1.4.2.1　空间中的距离问题-暑期自我训练（含解析）高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1.4.2.1　空间中的距离问题
A级——基础过关练
1．已知平面α的一个法向量为n＝(－1，－2，2)，A(0，1，0)为α内一点，则点P(1，0，1)到平面α的距离为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
2．已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝(1，0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为(　　)
A． B．
C． D．1
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于(　　)
A． B．
C． D．
4．已知直线l的方向向量为a＝(－1，0，1)，点A(1，2，－1)在l上，则点P(2，－1，2)到l的距离为(　　)
A． B．4
C． D．3
5．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0＜λ＜2)，设N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　)
A．λ B．
C．λ D．
6．(多选)下列四个命题中，正确的命题有(　　)
A．若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为
B．若向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)且a⊥b，则m＝－5
C．已知AB为平面α的一条斜线段，点A(1，2，－1)在平面α上，n＝(1，0，1)为平面α的法向量，则点B(2，1，1)到平面α的距离为
D．若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，则α∥β
7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．
8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为________．
9．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
10．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点P到直线EF的距离；
(2)求点D到平面PEF的距离；
(3)求直线AC到平面PEF的距离．
B级——综合运用练
11．(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥底面ABCD，AB＝1，AD＝3，AP＝2，点E在PD上，＝2，点M在棱PB上，则点M到平面ACE的距离可能为(　　)
A． B．
C． D．
12．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，若AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则||＝________，点C到平面AEC1F的距离为________．
13．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点．
(1)求证：平面A1DC1∥平面EFG；
(2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离．
C级——创新拓展练
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
A级——基础过关练
1.【答案】D
【解析】因为＝(1，－1，1)，n＝(－1，－2，2)，所以·n＝－1＋2＋2＝3，|n|＝＝3，则点P到平面α的距离d＝＝1．故选D．
2.【答案】B
【解析】因为＝(－2，0，－1)，n与l垂直，所以点P到l的距离d＝＝＝．故选B．
3.【答案】D
【解析】以D1为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，E(2，1，2)，F(1，2，2)，＝(0，－1，2)，＝(－1，0，2)．设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得n＝(2，2，1)．又因为＝(－2，0，0)，所以点C1到平面B1EF的距离h＝＝．故选D．
4.【答案】C
【解析】因为A(1，2，－1)，P(2，－1，2)，所以＝(－1，3，－3)，则||＝，|·|＝，由点到直线的距离公式得d＝＝．故选C．
5.【答案】D
【解析】以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)．设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，0，2)，所以点M到平面D1EF的距离d＝＝＝．因为N为EM的中点，所以点N到平面D1EF的距离为．故选D．
6.【答案】CD
【解析】对于A，因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则p＝a－2b＋3c，设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以解得x＝－，y＝，z＝3，所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为，故A不正确；对于B，因为向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)，且a⊥b，所以a·b＝－8－2＋2m＝0，解得m＝5，故B不正确；对于C，＝(1，－1，2)，点B到平面α的距离d＝＝＝，故C正确；对于D，两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，因为v＝－2u，所以v∥u，则α∥β，故D正确．故选CD．
7.【答案】
【解析】如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0)．所以＝，＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1)．设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1)．所以点M到平面ACD1的距离d＝＝．
8.【答案】
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，则＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1)．所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．因为平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为．
9.【答案】
【解析】如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，＝(－1，－2，2)．
设P(x，y，z)，＝λ，λ∈[0，1]，则＝(x－1，y－2，z)．所以(x－1，y－2，z)＝λ(－1，－2，2)，解得x＝1－λ，y＝2－2λ，z＝2λ．所以P(1－λ，2－2λ，2λ)．设点P在直线CC1上的射影为Q，得Q(0，2，2λ)，||＝＝，当λ＝时，||min＝．
10.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F．
(1)∵＝，
取a＝＝，u＝＝×＝，
则a2＝，a·u＝．
∴点P到直线EF的距离为＝＝．
(2)∵＝，＝，＝，设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则解得
令x＝2，则n＝(2，2，3)，
∴点D到平面PEF的距离d＝＝＝．
(3)∵AC∥EF，∴直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离．
∵＝，
∴点A到平面PEF的距离d＝＝＝．
∴直线AC到平面PEF的距离为．
B级——综合运用练
11.【答案】BD
【解析】如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，E，所以＝(1，3，0)，＝，＝(－1，0，2)．设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
由得令x＝3，得n＝(3，－1，3)．设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ＝(1－λ，0，2λ)，所以点M到平面ACE的距离d＝＝(λ＋1)．因为0≤λ≤1，所以≤d≤．故选BD．
12.【答案】2　
【解析】如图，以D为原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．设F(0，0，a)，由＝，得(－2，0，a)＝(－2，0，2)，∴a＝2，∴F(0，0，2)，＝(－2，－4，2)，∴||＝2．＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)，设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，由得取z＝1，则n＝，∵＝(0，0，3)，∴点C到平面AEC1F的距离d＝＝．
13.解：(1)∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴连接AC，得EF∥AC．
∵AA1∥CC1，∴ACC1A1是平行四边形．
∴A1C1∥AC．∴EF∥A1C1．
又∵A1C1 平面A1C1D，EF 平面A1C1D，
∴EF∥平面A1C1D．
同理，连接AB1，可得EG∥AB1∥DC1，可得EG∥平面A1C1D．
∵EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面A1C1D∥平面EFG﹒
(2)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，
∴＝(2，0，2)，1＝(0，2，2)，＝(0，1，－2)．
设平面A1DC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即取n＝(1，1，－1)，
则平面A1DC1与平面EFG间的距离为＝＝﹒
C级——创新拓展练
14.解：存在．在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD．
又因为侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PO⊥平面ABCD．
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为．
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则
所以即x0＝y0＝z0，
取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1)．
所以点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，
所以y＝－或y＝(舍去)．
此时AQ＝，QD＝．
所以存在点Q满足题意，此时＝．