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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.4特殊平行四边形(复习课)
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，E、F、G分别是正方形边、、的中点，交于H点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．（本题3分）如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图所示，在中，，AC=8，CD为中线，延长CB至点E．使，连接DE，F为DE中点，连接BF，若，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．（本题3分）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列命题中，错误的是 （ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．等腰梯形的两条对角线相等 D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
6．（本题3分）直角三角形的两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为（ ）
A． B．5 C．8 D．10
7．（本题3分）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点E，O，则的长为（ ）
A．3.5 B．3 C．2.8 D．2.5
8．（本题3分）如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图所示，等边三角形沿射线向右平移到的位置，连接、，则下列结论：（1）（2）与互相平分（3）四边形是菱形（4），其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）已知菱形的两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为 ．
12．（本题3分）菱形的一个内角是120 ，边长是6cm，则这个菱形的面积是 ．
13．（本题3分）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ．
14．（本题3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4），经过边BC上一点P（4，m）的直线将矩形面积平分，则这条直线的解析式为 ．
15．（本题3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝ °．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，是直角三角形，，分别是的中点，延长到，使.
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，则应为多少度.
17．（本题7分）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使 C，A两点重合，点D落在点G处．已知．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求线段的长．
18．（本题8分）已知：如图，正方形中，点E是边上一点，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．
(1)补全图形：求证：．
(2)以的中点G，连接，猜想的位置关系，并证明．
19．（本题8分）将矩形如图所示放置在第一象限，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点．
(1)填空： ；
(2)设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．
20．（本题8分）如图，在矩形中，点，分别在，上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，四边形是菱形，求长．
21．（本题9分）如图，在平面直角坐标系内，直线与直线相交于点M．点A是直线上一动点，过点A分别作坐标轴的平行线交于点B、D，再过点D作y轴的平行线交于点C，连接．设点A的横坐标为t．
(1)当时，计算线段的长度；
(2)证明：当点A与M不重合时，四边形是矩形；
(3)设四边形的周长为C，当时，求出t的取值范围．
22．（本题9分）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则．
（1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______．
【继续探索】
（2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，
于点M，E，F，N，求证：．
（3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.4特殊平行四边形(复习课)
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，E、F、G分别是正方形边、、的中点，交于H点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
解：①正确；理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵E、F、分别是正方形边、的中点，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
②正确；理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵G是的中点，
∴．
③正确；理由如下：
∵E、F、分别是正方形边、的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴．
④不正确；理由如下：
∵与不平行，
∴，
∴，
正确的是①②③，
故选：A．
2．（本题3分）如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
解：因为四边形为矩形，
所以，
，
，
所以，
所以，
因为
所以
因为，
所以，
故．
故选C．
3．（本题3分）如图所示，在中，，AC=8，CD为中线，延长CB至点E．使，连接DE，F为DE中点，连接BF，若，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
解∵F为DE中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为斜边上的中线，
∴，
在中，
．
故选：D．
4．（本题3分）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
解：∵是正方形，
∴，，
∵三角形是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
5．（本题3分）下列命题中，错误的是 （ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．等腰梯形的两条对角线相等 D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
解：A、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，符合题意；
C. 等腰梯形的两条对角线相等，是真命题，不符合题意；
D. 等腰三角形底边上的中点在顶角的平分线上，所以到两腰的距离相等，是真命题，不符合题意．
故选B．
6．（本题3分）直角三角形的两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为（ ）
A． B．5 C．8 D．10
解：两条直角边的边长分别为6和8，根据勾股定理得：斜边==10，所以，斜边上的中线的长=×10=5．
故选B．
7．（本题3分）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点E，O，则的长为（ ）
A．3.5 B．3 C．2.8 D．2.5
解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵对角线的垂直平分线分别交，于点E，O，
∴，
在中，，
∴，
解得，
故选：D．
8．（本题3分）如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
解 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
(cm2)．
故选:B．
9．（本题3分）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是正方形，
，
是等边三角形，，
，
，
．
故选：C．
10．（本题3分）如图所示，等边三角形沿射线向右平移到的位置，连接、，则下列结论：（1）（2）与互相平分（3）四边形是菱形（4），其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：如图：∵△ABC，△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD
∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°
∴△ACD是等边三角形
∴AD=AC=BC，故①正确；
由①可得AD=BC
∵AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE故四边形ACED是菱形，即③ 正确
∵四边形ABCD是平行四边形，BA=BC
∴.四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC//DE
∴∠BDE=∠COD=90°
∴BD⊥DE，故④正确
综上可得①②③④正确，共4个.
故选D
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）已知菱形的两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为 ．
解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：
面积==4，故答案为：4．
12．（本题3分）菱形的一个内角是120 ，边长是6cm，则这个菱形的面积是 ．
解：作AE⊥BC于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，边长为6cm，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC＝6cm，∠B＝60°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝3cm，AE=BE＝cm，
∴菱形的面积＝BC AE＝6×=（cm2）；
故答案为：cm2
13．（本题3分）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ．
解：连接，
∵正方形的边长为，
∴，，
∵将正方形绕原点顺时针旋转，
∴点的对应点在y轴正半轴上，且，
∴点的坐标为：，
故答案为：
14．（本题3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4），经过边BC上一点P（4，m）的直线将矩形面积平分，则这条直线的解析式为 ．
解：∵矩形OABC的两邻边在坐标轴上，顶点B（6，4），
∴矩形对角线的交点为（3，2），
∵点P（4，m）是BC边上一点，
∴P（4，4），
∵经过矩形对角线交点的直线平分矩形，
∴设过P（4，m）且平分矩形的直线为y＝kx＋b，
把点（4，4），（3，2）代入得 ，
解得 ，
∴这条直线的解析式为y＝2x﹣4．
故答案为y＝2x﹣4．
15．（本题3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝ °．
解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∵CE⊥AD，
∴∠ACE＝∠ACD＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．
∵CE＝BC，
∴∠E＝∠CBE＝45°．
∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故答案为：105．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，是直角三角形，，分别是的中点，延长到，使.
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，则应为多少度.
（1）证明：∵是直角三角形
且是中点，
∴，∴
∵，∴，
∴；
∵是中点，
∴，∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵是菱形，∴，
∵是直角三角形，
∴.
故答案为（1）见解析；（2）.
17．（本题7分）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使 C，A两点重合，点D落在点G处．已知．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求线段的长．
（1）证明：由折叠性质可知，，
由题意可得，
∴．
∴．
∴．
∴是等腰三角形．
（2）解：由折叠可得，设，
则．
∵∠B=90 ，
∴在中，有，
即，解得.
∴．
18．（本题8分）已知：如图，正方形中，点E是边上一点，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接．
(1)补全图形：求证：．
(2)以的中点G，连接，猜想的位置关系，并证明．
（1）解：补全图形如图所示：
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，
∴，
∴，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
取的中点O，连接，
∴，
∴点A，E，D，G在以为直径的同一个圆上，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（本题8分）将矩形如图所示放置在第一象限，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点．
(1)填空： ；
(2)设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．
（1）解：∵点B的坐标为，矩形放置在第一象限，
∴，，，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①当为菱形一边时，，如图所示：
设，
∴，
解得，或（不合题意，舍去），
∴；
②当为菱形一条对角线时，过中点P作交直线于点M，
∴点M的纵坐标为，
∴，
∴，
∴点，
综上，符合条件的点M有两个，其坐标分别为或．
20．（本题8分）如图，在矩形中，点，分别在，上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，四边形是菱形，求长．
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：设，
四边形是矩形，
．
四边形菱形，
，
，
，
，
，．
21．（本题9分）如图，在平面直角坐标系内，直线与直线相交于点M．点A是直线上一动点，过点A分别作坐标轴的平行线交于点B、D，再过点D作y轴的平行线交于点C，连接．设点A的横坐标为t．
(1)当时，计算线段的长度；
(2)证明：当点A与M不重合时，四边形是矩形；
(3)设四边形的周长为C，当时，求出t的取值范围．
（1）解：点在直线上，
当时，，
故点，
轴，则的横坐标相同，且点在直线上，
当时，，
故点，
轴，则的纵坐标相同，且点在直线上，
当时，，
故点，
轴，则的横坐标相同，且点在直线上，
当时，，
故点，
由得：，
在中，，
在中，．
（2）解发：当点与不重合时，由题可得：
，
轴，则的纵坐标相同，且点在直线上，
当时，，解得：，
故点，
轴，则的横坐标相同，且点在直线上，
当时，，解得：
故点，，
．
轴，轴，
，
又，
四边形是平行四边形，
轴，轴，
，
四边形是矩形．
（3）解：由（2）得：四边形是矩形，
，
，
联立方程组：
解得，
∴，
∴当时，四边形不是矩形，
又
，
①当点在点右侧时，即时，，
，
当时，，解得：
．
②当点在点左侧时，即时，，
，
当时，，解得：
．
综上所述：当或时，四边形的周长．
22．（本题9分）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则．
（1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______．
【继续探索】
（2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，
于点M，E，F，N，求证：．
（3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______．
解：（1）∵四边形是正方形，
，，
过点F作于P，连接，
则四边形是矩形，
，，
由翻折知，，则，
∴，
∵，
，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：9；
（2）证明：如图，连接，
正方形是轴对称图形，F为对角线上一点，
，，
又垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由模型呈现知，，
，
；
（3）解：根据题意补全图形如图所示：
连接并延长使得，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
，
，，，则，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由正方形的性质可知，，
，
，，，
则，
是等腰直角三角形，
∵，
∴，则也是等腰直角三角形，则，
．
故答案为：．
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