2025年苏科版七年级数学暑假培优作业04平移（含解析）

作业04 平移
【积累运用】
要点一、平移的定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
【注意】
1． 平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离．
2． 图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
3． 确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可．
要点二、平移的性质
（1）平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
【注意】
1． “连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
2． 要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的．
要点三、利用平移的性质作图
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连：
（1）定：确定平移的方向和距离．
（2）找：找出表示图形的关键点．
（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点．
（4）连：按原图形顺次连接对应点．
【培优训练】
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一、生活中的平移现象
1．下列运动属于平移的是（ ）
A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动
C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动
2．有以下现象：①火车从姜堰运动到上海；②打气简打气时活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中，属于平移的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3．现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成是由平移构成的是（　　）
A． B． C． D．
4．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ．
题型二、图形的平移
5．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
6．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动，下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，下列三角形中，可以由平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，将图形Р平移到图形Q的位置，下列平移步骤正确的是（ ）
A．先向上平移，再向右平移
B．先向下平移，再向右平移
C．先向上平移，再向左平移
D．先向下平移，再向右平移
题型三、利用平移的性质求长度
10．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
11．如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，，则点与点的距离为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．3
12．如图，将沿水平方向向右平移到的位置，若，，则，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为（　　）
A． B．
C． D．
14．如图将沿方向平移得到，若点，之间的距离为，＝，则的长为 ．
题型四、利用平移的性质求面积
15．如图，将长为，宽为的长方形向右平移，得到长方形．则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．60 B．48 C．36 D．24
17．如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是 ．
18．如图，在中，，将沿着方向平移得到．已知，，，，交于点．
(1)求线段的长和的大小．
(2)求图中阴影部分的面积．
19．如图，在中，，，，将向左平移得到，交于点，．
(1) ， ；
(2)直接写出与之间关系；
(3)计算图中阴影部分的面积．
题型五、利用平移解决实际问题
20．小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型（如下图），他们用的铁丝材料（ ）
A．一样多 B．小明多 C．小芳多 D．不能确定
21．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A．140米 B．136米 C．124米 D．100米
22．如图，长方形公园，长，宽．该公园中有3条宽均为1的小路（阴影部分），其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为（ ）
A． B．
C． D．
23．如图，山西某小区准备在一个长为米，宽为米的矩形草坪上修建两条宽为a米的小道，其余部分用来种植花草．
(1)求种植花草的面积；
(2)当时，求种植花草的面积．
24．某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
(1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
(2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长．
题型六、平移（作图）
25．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，将向右平移4个单位得．
(1)画出平移后的；
(2)在平移过程中，线段扫过的面积是__________．
26．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．
(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)连接与，则线段与线段的关系_________．
27．如图，在网格图中，平移使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F．
(1)画出平移后的；
(2)线段与的关系是_______；
(3)求平移前后线段扫过的面积．
28． 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C．
(1)画出平移以后的；
(2)连接，，则这两条线段的关系是 ；
(3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？
29．如图，平移到的位置，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．平移距离为线段的长
30．若将一块长，宽的长方形卡片剪成相同形状大小的两张卡片，可拼成一个长，宽的新长方形，则原长方形的剪切方案为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的向平移到的位置．若，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
32．如图，直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．如图，在三角形中，．将三角形沿向右平移，得到三角形（点在线段上），连接，若要使成立，则的长是（　　）
A． B． C． D．
34．如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为 ．
35．如图所示，将周长为13的沿直角边所在直线向右平移个单位，得到．则有下列结论：①且；②且；③和的周长和为13；④；⑤若，则边扫过的图形的面积为6，以上结论正确的有 ．（填序号）
36．如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置．
(1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长；
(2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值．
37．如图，将延射线的方向平移2个单位到的位置，点，的对应点分别为点．
(1)直接写出图中与相等的线段．
(2)若，则等于___________．
(3)若等于，求的度数．
38．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点位置如图所示．
(1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点，请画出平移后的；
(2)若连接，则这两条线段之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
(3)如果点P是线段的中点，画出平移后点P的对应点Q的位置．（利用网格点和直尺画图）．
39．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，），
(1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ；
(2)如图2，当时，求的度数；
(3)在整个运动中，当时，则的度数为 ．
40．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；
(2)过点作直线．在直线上取点．使
①当时，画出图形，并求出与之间的数量关系；
②直线上有一点，使得，则在点运动的过程中，请你直接写出面积的最大值和此时的度数（用含的式子表示）．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的大小，根据平移的定义，逐一判断，排除错误答案
【详解】解：A、抽屉的拉开，是平移，故选项A符合题意；
B、荡秋千的人的运动路线是曲线，不是平移；
C和D中篮球和乒乓球运动路线是曲线，不是平移，
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了平移在实际当中的运用，判断平移的关键是看图形的方向是否改变，平移不改变方向．根据平移的意义逐一分析即可．
【详解】 解：①火车从姜堰运动到上海不是平移，不符合题意；
②打气筒打气时，活塞的运动是平移，符合题意；
③钟摆的摆动不是平移，不符合题意；
④传送带上，瓶装饮料的移动是平移，符合题意；
∴属于平移的是②④．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可．
【详解】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字可以通过平移得到，
∴“朋”可以通过平移得到．
故选：B．
4．
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象．分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
【详解】解：利用平移的性质得：甲、乙、丙都可以变成边长为a和b的矩形，所用铁丝的长度都为：，
故．
故答案为：．
5．C
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有C选项中的图案可以有平移得到，
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查了平移的性质，图形的形状和大小不发生改变，解题的关键是掌握平移的性质．
根据平移的性质逐项直观判断即可．
【详解】解：根据平移的性质可知，图形的形状和大小不发生改变，
A. 图形的形状和大小均没发生改变，故该选项符合题意；
B.图形的大小发生了变化，故该选项不符合题意；
C.图形是旋转变化，故该选项不符合题意；
D. 图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【详解】解：观察图形可知图案B通过平移后可以得到．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是理解平移的性质，即平移不改变图形的形状，大小和方向．
根据平移性质，逐一分析选项中的三角形与的形状，大小和方向是否一致．
【详解】A、的形状，与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的；
B、与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的；
C、大小和方向与完全相同，是由平移得到的；
D、与相比，方向发生了改变，不是通过平移得到的；
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查了图形的平移，观察图形P和图形Q的位置可知，平移方向为向下和向右，再根据网格中小正方形的边长为确定平移的距离即可得到答案．
【详解】解：由题意得，将图形Р平移到图形Q的位置的平移方式为先向下平移，再向右平移，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键．
由平移的性质得到，又由即可求解．
【详解】解：∵的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的，
，
，
∴，
故选：C．
11．B
【分析】本题考查平移的性质，设，由题意得，根据，，可得，求解即可．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
【详解】解：设，
∵将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴点与点的距离为．
故选：B．
12．B
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
连接，根据平移的性质得，再利用，可计算出，从而得到的长．
【详解】解：如图，连接，
沿水平方向向右平移到的位置，
，
，，，
，
．
故选：B．
13．B
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，利用周长公式结合等量代换即可得出结果．
【详解】解：∵平移，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴四边形的周长为；
故选B．
14．
【分析】本题考查平移的性质．根据平移的性质得到，即可求解．
【详解】解：∵将沿方向平移到， A，D之间的距离为，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．C
【分析】本题考查了平移的性质，由平移可得空白部分长方形的长为，宽为，即得空白部分长方形的面积，进而可求出阴影部分的面积，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：阴影部分的面积为，
故选：C．
16．A
【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图形平移的性质可得，，，
，
，
故选：A．
17．21
【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
根据平移的性质可得，再根据阴影面积等于梯形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：，，
，
∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，
，
，
∴．
故答案为：21．
18．(1)，
(2)
【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质得到，则，根据平移可得，进而根据平行线的性质可得，根据，即可求解；
（2）根据，得到，再根据梯形面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：沿着方向平移得到，
，，，，
，，
，
，
，
，
．
（2）平移，
，
，
　，
， ，，
．
19．(1)3；
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键．
（1）根据平移的性质可得出，，，然后根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质求解即可；
（3）根据平移的性质得出，进而得出 ，然后根据图形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵将向左平移得到，，
∴，，，
∴，
故答案为：3；；
（2）解：根据平移的性质知：，；
（3）解：∵平移，
∴，，
∴
即 ，
20．A
【分析】此题主要考查了平移的应用，考生通过观察、分析识别图形的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定右侧与上侧各边的长相等．首先根据已知图形中两个图形中共同含有的边，再判断形状不同的边的长度即可．
【详解】解：两个图形右侧边与左侧相等，上侧与下侧相等，
即两个图形都可以利用平移的方法变为长为，宽为的长方形，
所以两个图形的周长都为，
所以他们用的周长一样长．
故选：A．
21．B
【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为，进行计算即可．
【详解】解：由图可知，横向距离等于的长，纵向距离等于的2倍，
∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为米；
故选B．
22．B
【分析】本题考查生活中的平移，多项式乘多项式，利用平移法得出种小草部分的长和宽是解题关键．利用平移法可得该公园种小草的部分是长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
【详解】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为，宽为的矩形，
则该公园小草的面积．
故选B．
23．(1)平方米
(2)18平方米
【分析】本题考查多项式与多项式相乘，解题的关键是学会用平移的思想求面积，熟练掌握多项式的乘法运算法则．
（1）利用平移思想结合长方形的面积公式进行求解即可；
（2）把a，b的值代入进而求出答案．
【详解】（1）解：根据题意，得，
平方米．
答：种植花草的面积为平方米；
（2）解：当时，
原式（平方米）．
答：种植花草的面积为18平方米．
24．(1)平方米
(2)108米
【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
（1）结合图形，利用平移的性质求解；
（2）结合图形，利用平移的性质求解．
【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：（平方米）；
（2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为：（米）．
故答案为：108米．
25．(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了作图-平移变换，根据题意作出平移图形是解题的关键．
（1）将分别向右平移4个单位得到点，再顺次连接即可；
（2）由平移后的图形为平行四边形，根据底乘以高即可求解．
【详解】（1）解：即为所作：
（2）解：线段扫过的面积
故答案为：16．
26．(1)画图见解析
(2)平行且相等
【分析】本题考查平移变换以及平移的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出图形位置；
（2）利用平移的性质得出对应点连线的关系即可；
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
；
（2）解：如图，连接与，
线段与线段的关系是：平行且相等；
27．(1)见解析
(2)，
(3)28
【分析】本题考查作图平移变换，平移得性质，解决本题的关键是掌握平移的不变性．
（1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形；
（2）连接、，可得线段与的关系；
（3）用如图所示的长方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解
【详解】（1）解：如图即为平移后的；
（2）解：线段与的关系是：，．
故答案为：，．
（3）解：如图：
线段扫过的面积为：
．
28．(1)见解析
(2)平行且相等
(3)32
【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，图形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质可得答案；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由平移的性质得，，
∴这两条线段的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）解：如图所示，连接
∴线段在平移过程中扫过区域的面积为．
29．D
【分析】本题考查平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，熟练掌握平移性质是解题的关键．根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】解：∵平移到的位置，与、与、与对应点，
，
∴选项A、选项B、选项C正确；
由题意可得平移距离为线段或或的长，
故选项D错误；
故选：D．
30．C
【分析】本题考查图形的拼接和平移，画出剪切后拼成的长方形，求出对应的长和宽即可判断，注意平移后能重合，说明原图上左右和上下对应的线段相等．
【详解】
解：A、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意；
B、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意；
C、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，符合题意；
D、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意；
故选：C．
31．C
【分析】此题主要考查了平移的基本性质，由，推出即可解决问题；
【详解】解：，，
，
，
阴影部分的面积为
故选：C．
32．A
【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移前后得到的对应线段，对应角的性质逐一进行分析即可．
【详解】解：∵直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，
∴，，，
∴故A选项不一定正确．
故选：A
33．A
【分析】本题考查平移的性质，掌握“平移前后对应线段相等”是正确解答的关键．
根据平移的性质可得，，由，得到即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，，
∵，
∴．
故选：A．
34．3
【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，根据题意求出，即可求出．
【详解】解：∵向右平移得到，
∴点A、B、C的对应点分别为D、E、F，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：3
35．①②③
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质即可判断结论①②③；利用平移可得，根据，，即可判断结论④；根据边扫过的图形的面积等于，即可判断结论⑤．解题的关键是掌握平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行（或共线）且相等．
【详解】解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，
∴且；且；，
故结论①②正确；
∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，
∴，，
∴和的周长和为：，
故结论③正确；
∵，
又∵，，
∴，
故结论④错误；
根据平移可知，，
则边扫过的图形的面积为：
，
即边扫过的图形的面积为，
故结论⑤错误；
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
36．(1)20
(2)
【分析】本题考查的是平移的性质，熟记平移的性质是解本题的关键；
（1）如图，连接，根据平移的性质可得，，再进一步求解即可；
（2）如图，作于H，先求解，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可.
【详解】（1）解：如图，连接，
根据平移的性质可知，，
∵的周长为16，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
（2）解：如图，作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴所扫过面积即梯形的面积，
则，
解得：．
答：a的值为．
37．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了平移变换，平行线的性质，正确应用平移的性质是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出相等线段；
（2）直接平移的性质得出的长，进而得出答案；
（3）由平移变换的性质得：，，再根据平行线的性质即可得到∠CFE的度数．
【详解】（1）解：与相等的线段有：；
（2），将沿射线的方向平移个单位到的位置，
，
则．
故答案为：；
（3）由平移变换的性质得：，，
，
，
．
38．(1)见解析
(2)，．
(3)见解析
【分析】本题考查了平移作图，平移的性质、格点作图等；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）先确定点D，E、F的位置，然后连线即可；
（2）根据平移的性质解答即可；
（3）根据网格特点确定即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：由平移的性质可知，，．
故答案为：，．
（3）解：如图，线段是所在矩形的对角线，
∴作出线段是所在矩形的另一对角线，两对角线的交点即为的中点，
∴点Q即为所求．
39．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键；
（1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解；
（2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解；
（3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，
∵的周长为，
∴
∴阴影部分的周长为
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
依题意，，
∴，
（3）解： ∵，设，则
如图，连接，
∵，
∴
∴
解得：
即
故答案为：．
40．(1)见解析
(2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②面积的最大值为，此时的度数为
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．
（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；
②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：补全图形如图所示，
作，
∵将线段沿平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
（2）解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：

，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：
∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是，如图所示：

∴面积的最大值为
由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
答案第1页，共2页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
答案第1页，共2页