2.5.2　圆与圆的位置关系-暑期自我训练（含解析）高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
2.5.2　圆与圆的位置关系
A级——基础过关练
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a等于(　　)
A．1 B．－1
C．±2 D．±1
4．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为(　　)
A． B．
C．2 D．2
6．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
7．若曲线C1：x2＋y2＝5与曲线C2：x2＋y2－2mx＋m2－20＝0(m∈R)相交于A，B两点，且两曲线在A处的切线互相垂直，则m的值是________．
8．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
9．已知圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相交于M，N两点，点P的坐标为(3，－4)，若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为________．
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝36－m，其中m∈R．
(1)如果圆C与圆x2＋y2＝1外切，求m的值；
(2)如果直线x＋y－3＝0与圆C相交所得的弦长为4，求m的值．
B级——综合运用练
11．(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的有(　　)
A．若圆C2与x轴相切，则m＝2
B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在直线的方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0
D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点
12．已知⊙C1：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与⊙C2：x2＋y2＋2x－3＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为________，以线段AB为直径的圆的方程为________．
13．已知以C1为圆心的圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25及其上一点A(2，4)．
(1)设圆C2与x轴相切，与圆C1外切，且圆心C2在直线x＝6上，求圆C2的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆C1相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程．
C级——创新拓展练
14．已知直线l：2x－y＋m－1＝0(m＞0)被圆C：x2＋y2＋my－21＝0截得的弦长为4．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P为圆D：(x－8)2＋y2＝1上一动点，Q为圆C上一动点，点M在直线y＝4上运动，求|MP|＋|MQ|的最小值，并求此时点M的坐标．
参考答案
A级——基础过关练
1.【答案】B
【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝．由于2＜d＜4，所以两圆相交．
2.【答案】C
【解析】r1＝2，r2＝3，圆心距d＝5，由于d＝r1＋r2，所以两圆外切，故公切线有3条．
3.【答案】D
【解析】圆C2：(x－a)2＋y2＝1，因为两圆内切，所以|C1C2|＝r1－r2＝2－1＝1，即|a|＝1，故a＝±1．
4.【答案】C
【解析】圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－3)2＝9，圆心为C1(1，3)，半径r1＝3，圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径r2＝2．因为|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切．作出两圆图象如图所示，所以圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有3条．
5.【答案】C
【解析】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x＋y－15＝0．圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此公共弦长为2＝2．
6.【答案】ABC
【解析】由圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2．分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入，得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2．两式相减，得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以A，B正确．由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以C正确，D不正确．故选ABC．
7.【答案】±5
【解析】由已知可得圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(m，0)，半径r2＝2，|C1C2|2＝r＋r，即m2＝25，故m＝±5．
8.【答案】x＋y－3＝0
【解析】AB的中垂线即为圆C1，圆C2的连心线C1C2所在的直线，又因为C1(3，0)，C2(0，3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0．
9.【答案】(x－5)2＋y2＝20
【解析】把圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相减，可得公共弦MN的方程为x＝1，故M，N两点的坐标为(1，2)，(1，－2)，故要求的圆的圆心C2在x轴上，又因为点P的坐标为(3，－4)，设C2(m，0)，由|C2M|＝|C2P|，求得m＝5，故要求的圆的圆心为C2(5，0)，半径为|C2M|＝，故要求的圆C2的方程为(x－5)2＋y2＝20．
10.解：(1)圆C的圆心为(3，4)，半径为，
若圆C与圆x2＋y2＝1外切，故两圆的圆心距等于两圆的半径之和，
故＝1＋，解得m＝20．
(2)圆C的圆心到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2，
由垂径定理，得2＝()2－d2，解得m＝8．
B级——综合运用练
11.【答案】BD
【解析】因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，解得m＝±2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝＝2＞2＋，两圆相离，故B正确；两圆有公共弦，由两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2，1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5＜11，故点(2，1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．故选BD．
12.【答案】x＋y－1＝0　x2＋(y－1)2＝2
【解析】根据题意，⊙C1：x2＋y2－2x－4y＋1＝0与⊙C2：x2＋y2＋2x－3＝0相交于A，B两点，则有联立得x＋y－1＝0，即直线AB的方程为x＋y－1＝0，则有解得或则A，B的坐标分别为(1，0)和(－1，2)，故以线段AB为直径的圆的圆心为(0，1)，半径r＝|AB|＝，故以线段AB为直径的圆的方程为x2＋(y－1)2＝2．
13.解：(1)因为圆心C2在直线x＝6上，
所以可设C2(6，n)，
因为圆C2与x轴相切，则圆C2为(x－6)2＋(y－n)2＝n2．
又因为圆C2与圆C1外切，圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以|7－n|＝|n|＋5，解得n＝1．
所以圆C2的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1．
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2．
设直线l的方程为y＝2x＋b，
则圆心C1到直线l的距离d＝＝．
则|BC|＝2＝2，
又因为|BC|＝|OA|＝2，
所以2＝2，解得b＝5或b＝－15．
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0．
C级——创新拓展练
14.解：(1)由x2＋y2＋my－21＝0，
得x2＋＝21＋，
所以其圆心为C，半径R＝，
则点C到直线l的距离d＝．
由题意可得，d2＋＝R2，
则＝＋1，解得m＝4或m＝－1(舍去)．
故圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝25．
(2)设圆D关于直线y＝4对称的圆为圆E，则圆E的方程为(x－8)2＋(y－8)2＝1．
设M(x，4)，则当C，E，M三点共线时(如图所示)，|MP|＋|MQ|取得最小值，
且|MP|＋|MQ|的最小值为|CE|－5－1＝－6＝2－6，
此时kCE＝kCM，即＝，
解得x＝，故点M的坐标为．