2025年苏科版七年级数学暑假培优作业01幂的运算（含解析）

作业01 幂的运算
【积累运用】
要点一、同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即(m，n都是正整数)
（2）同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即(m，n，p都是正整数)
（3）同底数幂的乘法法则既可正用也可逆用，逆用时 (m，n都是正整数)
要点二、幂的乘方
（1）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(都是正整数)
（2）幂的乘法运算法则的推广： (，都是正整数)
（3）幂的乘方法则也可以逆用，逆用时(都是正整数)
【注意】
1．“底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m与乘方的指数n相乘．
2．底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
要点三、积的乘方
（1）积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(为正整数)
（2）积的乘方法则的推广： (为正整数)．
（3）积的乘方法则也可以逆用，逆用时(为正整数)
【注意】
1．积的乘方的前提是底数是乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，如．
2．每个因数（式）可以是单项式，也可以是多项式．
3．在进行积的乘方运算时，注意要把底数中的每一个因式分别乘方．
要点四、同底数幂的除法
（1）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(都是正整数)
（2）同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时（都是正整数）
【注意】
1．底数a≠0，因为0不能做除数．
2．运用此法则要注意两点：一是底数相同，二是指数相减．
3．应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式．
要点五、零指数幂
（1）零指数幂：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1；另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有，故．
（2）零指数幂的性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即()
【注意】
1．零指数幂在同底数幂的除法中，是除式与被除式的指数相同时的特殊情况．
2．指数为0，但底数不能为0．
要点六、负整数指数幂
负整数指数幂：（a≠0，p是正整数），任何不等于0的数的-n（n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数．
【注意】
1．负整数指数幂的运算，既可以等于正整数指数幂的倒数，也可以等于倒数的正整数指数幂，即．
2．整数指数幂的运算结果要化成正整数指数幂的形式．
要点七、科学记数法
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，．
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法．
【注意】
1．a值的确定：1≤|a|<10．
2．n值的确定：当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）．
3．若含有计数单位，则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示．
【培优训练】
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一、同底数幂的乘法
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（　　）
A．9 B．27 C． D．
3．若，则 ．
4．已知，，则的值为 ．
5．（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
题型二、幂的乘方
6．一个正方体的棱长是，则体积是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，这三个数按从小到大的顺序排列，为（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为 ．
9．已知：，则， ．
10．已知，．
(1)直接写出结果：______；
(2)求的值．
题型三、积的乘方
11．等于（ ）．
A． B． C． D．
12．的值等于（ ）
A． B．8 C． D．
13．计算： ．
14．，，则 ．
15．计算：
(1)；
(2)．
题型四、同底数幂的除法
16．若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
17．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
18．已知，，求的值为 ．
19．已知，则 ．
20． 已知， （m， n是整数）， 求：
(1)的值：
(2)的值．
题型五、零指数幂
21．计算的结果是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
22．若，则x的值为 ．
23．计算：
题型六、负整数指数幂
24．下列各数中，负数是（ ）
A． B． C． D．
25．将，，这三个数按从小到大的顺序排列，为（ ）
A． B． C． D．
26．计算：的结果为 ．
27．若，则的大小关系为 ．（结果用“>”号连接）
28．计算：
(1)
(2)
题型七、科学记数法
29．“白日不到处，青春怡自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直径约为0.000048米，则数据0.000048用科学记数法表示为 ．
30．截至2025年3月21日，中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是工艺的量产．这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．数据用科学记数法表示为 ．
31．地球上的海洋面积约为361000000km2，则科学记数法可表示为 km2．
32．2024年中国新能源汽车销量有望达到12000000辆．请你将数据12000000用科学记数法表示为 ．
33．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
34．若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
35．若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
36．若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
37．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可以表示为 ．
38．若，，则的值为 ．
39．，则 ．
40．已知，m，n为正整数，则的值为 （用含有a、b的式子表示）．
41．计算：
(1)；
(2)．
42．请运用幂的运算性质解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)计算：．
43．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　）
A． B． C． D．
44．麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道可以求的值．如果知道可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，下列正确的有几个（ ）
；；
；．
A．个 B．个 C．个 D．个
45．对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ．
46．规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ．
47．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______________；
(2)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：设，
，，
，即．
．
结合①，②探索的结论，计算：__________________．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项等知识点，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键．
根据相同底数幂相乘、合并同类项的知识逐项分析即可解答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意；
B、，故该选项是错误的，不符合题意；
C、，故该选项是正确的，符合题意；
D、，故该选项是错误的，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则结合整体代入法，进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
3．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，由已知得到，进而即可解答，熟练利用同底数幂乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
4．
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
5．（1）；（2）
【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解；
（2）根据同底数幂乘法运算计算，即可求解．
【详解】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了幂的乘方运算，正方体的体积公式，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键；
明确正方体的体积公式为，然后将正方体的棱长代入体积公式，根据幂的乘方法则计算即可．
【详解】解:∵正方体棱长，
∴正方体体积是．
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查有理数乘方的应用．本题应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小．
【详解】解析：因为，，，
所以 ，
即．
故选：D．
8．
【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘、幂的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则．
根据同底数幂相乘、幂的乘方进行运算求解即可．
【详解】解：，
，
即，
．
故答案为：．
9．12
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．(1)4
(2)1
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据得出即可；
（2）根据得出，然后根据得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
故答案为：4；
（2）解：∵，
∴，
，
∵，
，
，
．
11．C
【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，能正确根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算是解此题的关键．
根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．
【详解】
，
故选：C．
12．B
【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．根据积的乘方的逆运算解答即可．
【详解】解：．
故选：B
13．##
【分析】本题涉及同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将变形为，然后利用幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
14．
【分析】此题考查了积的乘方，幂的乘方逆用．原式先依据积的乘方计算得，再将，代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键，
（1）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可；
（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可
【详解】（1）解：
（2）解：
16．D
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键．
由可得，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选D．
17．A
【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，关键是灵活应用同底数幂的除法和幂的乘方公式进行变形．根据同底数幂的除法和幂的乘方公式进行转化，再整体代入计算便可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选A．
18．4
【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，同底数幂相除，先根据，，得出，，再把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
19．
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键，逆向运用同底数幂的乘除法法则求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查的是幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用，熟练掌握和灵活运用相关法则是解题的关键；
（1）把化为，再代入计算即可；
（2）把化为，再代入计算即可；
【详解】（1）解：∵， ，
∴；
（2）解：；
21．B
【分析】本题考查了零指数幂，根据任何不等于0的数的0次幂都等．由此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：B．
22．或4
【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方的性质，
根据或或（n为偶数），解答即可．
【详解】解：当，且时，
解得；
当时，；
当时，，不符合题意．
所以x的值是或4．
故答案为：或4．
23．
【分析】本题考查了整式的运算，零指数幂，先根据幂的乘方、积的乘方法则、零指数幂的意义化简，然后合并同类项即可．
【详解】解：原式．
24．C
【分析】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算、零指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意；
故选：C．
25．C
【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：，，
∵
∴
故选：C．
26．
【分析】本题考查了负指数幂和指数幂，首先根据负指数幂和指数幂的法则进行运算可得：原式，再根据有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
27．
【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的特征变正数指数幂后比较大小即可．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
28．(1)
(2)
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键．
（1）根据乘方和零指数幂、负整数指数幂分别进行计算即可得出答案；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的乘法分别进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
29．
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：数据0.000048用科学记数法表示为，
故答案为：．
30．
【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其表示方法，确定的值是关键．
科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
31．3.61×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将361000000用科学记数法表示为3.61×108．
故答案为3.61×108．
32．
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
33．D
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方等知识，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方逐项判断即可，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意；
、，原选项运算错误，不符合题意；
、，原选项运算错误，不符合题意；
、，原选项运算正确，符合题意；
故选：．
34．D
【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，以及积的乘方，根据法则进行计算即可；
【详解】解：原式=
故原式可以被5，7，9整除．
故选：D ．
35．D
【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方．分别计算、、的值：比较大小可得，即可求解．
【详解】解：，，．
，即．
故选：D．
36．A
【分析】本题考查了同底数幂的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
化简得到，即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
37．
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法表示较小数的规则，即确定和的值．
根据科学记数法表示较小数的形式（其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定）来确定，其中n为负整数，据此可得0.00003的科学记数法表示形式，
【详解】0.00003，要使，则，
原数0.00003左边起第一个不为零的数字是3，它前面0的个数是5个，所以，
那么0.00003用科学记数法表示为，
故答案为∶．
38．
【分析】本题考查同底数幂相除、幂的乘方的逆运算，根据题意得出，代入即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
39．
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方等知识点，灵活运用同底数幂的乘除法，幂的乘方的运算法则是解决此题的关键．先将变形成，然后得到，解方程即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
40．
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则的逆耳用是解题的关键．
直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则以及它们运算法则的逆用计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴．
故答案为：．
41．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、整式的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）先计算幂的乘方与积的乘方以及同底数幂相乘，再合并同类项即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
42．(1)
(2)8
【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有xa，xb的形式，再代入进行计算即可；
（2）先把写成，然后利用乘法的运算律和积的乘方法则进行简便计算即可．
本题主要考查了整式和实数的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的的除法法则、幂的乘方法则和积的乘方法则．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：
．
43．C
【分析】本题考查整式混合运算，同底数幂的乘法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握乘方的意义．根据分别求出和，根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：，，
，
故选：C．
44．C
【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，根据新定义及幂的运算法则逐一排除即可，熟记幂的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，原选项正确，符合题意；
∵，，
∴，原选项正确，符合题意；
设，，，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，原选项错误，不符合题意；
设，，，
∴，，，
∴，，
即，，
∴，
∴，
∴，
∴，原选项正确，符合题意；
∴正确，共个，
故选：．
45．0或1
【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键．
根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可．
【详解】根据定义， ．
化简得．
因为，分以下三种情况讨论：
情况一：底数为时
当，即时，指数 ，
根据的任何次幂都为， ，满足等式．
情况二：底数为时
当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去．
情况三：指数为时
当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式．
综上，x的值为0或1．
46．3
【分析】本题考查新定义、幂的运算，根据新定义得出，，，进而可得出答案．
【详解】解：设，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴
故答案为：3．
47．(1)3
(2)①证明见解析；②3
【分析】本题考查幂的运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法运算法则．
（1）根据题意可得，进而求解；
（2）由，，，得，，，得出，从而；
（3）设，，由结论得，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
，
（2）①证明：，，，
，，，
，
，
即：，
；
②解：
，
设，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
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