2025年苏科版七年级数学暑假培优作业08二元一次方程组的应用（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025年苏科版七年级数学暑假培优作业08二元一次方程组的应用（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-01 13:38:59 | ||
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文档简介
作业08 二元一次方程组的应用
【积累运用】
要点一、由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系；②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系；③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系；④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
要点二、二元一次方程组的应用
（1）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
求解．
检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（2）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
要点三、三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
【培优训练】
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一、列二元一次方程组
1．有苹果只，分给个人，若每人7只，则多出3只；若每人8只，则不足5只，求苹果只数和人数．根据题意，列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”设树的数量为x，乌鸦的数量是y，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．
题型二、方案问题
5．某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（ ）
A．6吨 B．5吨 C．4吨 D．3吨
6．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
7．刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元；
(1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？
(2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．
8．根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
题型三、行程问题
9．小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（ ）
A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米
10．小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，步行的速度为，则小刚乘车的路程和步行的路程分别为（ ）
A． B． C． D．
11．小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？
12．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
题型四、工程问题
13．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（）
A． B． C． D．
14．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
15．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人．
16．巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答）
(2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
题型五、数字问题
17．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将9个数分别填入如表所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列、同一斜对角线上的3个数相加，和都相等，则图中的值是（ ）
4
6
A．0 B．3 C．5 D．7
18．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18，则原数是 （ ）．
A． B． C． D．
19．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数．
20．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数．
题型六、年龄问题
21．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
22．小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
23．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
24．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
题型七、分配问题
25．一批书分给一组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，这批书共有 本．
26．中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶．
27．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
观察发现：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1个竖式无盖铁容器中 4 1
1个横式无盖铁容器中 3 2
(1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张；
(2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
28．甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下：
人数 人 人 人以上
票价 元/人 元/人 元/人
(1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元；
若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览；
(2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数．
题型八、销售利润问题
29．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（ ）
A．200元 B．300元 C．400元 D．500元
30．如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A绣球花、B祥云两种图案组合而成．因制作工艺不同，A，B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元．
31．小甘到文具超市去买文具，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，请你根据下图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
32．扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元．
(1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？
(2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案．
题型九、和差倍分问题
33．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
34．某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错．
A．5 B．4 C．3 D．2
35．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本．
36．连水某校开展读书月活动，现把一堆书分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本．问：有多少名学生？有多少本书？
题型十、几何问题
37．如图，长方形中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，单位：厘米），则图中阴影部分的面积为（ ）
A．82平方厘米 B．64平方厘米 C．60平方厘米 D．54平方厘米
38．如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．48 B．51 C．55 D．56
39．个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图所示，若拼成如图所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．一个小长方形的长为 厘米．
40．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．
题型十一、古代问题
41．《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
42．《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为尺，木长为尺，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
43．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
44．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法．
题型十二、其他问题
45．使的乘积不含和，则p、q的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
46．小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
47．对于实数、规定一个新运算，（、是常数），已知，．
(1)求、的值；
(2)计算的值．
48．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟能把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时开三个排水阀，需要几分钟才能排完水池的水？
49．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
50．如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（ ）
A．，0 B．1， C．，1 D．1，0
51．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
52．甲数 与乙数 的和是23，甲数 与乙数 的和是22，甲乙两数和是
53．两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ．
54．已知，且，那么 ．
55．刀鱼馄饨是靖江特色美食，被誉为“长江第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某饭店推出两种型号的刀鱼馄饨礼盒，上午售出礼盒个、礼盒个，收入元，下午售出礼盒个、礼盒个，收入元；
(1)两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？
(2)清明假期，小张计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（都需要购买），预算为元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．
56．为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
(1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元；
(2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？
(3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果）
57．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ；
58．已知：，，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则，，，中为2的个数是 ．
59．如图所示，已知，，
(1)求证：；
(2)若，，求和的度数．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据苹果的个数为定值，列出方程组即可．
【详解】解：由题意，可列方程组为：；
故选C．
2．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意列出方程组即可，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
【详解】解：设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意可得：
，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解；
【详解】解：设有人，物品价值元，
由题意得，，
故选：D；
4．
【分析】设小长方形长为，宽为，由图1、图2中的数量关系列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设小长方形长为，宽为，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设1辆小货车一次可以运货的质量为x吨，1辆大货车一次可以运货的质量为y吨，根据题意列出方程组，解得x的值即可．
【详解】解：设1辆小货车一次可以运货的质量为x吨，1辆大货车一次可以运货的质量为y吨，
依题意得，
得，
解得，
答：1辆小货车一次可以运货的质量为4吨，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出此时有2种购买方案；当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出此时有2种购买方案．综上，即可得出结论．
【详解】解：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，
根据题意得：，
，
又均为正整数，
或，
此时有2种方案；
当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，
根据题意得：，
，
又均为正整数，
或，
此时有2种方案；
综上所述，此次采购的方案有（种）．
故选：C．
7．(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元
(2)有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用．
（1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出关于m，n的二元一次方程，然后根据、为非负整数，得出，或，即可得出两种方案．
【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，
根据题意，得
解得
答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元；
（2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，
由题意可得：，
∵、为非负整数，
∴，或，，
∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个．
8．任务1：一盒水笔120元，一包笔记本80元；任务2：有三种方案，①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包；③购买水笔2盒，笔记本8包
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键．
任务1：设一盒水笔为元，一包笔记本为元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元建立方程组求解即可；
任务2：设购买水笔盒，购买笔记本包，根据总费用为880元可得方程，求出方程的正整数解即可得到答案．
【详解】解：任务1，设一盒水笔为元，一包笔记本为元，
由题意得，，
解得，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
任务2，设购买水笔盒，购买笔记本包．
由题意得，，
∴，
∵，均为正整数
∴当时，，即购买水笔6盒，笔记本2包．
当时，，即购买水笔4盒，笔记本5包．
当时，，即购买水笔2盒，笔记本8包．
则有三种方案，分别为①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包③购买水笔2盒，笔记本8包；
9．A
【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键．
【详解】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，
则，解得，
两地间的距离为（千米），
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
设小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，根据题意列方程组，
解方程组即可得到答案.
【详解】解：设小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，
根据题意列方程组得：，
解得：，
小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，
故选：B.
11．小红的平均速度是，小丽的平均速度是
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小红的平均速度是，小丽的平均速度是，根据同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；反向跑，那么经过40s两人第一次相遇，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设小红的平均速度是，小丽的平均速度是；
根据题意，得，
解得；
答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是．
12．甲、乙两地的距离为9千米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴甲、乙两地的距离为9千米．
13．A
【分析】本题二元一次方程组的应用，解题的关键是能够根据题意找到两个等量关系，这是列方程的依据．
找到两个等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设一个生手工每天能制作x个零件，一个熟手工每天能制造y个零件，
根据题意得：，
故选A．
14．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，
由题意得，，
解得
∴两个工程队各工作了天，
故选：．
15．调动前甲工地有78人，乙工地有42人
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设调动前甲工地有人，乙工地有人，根据“工程队共有120人，调动之后人数相等”列方程组求解即可．
【详解】解：设调动前甲工地有人，乙工地有人．根据题意，得
，
解得．
答：调动前甲工地有78人，乙工地有42人．
16．(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天
(2)元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，
（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可；
（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．
【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天，
根据题意得：，
解得：．
答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；
（2）解：根据题意得：
元．
答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．
17．C
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解题意，列出等式是解答本题的关键．设其中3个方框中的数分别为a，b，c．根据题意即可列出方程组，再整理，即可解出x的值．
【详解】解：如下表，设其中3个方框中的数分别为a，b，c．
根据题意得，
解得，
∴，
，
，
故选：C
a
4 c
b 6
18．D
【分析】设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，
得，
解得，
∴原数是，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，能正确表示出新数和原数以及方程组是解答的关键．
19．这个两位数为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．
依题意，得：
解得：
答：这个两位数为．
20．原来的两位数是．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键．
根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案．
【详解】解：根据题意设：
个位数字为，十位数字为，
，
解得：，
原来的两位数为：，
答：原来的两位数是．
21．C
【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生，
则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁），
设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，
由题意得：，
解得：，
即爸爸今年的年龄为40岁，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．29
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄 学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁 老师今年的年龄=老师今年的年龄 学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：，
解得：，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
23．今年李老师24岁，该学生13岁
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可．
【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则
相据该学生和李老师的年龄差不变，
可得
解得
答：今年李老师24岁，该学生13岁．
24．大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
25．60
【分析】可设书有x本，学生有y人，根据总本数相等和每人分6本，那么还差6本，如果每个学生分5本，那么还多5本可列出方程组，求解即可．
【详解】解：设书有x本，学生有y人，
根据题意得，
解得，
答：这批书共有60本，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
26．6
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组求解即可.
【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶，
根据题意得：，
解得：，
故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶．
故答案为：6．
27．(1)，
(2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个；
(3)最多可加工铁盒19个．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解；
（2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可；
（3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意得
如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张，
正方形铁片张；
故答案为：，；
（2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得
，
解得
故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得
解得
∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），
9张做正方形铁片可做（片），
剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，
共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片）
∴可做铁盒（个）
答：最多可加工铁盒19个．
28．(1)；；
(2)甲公司有人游览，乙公司有人游览．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
（1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可；
（2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可．
【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元），
，
乙公司人数超过人，
则乙公司游览人数为：（人），
故答案为：；；
（2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，
若时，
根据题意，得，
解得，；
若时，
根据题意，得，
解得，，
甲公司不超过人，
此情况不符合题意，舍去；
答：甲公司有人游览，乙公司有人游览．
29．C
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”列出方程组，解方程组后进一步计算即可得到答案．
【详解】解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，
∵买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，
∴，
解得，
∴打折前每件A商品16元，每件B商品4元，
∵（元），
∴买500件A商品和500件B商品比不打折少花400元；
故选：C．
30．22
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，根据2个A和4个B的成本价为64元，1个A和3个B的成本价为42元列出方程组求出A、B的成本价，进而求出造型3的成本价即可．
【详解】解；设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：造型3的成本是22元．
31．中性笔单价为2元，笔记本单价为6元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案．
【详解】解：设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，
根据题意可知：，
解得：，
答：中性笔单价为2元，笔记本单价为6元．
32．(1)“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元
(2)3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键：
（1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得：
，解得：，
答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元；
（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且；
∴，
∴或或，
故共有3种购买方案：
方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；
方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；
方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只．
33．B
【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：设黑色的有块，白色的有块，
∴，
解得，，
∴白色皮块的块数为，
故选：B ．
34．D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得：
，
解得：，
∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B，
所以，甲车有2箱货物装错．
故选：D．
35．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：设甲原有图书本，乙原有图书本，
根据题意得：，
解得：，
甲原有图书本，
故答案为：．
36．一共有6名学生，28本书
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据该班人数表示出图书数量得出方程组是解题关键．可设有 x 名学生，y本书，根据总本数相等，每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本，可列出方程组，求解即可．
【详解】解：设一共有x名学生，y本书，
依题意得：
解得
答：一共有6名学生，28本书．
37．A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，根据图示列出两个方程．
设小长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意列出方程式，然后分别求出9个小长方形的面积和大长方形的面积，最后作差即可求得答案．
【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米，
根据题意得，
解得：，
则9个小长方形的面积为(平方厘米)，
大长方形的面积为
(平方厘米)，
(平方厘米)，
故阴影部分的面积为82平方厘米．
故选：A．
38．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用。设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得：
，
解得：，
∴，
∴图中阴影部分面积是51．
故选：B．
39．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据两个长方形的长与宽之间的关系找到相等关系，根据相等关系列方程组求解即可．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意可得：，
解方程组可得：，
小长方形的长为．
故答案为： ．
40．
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得：，
解得：，
每个小长方形的面积为，
阴影部分的面积．
41．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设制作大灯盏，小灯盏，由题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设制作大灯盏，小灯盏，
由题意得，，
故选：．
42．A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；
∴；
∵将绳对折再量木，绳缺少1尺，
∴，
∴根据题意可得方程组为，
故选：A．
43．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键．
【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
又∵，
解得：，，
把，代入得，，
故选：B．
44．(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子；
(2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得：
，
解得：，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买m头牛，n只羊，
依题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴，
∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．．
45．C
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则及二元一次方程组的应用，根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键．
根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含项和项就是这两项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出．
【详解】解：，
，
∵的展开式中不含项和项，
∴
解得：
故答案为：C．
46．C
【分析】设小军购买的笔芯支，橡为块，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求解即可．
【详解】设小军购买的笔芯支，橡为块，根据题意，得
,
即,
为正整数,
,
,
故选:C,
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
47．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查定义新运算和解二元一次方程组，看懂定义的运算是解决本题的关键 ．
（1）根据定义的新运算可得方程组，解出方程组即可求出、的值；
（2）根据定义的新运算以及、的值计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
解得：，
，；
（2）
．
48．5分钟
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出等量关系求解是关键．设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，由题意可得：
，
解得：，
设关闭进水阀，打开三个出水管需要b分钟能把水池中的水放完，则
，
，
答：关闭进水阀并且同时开三个排水阀，需要5分钟才能排完水池的水．
49．A
【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组．
【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子，
根据题意可列方程组为：．
故选：A．
50．C
【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选C．
51．B
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若得你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列出方程组即可．
【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得：
；
故选B．
52．54
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲数为x，乙数为y，根据“甲数 与乙数 的和是23，甲数 与乙数 的和是22，”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得：
，
由，得：，
∴，
即甲乙两数和是54．
故答案为：54
53．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，根据经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米列出方程即可
【详解】解：设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，由题意，得
．
故答案为：．
54．1
【分析】本题考查了绝对值、二元一次方程组、代数式求值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的非负性可得，从而可得，代入可得，再根据绝对值的性质可得，，解二元一次方程组可得的值，代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
联立，解得，
∴，
故答案为：1．
55．(1)每盒元 ，每盒元
(2)礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．
（1）设每盒元 ，每盒元，由此列二元一次方程组求解即可；
（2）设礼盒盒、礼盒盒，由此列二元一次方程，分别代值计算，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：设每盒元 ，每盒元，
∴，
解得，，
∴每盒元 ，每盒元；
（2）解：设礼盒盒、礼盒盒，
∴，整理得，，
∴，
∵是正整数，
∴是的倍数，，即，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，共两种方案：礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒．
56．(1)A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元
(2)有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯；
(3)B款加料的奶茶买了8杯
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了268元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元；
（2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得：，
解得：，
、n均为正整数，
，，，，
∴有4种购买方案：
①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；
②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；
③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；
④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯；
（3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，
则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
，，均为正整数，
，
，
解得：，
，，
，
答：B款加料的奶茶买了8杯．
57．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、同底数幂相乘，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再根据同底数幂乘法得出，整体代入计算即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
58．36
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；由完全平方公式化简为，设，，这三个数的个数分别为、、，则有，即可求解；能熟练利用二元一次方程组进行求解是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
设，，这三个数的个数分别为、、，则有，
，
整理得：，
解得：，
，，，中为2的个数是，
故答案为：．
59．(1)见详解
(2)，
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，二元一次方程组的应用．
（1）由，，可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，即可得出．
（2）由平行线的性质可得出，，设，，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵
∴，
∴
设，，
根据，
得
解得：，
∴
答案第1页，共2页
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【积累运用】
要点一、由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系；②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系；③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系；④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
要点二、二元一次方程组的应用
（1）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
求解．
检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（2）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
要点三、三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
【培优训练】
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一、列二元一次方程组
1．有苹果只，分给个人，若每人7只，则多出3只；若每人8只，则不足5只，求苹果只数和人数．根据题意，列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”设树的数量为x，乌鸦的数量是y，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．
题型二、方案问题
5．某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（ ）
A．6吨 B．5吨 C．4吨 D．3吨
6．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
7．刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元；
(1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？
(2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．
8．根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
题型三、行程问题
9．小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（ ）
A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米
10．小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，步行的速度为，则小刚乘车的路程和步行的路程分别为（ ）
A． B． C． D．
11．小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？
12．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离．
题型四、工程问题
13．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（）
A． B． C． D．
14．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
15．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人．
16．巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答）
(2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
题型五、数字问题
17．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将9个数分别填入如表所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列、同一斜对角线上的3个数相加，和都相等，则图中的值是（ ）
4
6
A．0 B．3 C．5 D．7
18．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18，则原数是 （ ）．
A． B． C． D．
19．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数．
20．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数．
题型六、年龄问题
21．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
22．小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
23．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
24．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
题型七、分配问题
25．一批书分给一组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，这批书共有 本．
26．中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶．
27．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
观察发现：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1个竖式无盖铁容器中 4 1
1个横式无盖铁容器中 3 2
(1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张；
(2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
(3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
28．甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下：
人数 人 人 人以上
票价 元/人 元/人 元/人
(1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元；
若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览；
(2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数．
题型八、销售利润问题
29．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（ ）
A．200元 B．300元 C．400元 D．500元
30．如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A绣球花、B祥云两种图案组合而成．因制作工艺不同，A，B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元．
31．小甘到文具超市去买文具，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，请你根据下图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
32．扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元．
(1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？
(2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案．
题型九、和差倍分问题
33．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
34．某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错．
A．5 B．4 C．3 D．2
35．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本．
36．连水某校开展读书月活动，现把一堆书分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本．问：有多少名学生？有多少本书？
题型十、几何问题
37．如图，长方形中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，单位：厘米），则图中阴影部分的面积为（ ）
A．82平方厘米 B．64平方厘米 C．60平方厘米 D．54平方厘米
38．如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．48 B．51 C．55 D．56
39．个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图所示，若拼成如图所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．一个小长方形的长为 厘米．
40．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．
题型十一、古代问题
41．《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
42．《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为尺，木长为尺，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
43．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
44．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法．
题型十二、其他问题
45．使的乘积不含和，则p、q的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
46．小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
47．对于实数、规定一个新运算，（、是常数），已知，．
(1)求、的值；
(2)计算的值．
48．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟能把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时开三个排水阀，需要几分钟才能排完水池的水？
49．某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
50．如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（ ）
A．，0 B．1， C．，1 D．1，0
51．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
52．甲数 与乙数 的和是23，甲数 与乙数 的和是22，甲乙两数和是
53．两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ．
54．已知，且，那么 ．
55．刀鱼馄饨是靖江特色美食，被誉为“长江第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某饭店推出两种型号的刀鱼馄饨礼盒，上午售出礼盒个、礼盒个，收入元，下午售出礼盒个、礼盒个，收入元；
(1)两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？
(2)清明假期，小张计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（都需要购买），预算为元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．
56．为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
(1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元；
(2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？
(3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果）
57．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ；
58．已知：，，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则，，，中为2的个数是 ．
59．如图所示，已知，，
(1)求证：；
(2)若，，求和的度数．
试卷第1页，共3页
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据苹果的个数为定值，列出方程组即可．
【详解】解：由题意，可列方程组为：；
故选C．
2．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意列出方程组即可，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
【详解】解：设树的数量为x，乌鸦的数量是y，依题意可得：
，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解；
【详解】解：设有人，物品价值元，
由题意得，，
故选：D；
4．
【分析】设小长方形长为，宽为，由图1、图2中的数量关系列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设小长方形长为，宽为，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设1辆小货车一次可以运货的质量为x吨，1辆大货车一次可以运货的质量为y吨，根据题意列出方程组，解得x的值即可．
【详解】解：设1辆小货车一次可以运货的质量为x吨，1辆大货车一次可以运货的质量为y吨，
依题意得，
得，
解得，
答：1辆小货车一次可以运货的质量为4吨，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出此时有2种购买方案；当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出此时有2种购买方案．综上，即可得出结论．
【详解】解：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，
根据题意得：，
，
又均为正整数，
或，
此时有2种方案；
当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，
根据题意得：，
，
又均为正整数，
或，
此时有2种方案；
综上所述，此次采购的方案有（种）．
故选：C．
7．(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元
(2)有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用．
（1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出关于m，n的二元一次方程，然后根据、为非负整数，得出，或，即可得出两种方案．
【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，
根据题意，得
解得
答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元；
（2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，
由题意可得：，
∵、为非负整数，
∴，或，，
∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个．
8．任务1：一盒水笔120元，一包笔记本80元；任务2：有三种方案，①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包；③购买水笔2盒，笔记本8包
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键．
任务1：设一盒水笔为元，一包笔记本为元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元建立方程组求解即可；
任务2：设购买水笔盒，购买笔记本包，根据总费用为880元可得方程，求出方程的正整数解即可得到答案．
【详解】解：任务1，设一盒水笔为元，一包笔记本为元，
由题意得，，
解得，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
任务2，设购买水笔盒，购买笔记本包．
由题意得，，
∴，
∵，均为正整数
∴当时，，即购买水笔6盒，笔记本2包．
当时，，即购买水笔4盒，笔记本5包．
当时，，即购买水笔2盒，笔记本8包．
则有三种方案，分别为①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包③购买水笔2盒，笔记本8包；
9．A
【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键．
【详解】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，
则，解得，
两地间的距离为（千米），
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
设小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，根据题意列方程组，
解方程组即可得到答案.
【详解】解：设小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，
根据题意列方程组得：，
解得：，
小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，
故选：B.
11．小红的平均速度是，小丽的平均速度是
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小红的平均速度是，小丽的平均速度是，根据同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；反向跑，那么经过40s两人第一次相遇，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设小红的平均速度是，小丽的平均速度是；
根据题意，得，
解得；
答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是．
12．甲、乙两地的距离为9千米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴甲、乙两地的距离为9千米．
13．A
【分析】本题二元一次方程组的应用，解题的关键是能够根据题意找到两个等量关系，这是列方程的依据．
找到两个等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设一个生手工每天能制作x个零件，一个熟手工每天能制造y个零件，
根据题意得：，
故选A．
14．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，
由题意得，，
解得
∴两个工程队各工作了天，
故选：．
15．调动前甲工地有78人，乙工地有42人
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设调动前甲工地有人，乙工地有人，根据“工程队共有120人，调动之后人数相等”列方程组求解即可．
【详解】解：设调动前甲工地有人，乙工地有人．根据题意，得
，
解得．
答：调动前甲工地有78人，乙工地有42人．
16．(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天
(2)元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，
（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可；
（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．
【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天，
根据题意得：，
解得：．
答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；
（2）解：根据题意得：
元．
答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．
17．C
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解题意，列出等式是解答本题的关键．设其中3个方框中的数分别为a，b，c．根据题意即可列出方程组，再整理，即可解出x的值．
【详解】解：如下表，设其中3个方框中的数分别为a，b，c．
根据题意得，
解得，
∴，
，
，
故选：C
a
4 c
b 6
18．D
【分析】设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，
得，
解得，
∴原数是，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，能正确表示出新数和原数以及方程组是解答的关键．
19．这个两位数为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．
依题意，得：
解得：
答：这个两位数为．
20．原来的两位数是．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键．
根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案．
【详解】解：根据题意设：
个位数字为，十位数字为，
，
解得：，
原来的两位数为：，
答：原来的两位数是．
21．C
【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生，
则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁），
设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，
由题意得：，
解得：，
即爸爸今年的年龄为40岁，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．29
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄 学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁 老师今年的年龄=老师今年的年龄 学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：，
解得：，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
23．今年李老师24岁，该学生13岁
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可．
【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则
相据该学生和李老师的年龄差不变，
可得
解得
答：今年李老师24岁，该学生13岁．
24．大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
25．60
【分析】可设书有x本，学生有y人，根据总本数相等和每人分6本，那么还差6本，如果每个学生分5本，那么还多5本可列出方程组，求解即可．
【详解】解：设书有x本，学生有y人，
根据题意得，
解得，
答：这批书共有60本，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
26．6
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组求解即可.
【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶，
根据题意得：，
解得：，
故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶．
故答案为：6．
27．(1)，
(2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个；
(3)最多可加工铁盒19个．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
（1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解；
（2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可；
（3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意得
如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张，
正方形铁片张；
故答案为：，；
（2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得
，
解得
故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个；
（3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得
解得
∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），
9张做正方形铁片可做（片），
剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，
共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片）
∴可做铁盒（个）
答：最多可加工铁盒19个．
28．(1)；；
(2)甲公司有人游览，乙公司有人游览．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
（1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可；
（2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可．
【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元），
，
乙公司人数超过人，
则乙公司游览人数为：（人），
故答案为：；；
（2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，
若时，
根据题意，得，
解得，；
若时，
根据题意，得，
解得，，
甲公司不超过人，
此情况不符合题意，舍去；
答：甲公司有人游览，乙公司有人游览．
29．C
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”列出方程组，解方程组后进一步计算即可得到答案．
【详解】解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，
∵买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，
∴，
解得，
∴打折前每件A商品16元，每件B商品4元，
∵（元），
∴买500件A商品和500件B商品比不打折少花400元；
故选：C．
30．22
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，根据2个A和4个B的成本价为64元，1个A和3个B的成本价为42元列出方程组求出A、B的成本价，进而求出造型3的成本价即可．
【详解】解；设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：造型3的成本是22元．
31．中性笔单价为2元，笔记本单价为6元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案．
【详解】解：设中性笔单价为x元，笔记本单价为y元，
根据题意可知：，
解得：，
答：中性笔单价为2元，笔记本单价为6元．
32．(1)“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元
(2)3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键：
（1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得：
，解得：，
答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元；
（2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且；
∴，
∴或或，
故共有3种购买方案：
方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；
方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；
方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只．
33．B
【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：设黑色的有块，白色的有块，
∴，
解得，，
∴白色皮块的块数为，
故选：B ．
34．D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得：
，
解得：，
∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B，
所以，甲车有2箱货物装错．
故选：D．
35．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：设甲原有图书本，乙原有图书本，
根据题意得：，
解得：，
甲原有图书本，
故答案为：．
36．一共有6名学生，28本书
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据该班人数表示出图书数量得出方程组是解题关键．可设有 x 名学生，y本书，根据总本数相等，每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本，可列出方程组，求解即可．
【详解】解：设一共有x名学生，y本书，
依题意得：
解得
答：一共有6名学生，28本书．
37．A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，根据图示列出两个方程．
设小长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意列出方程式，然后分别求出9个小长方形的面积和大长方形的面积，最后作差即可求得答案．
【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米，
根据题意得，
解得：，
则9个小长方形的面积为(平方厘米)，
大长方形的面积为
(平方厘米)，
(平方厘米)，
故阴影部分的面积为82平方厘米．
故选：A．
38．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用。设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得：
，
解得：，
∴，
∴图中阴影部分面积是51．
故选：B．
39．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据两个长方形的长与宽之间的关系找到相等关系，根据相等关系列方程组求解即可．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意可得：，
解方程组可得：，
小长方形的长为．
故答案为： ．
40．
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得：，
解得：，
每个小长方形的面积为，
阴影部分的面积．
41．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设制作大灯盏，小灯盏，由题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设制作大灯盏，小灯盏，
由题意得，，
故选：．
42．A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；
∴；
∵将绳对折再量木，绳缺少1尺，
∴，
∴根据题意可得方程组为，
故选：A．
43．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键．
【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
又∵，
解得：，，
把，代入得，，
故选：B．
44．(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子；
(2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得：
，
解得：，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买m头牛，n只羊，
依题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴，
∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．．
45．C
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则及二元一次方程组的应用，根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键．
根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含项和项就是这两项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出．
【详解】解：，
，
∵的展开式中不含项和项，
∴
解得：
故答案为：C．
46．C
【分析】设小军购买的笔芯支，橡为块，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求解即可．
【详解】设小军购买的笔芯支，橡为块，根据题意，得
,
即,
为正整数,
,
,
故选:C,
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
47．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查定义新运算和解二元一次方程组，看懂定义的运算是解决本题的关键 ．
（1）根据定义的新运算可得方程组，解出方程组即可求出、的值；
（2）根据定义的新运算以及、的值计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
解得：，
，；
（2）
．
48．5分钟
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出等量关系求解是关键．设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，由题意可得：
，
解得：，
设关闭进水阀，打开三个出水管需要b分钟能把水池中的水放完，则
，
，
答：关闭进水阀并且同时开三个排水阀，需要5分钟才能排完水池的水．
49．A
【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组．
【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子，
根据题意可列方程组为：．
故选：A．
50．C
【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选C．
51．B
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若得你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列出方程组即可．
【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得：
；
故选B．
52．54
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲数为x，乙数为y，根据“甲数 与乙数 的和是23，甲数 与乙数 的和是22，”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得：
，
由，得：，
∴，
即甲乙两数和是54．
故答案为：54
53．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，根据经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米列出方程即可
【详解】解：设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，由题意，得
．
故答案为：．
54．1
【分析】本题考查了绝对值、二元一次方程组、代数式求值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的非负性可得，从而可得，代入可得，再根据绝对值的性质可得，，解二元一次方程组可得的值，代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
联立，解得，
∴，
故答案为：1．
55．(1)每盒元 ，每盒元
(2)礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．
（1）设每盒元 ，每盒元，由此列二元一次方程组求解即可；
（2）设礼盒盒、礼盒盒，由此列二元一次方程，分别代值计算，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：设每盒元 ，每盒元，
∴，
解得，，
∴每盒元 ，每盒元；
（2）解：设礼盒盒、礼盒盒，
∴，整理得，，
∴，
∵是正整数，
∴是的倍数，，即，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，共两种方案：礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒．
56．(1)A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元
(2)有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯；
(3)B款加料的奶茶买了8杯
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了268元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元；
（2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得：，
解得：，
、n均为正整数，
，，，，
∴有4种购买方案：
①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；
②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；
③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；
④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯；
（3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，
则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
，，均为正整数，
，
，
解得：，
，，
，
答：B款加料的奶茶买了8杯．
57．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、同底数幂相乘，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再根据同底数幂乘法得出，整体代入计算即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
58．36
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；由完全平方公式化简为，设，，这三个数的个数分别为、、，则有，即可求解；能熟练利用二元一次方程组进行求解是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
设，，这三个数的个数分别为、、，则有，
，
整理得：，
解得：，
，，，中为2的个数是，
故答案为：．
59．(1)见详解
(2)，
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，二元一次方程组的应用．
（1）由，，可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，即可得出．
（2）由平行线的性质可得出，，设，，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵
∴，
∴
设，，
根据，
得
解得：，
∴
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