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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.2矩形的性质与判定 2
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）如图，在矩形中，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵矩形纸片中，，将沿翻折，
，
，
在中，，
，
设，
在中，，
，
解得：，
，
故选：B．
2．（本题6分）如图， 菱形的对角线相交于点O，过点 D作于点 H， 连接， 若，菱形的面积为16，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
解：∵四边形是菱形，
∴；
又的面积为16，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
故选：A．
3．（本题6分）满足下列条件的四边形是矩形的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形
解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意；
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意；
D. 四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．（本题6分）如图，在中，，交于点，添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（ ）
A． B．
C． D．
解：、添加不能判定是矩形，符合题意；
、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，不符合题意；
、∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，不符合题意；
故选：．
5．（本题6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，则四边形为矩形 B．当时，则四边形为矩形
C．当时，则四边形为矩形 D．当时，则四边形为菱形
解：如图，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
当时，，
，
，
，
四边形为矩形，故A选项不符合题意；
当时，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形；故B选项不符合题意；
当时，
，
，
，
四边形为矩形；故C选项不符合题意；
当时，则是等腰直角三角形，
，
但不能证得四边形是平行四边形，
当时，四边形不一定为菱形，故D选项符合题意，
故选：D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．
解：当为直角三角形时，有两种情况：
情况一：当时，图形如下，
∵是折叠得到，
∴，
∵，
∴点三点共线，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
在中有，即，
解得：，
∴；
情况二：当时，图形如下，
此时为正方形，
∴；
综上所述，的长为3或6，
故答案为：3或6．
7．（本题6分）如图，△ABC中，，点D是的中点，，垂足为D，交于E，连接、，如果，，则 ．
解：∵是的中点，，
在中，，
．
故答案为：．
8．（本题6分）下列对矩形的判定：
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形；
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号）
解∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确；
∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确；
∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确；
故答案为：（2）（4）（5）（8）．
9．（本题6分）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形．
解：设经过秒时，四边形是矩形，
由题意得：，
∵，
∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，，
解得，此时，点在点相遇，
∵四边形是平行四边形，，
∴．
①如图1，在点相遇前，即，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
要使平行四边形是矩形，则需，即，
∴，
解得，符合题设；
②如图2，在点相遇后，即，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
要使平行四边形是矩形，则需，即，
∴，
解得，符合题设；
综上，经过或秒时，四边形是矩形，
故答案为：或．
10．（本题6分）如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为 ．
解：，
∴
当时，为矩形，
，
故答案为：．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接．
(1)求证：．
(2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形．
（1）证明：矩形，
∴，．
∴，
∵△ABC沿直线翻折
．
．
，
∴．
∵，
∴，
∴．
．
．
在中，．
在中，．
又，
，
．
．
（2）证明：如图：
沿直线翻折，
．
，
，
，
，，
，
∴．
．
又．
．
，
，．
又，
．
，
∴四边形是平行四边形．
平行四边形是矩形．
12．（本题8分）如图，在四边形中，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长．
（1）证明：，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
是直角三角形，且，
又点是的中点，
．
13．（本题8分）如图，△ABC中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由．
（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是矩形．
理由如下：
∵是的中点，
∴当点是边的中点时，是△ABC的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
14．（本题8分）如图，已知．
(1)证明：．
(2)连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由．
（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：选择条件①，则四边形是菱形．
理由如下：由（1）知，
，
，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
点是对角线，的中点．
，
，即，
四边形是菱形．
选择条件②，则四边形是矩形．
理由如下：由（1）知，
，
，
∴．
又，
四边形是平行四边形，
点是对角线，的中点．
，
，
四边形是矩形．
15．（本题8分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，，，求的长．
（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵平分，
∴．
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.2矩形的性质与判定 2
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）如图，在矩形中，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题6分）如图， 菱形的对角线相交于点O，过点 D作于点 H， 连接， 若，菱形的面积为16，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3．（本题6分）满足下列条件的四边形是矩形的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形
4．（本题6分）如图，在中，，交于点，添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，则四边形为矩形 B．当时，则四边形为矩形
C．当时，则四边形为矩形 D．当时，则四边形为菱形
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．
7．（本题6分）如图，△ABC中，，点D是的中点，，垂足为D，交于E，连接、，如果，，则 ．
8．（本题6分）下列对矩形的判定：
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形；
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号）
9．（本题6分）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形．
10．（本题6分）如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）已知：如图，矩形中，，将△ABC沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接．
(1)求证：．
(2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形．
12．（本题8分）如图，在四边形中，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长．
13．（本题8分）如图，△ABC中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由．
14．（本题8分）如图，已知．
(1)证明：．
(2)连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由．
15．（本题8分）如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，，，求的长．
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