2.2.1　直线的点斜式方程-暑期自我训练（含解析）高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
2.2.1　直线的点斜式方程
A级——基础过关练
1．直线x＝y－1的斜率为(　　)
A． B．
C．－ D．－
2．在平面直角坐标系中，下列四个结论：
①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
③方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；
④直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0．
其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝(　　)
A．4 B．3
C．1 D．5
4．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．±1
5．已知直线l的方程为y＋1＝2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为(　　)
A． B．2
C．log26 D．0
6．(多选)给出下列四个结论，正确的有(　　)
A．平面直角坐标系中，过点P(2，－1)的所有直线可以用方程y＋1＝k(x－2)表示
B．直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率为－
C．直线x＋3y－1＝0的倾斜角为
D．直线y＝2x－1在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
7．直线y＝2x－4绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°后，所得的直线方程为____________．
8．直线l经过点A(－2，2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为____________．
9．已知直线l：y＋2＝(x＋1)，则直线l的斜率是________，倾斜角是________．
10．求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；
(3)求倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程．
B级——综合运用练
11．(多选)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b可取的值有(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．3
12．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，则直线l1的点斜式方程为____________，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，则直线l2的点斜式方程为____________．
13．已知直线l：y＝ax－＋．
(1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限；
(2)为了使直线l不过第二象限，求a的取值范围．
C级——创新拓展练
14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1．
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
参考答案
A级——基础过关练
1.【答案】A
【解析】将x＝y－1化为斜截式y＝x＋，即该直线的斜率为．
2.【答案】B
【解析】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故①错误；对于②，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故②正确；对于③，方程k＝表示直线y＋1＝k(x－2)去掉点(2，－1)，与方程y＋1＝k(x－2)不表示同一直线，故③错误；对于④，直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故④正确．所以正确的个数为2．
3.【答案】A
【解析】直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，所以2m－1＝7，解得m＝4．
4.【答案】B
【解析】因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1，所以a＝±1．又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a＝－1．
5.【答案】B
【解析】直线l的方程为y＝2x＋4，故a＝2，b＝4，所以logab＝log24＝2．
6.【答案】BC
【解析】对于A，直线x＝2过点P(2，－1)，但不能用方程y＋1＝k(x－2)表示，故A错误；对于B，直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)可化为y＝－x－，则其斜率为－，故B正确；对于C，直线x＋3y－1＝0可化为y＝－x＋，其斜率为－，则倾斜角为，故C正确；对于D，令y＝0，得出x＝，令x＝0，得出y＝－1，则直线y＝2x－1在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－1，故D错误．故选BC．
7.【答案】y＝－(x－2)
【解析】直线y＝2x－4与x轴的交点为(2，0)，所得的直线l2与直线l1：y＝2x－4垂直，所以k2·k1＝－1，即k2·2＝－1，故k2＝－．所以l2的方程为y－0＝－(x－2)，即y＝－(x－2)．
8.【答案】y＝2x＋6
【解析】直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，即所求直线过点(0，6)，直线l又经过点A(－2，2)，所以直线l的斜率为2，所以直线l的斜截式方程为y＝2x＋6．
9.【答案】　
【解析】由题得直线经过定点(－1，－2)，斜率k＝，设直线的倾斜角为α，则tan α＝，由于α∈[0，π)，所以α＝．
10.解：(1)直线的斜率k＝－4，在y轴上的截距b＝7，
所求直线方程为y＝－4x＋7．
(2)直线的斜率k＝0，在y轴上的截距b＝2，
所求直线方程为y＝2．
(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为－．
因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，
所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3．
故所求的直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3．
B级——综合运用练
11.【答案】ABC
【解析】b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，所以b的取值范围是[－2，2]．故选ABC．
12.【答案】y－2＝－(x＋1)　y－2＝－(x＋1)
【解析】直线l1的点斜式方程是y－2＝－(x＋1)．∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°．如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，∴l2的点斜式方程为y－2＝－(x＋1)．
13.(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a，由点斜式方程可知直线l的斜率为a，且过定点A，由于点A在第一象限，所以直线总过第一象限．
(2)解：如图，
直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间，kAO＝＝3，直线AP的斜率不存在，故a≥3．
C级——创新拓展练
14.(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．
(2)解：设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，
需满足即
解得－≤k≤1．
所以实数k的取值范围是．