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴与轴上，点的坐标为．
(1)当，时，若一次函数的图象平分矩形面积，求的值；
(2)若为矩形内部一点，且的面积与的面积相等，求证：点在上．
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