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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.2矩形的性质与判定 3
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（ ）
A．2.5 B． C． D．3
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵对角线分得到的两个角的度数之比是，
∴设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
2．（本题6分）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：过点E作于点P，
在矩形中
，，
∴四边形和四边形为矩形，
又，，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
令，则，
又∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴
解得．
故选：A．
3．（本题6分）如图，在△ABC中，，，，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
解：连接，如图：
，，，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
即，
故选：C．
4．（本题6分）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵，，
，
故选：C．
5．（本题6分）如图，△ABC中，为钝角，以为边向外作平行四边形ABDE，为钝角，连结，．设的面积分别为，则△ABC的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于，
∵平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
故选：C．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，平行四边形中，，，，G是的中点，的延长线与的延长线交于点F，连接．当 时，四边形是矩形，当 时，四边形是菱形．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
当时，平行四边形是矩形，
理由是：过A作于M，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
当时，四边形是菱形，
理由是：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故答案为：3.5；2．
7．（本题6分）如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ．
解：点D，E，F分别是的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
故答案：．
8．（本题6分）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，将沿向上折叠，若点B与点D恰好重合，则的长为 ．
解：过点C作的延长线上，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴在中，，
即，
解得，
故答案为：5
9．（本题6分）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ．
解：作于M，交于N，如图，
则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，
∴，，，，，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：；21．
10．（本题6分）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ．
解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，，
∴平行四边形是菱形．
连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴四边形的面积为；
故答案为：
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图所示，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点F，连接，若，求的长．
（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
是矩形，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
12．（本题8分）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的度数．
（1）证明：，点是的中点，
，，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
∵，，
四边形是平行四边形，
∴，
，，
四边形是矩形，
，
，
点为的中点，，
，
，
，
，
又，
，
，
．
13．（本题8分）如图，在四边形中，，，点E、F、G、H分别是的中点，且四边形是菱形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若菱形的面积为24，四边形的周长为28，求的长．
（1）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵点E、F、G、H分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解；设，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵点E、F、G、H分别是的中点，
∴；
∵四边形的周长为28，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的面积为24，
∴，
∴，
∴，即，
在中，．
14．（本题8分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求的面积．
（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，，，
，，，
四边形是矩形，
，，，，
．
15．（本题8分）已知：点、、、在同一直线上，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形．
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上：满足条件的三角形有，，，．
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§1.2矩形的性质与判定 3
一、选择题（共30分）
1．（本题6分）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（ ）
A．2.5 B． C． D．3
2．（本题6分）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（本题6分）如图，在△ABC中，，，，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
4．（本题6分）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题6分）如图，△ABC中，为钝角，以为边向外作平行四边形ABDE，为钝角，连结，．设的面积分别为，则△ABC的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，平行四边形中，，，，G是的中点，的延长线与的延长线交于点F，连接．当 时，四边形是矩形，当 时，四边形是菱形．
7．（本题6分）如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ．
8．（本题6分）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，将沿向上折叠，若点B与点D恰好重合，则的长为 ．
9．（本题6分）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ．
10．（本题6分）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图所示，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点F，连接，若，求的长．
12．（本题8分）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的度数．
13．（本题8分）如图，在四边形中，，，点E、F、G、H分别是的中点，且四边形是菱形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若菱形的面积为24，四边形的周长为28，求的长．
14．（本题8分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求的面积．
15．（本题8分）已知：点、、、在同一直线上，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形．
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