2.4.2　圆的一般方程-暑期自我训练（含解析）高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
2.4.2　圆的一般方程
A级——基础过关练
1．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a＜1
C．a＞1 D．0＜a＜1
2．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0
3．已知点E(1，0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C． D．2
5．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
C．x2＋y2＋4x－2y＝0 D．x2＋y2－4x＋2y＝0
6．(多选)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m可能的取值为(　　)
A．－1 B．0
C． D．
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________．
8．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则a的取值范围是________．
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则圆C的一般方程为________．
10．已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
B级——综合运用练
11．(多选)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，那么实数a的值可以是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．3
12．在△ABC中，若顶点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是____________；当△ABC的面积最大时，点A的坐标为____________．
13．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
C级——创新拓展练
14．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
参考答案
A级——基础过关练
1.【答案】B
【解析】由D2＋E2－4F＞0，得(2a)2＋(－2)2－4(a2＋a)＞0，即4－4a＞0，解得a＜1．
2.【答案】A
【解析】MN的垂直平分线方程为x＝3．由得所以圆心坐标为(3，1)．又因为r＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0．
3.【答案】A
【解析】方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k＞0，即k＜1；点E在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k＞0，解得k＞，所以k的取值范围为．
4.【答案】A
【解析】圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4)，d＝＝1，解得a＝－．
5.【答案】C
【解析】设直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心C为(－2，1)，由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2，∴半径r＝＝．∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0．
6.【答案】BC
【解析】由题意可得4(m＋3)2＋4×(1－4m2)2－4(16m4＋9)＞0，所以(7m＋1)(m－1)＜0，解得－＜m＜1．故选BC．
7.【答案】(2，－3)
【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心为C(1，－1)．设B(x0，y0)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．
8.【答案】a＜1
【解析】点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4＜0，解得a＜1．
9.【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0
【解析】因为圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心C在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2①，又因为r＝＝，所以D2＋E2＝20②，联立①②可得或又因为圆心在第二象限，所以－＜0，D＞0，所以所以所求的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
10.解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因为圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
所以
设圆与x轴的交点横坐标为x1，x2，它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，得x1＋x2＝－D．
设圆与y轴的交点纵坐标为y1，y2，它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E．
由已知得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0． ③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20．
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．
B级——综合运用练
11.【答案】ACD
【解析】圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1．故选ACD．
12.【答案】x2＋y2＝9(y≠0)　(0，3)或(0，－3)
【解析】线段BC的中点D为原点(0，0)，设A(x，y)(y≠0)，则由距离公式得＝3(y≠0)，即x2＋y2＝9(y≠0)．因为点B(－2，0)，C(2，0)，所以点B，C所在直线的方程为y＝0，|BC|＝4，所以S△ABC＝|BC|×|y|＝2|y|，又因为x2＋y2＝9(y≠0)，所以当△ABC的面积最大时，x＝0，y＝±3，故此时点A的坐标为(0，3)或(0，－3)．
13.解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4，
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)，
由题设知·＝0，即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，(x－1)2＋(y－3)2＝2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2．
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
因为点P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故直线l的方程为y＝－x＋．
又因为|OP|＝|OM|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，
所以S△POM＝××＝．
所以△POM的面积为．
C级——创新拓展练
14.解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，解得－＜t＜1．
(2)由(1)知r＝＝，
∴当t＝∈时，rmax＝，
此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是＋＝．
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9＜0时，点P恒在圆内，
∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜．