1.4.2.2　空间中的夹角问题-暑期自我训练（含解析）高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1.4.2.2　空间中的夹角问题
A级——基础过关练
1．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)
A． B．
C． D．
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　)
A． B．
C． D．
3．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是(　　)
A． B．
C． D．
5．在正四棱锥P－ABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC的中点，则异面直线PE与DB所成的角为(　　)
A． B．
C． D．
6．(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内．下列结论正确的有(　　)
A．直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为
B．||的最大值为2
C．cos ∠A1D1P的取值范围为
D．若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为
7．已知直线l的方向向量为s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(1，2，－3)，则直线与平面夹角的余弦值为________．
8．在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和点(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，那么a＝________．
9．如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且PD＝CD＝4，AD＝2．
(1)求AP与平面CMB所成角的正弦值；
(2)求二面角M－CB－P的余弦值．
B级——综合运用练
11．(多选)如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则(　　)
A．A1D与B1D1是异面直线
B．A1D与EF所成角的大小为45°
C．A1F与平面B1EB所成角的余弦值为
D．二面角C－D1B1－B的余弦值为
12．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．
13．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在棱A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．
C级——创新拓展练
14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，D′O＝．
(1)求证：D′H⊥平面ABCD；
(2)求平面ABD′与平面ACD′夹角的余弦值．
参考答案
A级——基础过关练
1.【答案】B
【解析】y轴的一个方向向量为m＝(0，1，0)，cos 〈m，n〉＝＝＝－，所以〈m，n〉＝，所以y轴与平面α所成角的大小为－＝．
2.【答案】B
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，D1(0，0，2)，F(1，0，0)．所以＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)，所以cos 〈，〉＝＝＝．所以异面直线OE与FD1所成的角的余弦值等于．
3.【答案】A
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．设AA1＝2AB＝2a，则B(a，0，0)，D(0，a，0)，C1(a，a，2a)，C(a，a，0)．所以＝(－a，0，0)，＝(－a，a，0)，＝(0，a，2a)，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝2，则x＝2，z＝－1．所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，2，－1)．设CD与平面BDC1所成的角为α，则sin α＝|cos 〈，n〉|＝＝＝．
4.【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1)．故＝(－1，0，1)，＝．设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则即故x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2，1，2)．而平面ABCD的一个法向量为u＝(0，0，1)，故cos 〈n，u〉＝＝＝．设截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的大小为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n，u〉|，故sin θ＝＝＝．
5.【答案】B
【解析】如图，建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，D(－1，－1，0)，E(0，1，0)，P(0，0，1)．故＝(2，2，0)，＝(0，1，－1)．从而|cos〈，〉|＝＝＝．于是PE与DB所成的角为．
6.【答案】ABC
【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，2，0)，M(0，0，1)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，D1(0，2，2)．对于A，＝(－2，－2，1)，＝(0，0，2)，易知是平面ABCD的一个法向量，设直线CM与平面ABCD所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝，∴cos θ＝，A正确；对于B，∵点P在侧面ABB1A1内，∴设P(a，0，b)，a，b∈[0，2]，则＝(a，－2，b－2)，∴||＝∈[2，2]，即||的最大值为2，B正确；对于C，cos ∠A1D1P＝＝∈，C正确；对于D，∵＝(－2，－2，1)，＝(2－a，0，－b)，D1P⊥CM，∴·＝－2a＋4＋b－2＝0，即b＝2a－2，∴a∈[1，2]，∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥PB，∴S△PBC＝BC·PB＝×2×PB＝，将b＝2a－2代入上式，可得S△PBC＝＝，a∈[1，2]，∴当a＝时，S△PBC取得最小值，最小值为，D错误．故选ABC．
7.【答案】
【解析】设直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈s，n〉|＝＝＝，而θ∈，所以cos θ＝＝＝．
8.【答案】
【解析】平面Oxy的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面α的一个法向量为u＝(x，y，z)，则即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝．而cos 〈n，u〉＝＝．又因为a＞0，所以a＝．
9.【答案】(1，1，1)
【解析】设PD＝a(a＞0)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E，所以＝(0，0，a)，＝．因为cos 〈，〉＝，所以＝a×，所以a＝2，所以点E的坐标为(1，1，1)．
10.解：(1)因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD．
又因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，即PD，AD，CD两两垂直．
所以以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由PD＝CD＝4，AD＝2，得A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，P(0，0，4)，M(1，0，2)，
则＝(－2，0，4)，＝(－2，0，0)，＝(1，4，－2)，设平面CMB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝1，得x1＝0，z1＝2，
所以n1＝(0，1，2)．
所以cos 〈，n1〉＝＝＝，
故AP与平面CMB所成角的正弦值为．
(2)由(1)可得＝(0，4，－4)，设平面PBC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
令y2＝1，得x2＝0，z2＝1，
所以n2＝(0，1，1)，
所以cos 〈n1，n2〉＝＝，
故二面角M－CB－P的余弦值为．
B级——综合运用练
11.【答案】AD
【解析】对于A，由图知A1D与B1D1是异面直线，故A正确；对于B，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，0)，F(0，1，0)，所以＝(－2，0，－2)，＝(－1，－1，0)，设A1D与EF所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为0°＜θ≤90°，所以θ＝60°，故B错误；对于C，由题知平面B1EB的法向量为，因为＝(0，2，0)，＝(－2，1，－2)，设A1F与平面B1EB所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，cos θ＝，故C错误；对于D，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，设平面D1B1B的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则令x1＝1，得m＝(1，－1，0)，设平面D1B1C的法向量为n＝(x2，y2，z2)，＝(－2，0，－2)，则令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)，设二面角C－D1B1－B的平面角为θ，则|cos θ|＝＝＝，又因为θ为锐角，所以cos θ＝，故D正确．故选AD．
12.【答案】　
【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1)．设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，所以cos θ＝＝＝．因为θ∈，所以θ＝．又因为＝(－2，1，0)，设平面A1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则m＝(1，2，3)，平面A1B1C1D1一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成的锐二面角为α，所以cos α＝＝＝．
13.解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8．
因为四边形EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10．
于是MH＝＝6，
所以AH＝10．
以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)，＝(10，0，0)，＝(0，－6，8)．
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的一个法向量，
则即
所以可取n＝(0，4，3)．
又因为＝(－10，4，8)，
所以|cos 〈n，〉|＝＝．
所以AF与平面α所成角的正弦值为．
C级——创新拓展练
14.(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD．
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF．
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H．
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4．
由EF∥AC得＝＝．
所以OH＝1，D′H＝DH＝3．
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，
故D′H⊥OH．
又因为D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，
所以D′H⊥平面ABCD．
(2)解：如图，以H为坐标原点，HF所在直线为x轴，HD所在直线为y轴，HD′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Hxyz．
则H(0，0，0)，A(－3，－1，0)，B(0，－5，0)，C(3，－1，0)，D′(0，0，3)，＝(3，－4，0)，＝(6，0，0)，＝(3，1，3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则
即
所以可取m＝(4，3，－5)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，则
即
所以可取n＝(0，－3，1)．
于是|cos 〈m，n〉|＝＝＝，
因此平面ABD′与平面ACD′夹角的余弦值是．