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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§1.3正方形的性质与判定 1
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）下列命题中，真命题是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．正方形的每一条对角线都平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
2．（本题6分）如图，在正方形中，是的中点，连接，将绕点E逆时针旋转90°得到，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题6分）如图，在边长为6的正方形中，对角线，交于点，点M，N分别在，上，连接，，．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（本题6分）已知一次函数与坐标轴交于点A和点B，如图，以为边作正方形，点C到y轴的距离是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
5．（本题6分）如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ．
7．（本题6分）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ．
8．（本题6分）如图，正方形的对角线和相交于点O，O又是正方形的一个顶点，交AB于点E，交BC于点F．当，可以计算出 ．
9．（本题6分）如图，在正方形中，，P是线段上的动点，于点E，于点F，则 ．
10．（本题6分）如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，且，点F在边上．将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接和．当线段取最小值时的面积是 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
12．（本题8分）如图，正方形的对角线、的交点为O，点E、F分别在、边上，且．
(1)求证：．
(2)若，求阴影四边形的面积．
(3)求证：
13．（本题8分）如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求四边形的面积．
14．（本题8分）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
15．（本题8分）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§1.3正方形的性质与判定 1
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）下列命题中，真命题是（ ）
A．四个角都相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．正方形的每一条对角线都平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
解：四个角都相等的四边形是矩形，该选项命题是假命题，不合题意；
对角线互相垂直的四边形是菱形或一般四边形，该选项命题是假命题，不合题意；
正方形的每一条对角线都平分一组对角，该选项命题是真命题，符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，该选项命题是假命题，不合题意；
故选：．
2．（本题6分）如图，在正方形中，是的中点，连接，将绕点E逆时针旋转90°得到，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接．
∵是的中点．
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
由旋转的性质可知，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（本题6分）如图，在边长为6的正方形中，对角线，交于点，点M，N分别在，上，连接，，．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
解：∵正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4．（本题6分）已知一次函数与坐标轴交于点A和点B，如图，以为边作正方形，点C到y轴的距离是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，点到坐标轴的距离，过点作轴于点，根据正方形的性质得到，，导角可证明，进而证明，得出，，再根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，即可得出点的坐标，最后根据点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值即可得到答案．
【详解】解：过点作轴于点，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，当时，；当时，则，解得，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点的坐标是，
∴点C到y轴的距离是，
故选：C．
5．（本题6分）如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：如图，连接，
，，
，
，
设，则．
为中点，，
，
在中，根据勾股定理，得：，
解得．
则．
故选：B．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接， ．
解：∵四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（本题6分）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ．
解：正方形的边长为，
，
，
，
，
故答案为：．
8．（本题6分）如图，正方形的对角线和相交于点O，O又是正方形的一个顶点，交AB于点E，交BC于点F．当，可以计算出 ．
解：在正方形和中，，，，
，，
．
在和中，
，
．
，
故答案为：8．
9．（本题6分）如图，在正方形中，，P是线段上的动点，于点E，于点F，则 ．
解：在正方形中，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
10．（本题6分）如图，正方形纸片的边长为4，点E在边上，且，点F在边上．将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接和．当线段取最小值时的面积是 ．
解：连接，,,
因为正方形纸片沿对折，点的对应点是点，
所以，，垂直平分．
∵，
故当D、E、G共线时，取最小值．最小值为，
此时，
在正方形中，，，
根据勾股定理，
所以，
又，，则，
那么．
设，则，由折叠可知．
在中，；
在中，．
因为，
所以，
解得：，
即．
则．
故答案为：4．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．（本题8分）如图，正方形的对角线、的交点为O，点E、F分别在、边上，且．
(1)求证：．
(2)若，求阴影四边形的面积．
(3)求证：
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）∵四边形是正方形，，
，
∵，
∴
．
（3）连结，
，
，
∵四边形是正方形，
∴
，
∴，
，
，，
∴，，
∴，
．
13．（本题8分）如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求四边形的面积．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过作于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴四边形的面积．
14．（本题8分）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（1）证明：∵正方形中，点E是边的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵将沿翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，，
在中，，
设，则：，
在和中：，
即：，
解得：；
∴．
15．（本题8分）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
又∵，
在△ADE和中，，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
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