2025年苏科版七年级数学暑假培优作业09一元一次不等式（组）的解法与应用（含解析）

作业09 一元一次不等式（组）的解法与应用
【积累运用】
要点一、不等式的相关概念
（1）不等式：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式．
（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（3）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
【注意】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
（4）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
要点二、不等式的性质
（1）不等式的基本性质：
性质一 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±c＞b±c
性质二 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）
性质三 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）
（2）不等式的变形：两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【注意】
1． 应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2． 不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
要点三、一元一次不等式
（1）定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
（2）解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
要点四、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
要点五、一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
要点六、一元一次不等式的应用
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案．
【注意】
1． 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键．
2． 一元一次不等式组的应用：根据题意构建不等式组，解这个不等式组；由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
【培优训练】
三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型
题型一、不等式的解集
1．下列说法中，正确的是（ ）．
A．方程和不等式的解是一样的
B．不是不等式的解
C．是不等式的一个解
D．是不等式的解集
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．不等式的解集是 D．是不等式的解集
3．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
4．下面各数中，是不等式的解的是（ ）
A． B． C． D．
题型二、不等式的性质
5．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的不等式的解集为，则k的取值范围是 ．
题型三、一元一次不等式的解集
9．关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，若，则x的取值范围是 ．
11．解不等式：．
12．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
题型四、求一元一次不等式的整数解
13．如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．不等式的最大整数解为（ ）
A． B． C． D．
15．解不等式，并写出此不等式的最小整数解．
16．已知关于x的方程的解是非负数．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解．
题型五、由一元一次不等式组的解集求参数
17．关于的不等式组恰好有2个整数解，则满足的范围是（　　）
A． B． C． D．
18．若不等式组无解，则m的值可能（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
19．若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ．
20．若不等式组的解集为，求m的取值范围．
题型六、由不等式组解集的情况求参数
21．如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．若关于x的不等式组的解集为，求的值．
24．已知关于x的不等式组．
(1)当时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来；
(2)若不等式组只有2个整数解，求的取值范围．
题型七、不等式组和方程组相结合的问题
25．若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
26．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ．
27．关于的方程组的解满足为非正数，为正数．
(1)求的取值范围；
(2)已知关于的不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数的值．
28．已知方程组
(1)若原方程组中为非正数，为负数，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若，求的最小的整数解．
题型八、一元一次不等式（组）的实际应用
29．某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元．
(1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？
(2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案．
30．发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同．
(1)求这两种图书的单价；
(2)现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？
31．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2台甲型号手机和1台乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3台甲型号手机和2台乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每台进价为多少元？
(2)若该手机经销商计划用不超过10300元的资金购进甲、乙两种型号的手机共12台进行销售，则甲型号的手机最多只能购进多少台？
32．某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元．
(1)甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？
(2)商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？
题型九、一元一次不等式（组）的几何应用
33．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)①当点在上时，的面积与时间的关系________．
②当的面积时，时间________秒．
(2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由．
(3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由．
34．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．
(1)若，则t的取值范围是 ；
(2)当t为何值时，；
(3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由．
35．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
36．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需___秒；
(2)若的面积为时，求的值；
(3)若的面积大于时，求的取值范围．
37．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
38．已知、为常数，若的解集为，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
39．已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
40．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
41．已知的解集为，则的解集为 ．
42．若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
43．若关于x，y的方程组的解满足，则m的所有非负整数之和为 ．
44．用数轴解不等式组．
45．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)若，求的值；
(2)若x，y均为非负数，求的取值范围；
46．蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元．
(1)求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？
(2)该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？
47．使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”．
例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”．
(1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）；
(2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围；
(3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围．
48．阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？（ ）
A．是 B．不是
(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项．
【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误；
B、是不等式的解，故原说法错误；
C、是不等式的一个解，故原说法正确；
D、不是不等式的解集，故原说法错误；
故选C．
2．A
【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意；
B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意；
C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意；
D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可．
【详解】解：A、中不包含，不符合题意；
B、中不包含，不符合题意；
C、中包含，符合题意；
D、中不包含，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，注意掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，
∴，故该选项不符合题意；
B、∵，
∴，则，故该选项符合题意；
C、∵，
∴，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，故该选项不符合题意；
故选：B
6．A
【分析】根据不等式的性质判断选择即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴一定成立，
故A符合题意；
∵，
∴，与已知矛盾，
故B不符合题意；
∵，
∴，
故C不符合题意；
∵，
∴，
故D不符合题意；
故选：A．
7．C
【分析】此题考查的是不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．直接根据不等式的性质进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，故A，B错误，
∴，，故C正确，D错误，
故C符合题意，
故选：C．
8．
【分析】本题考查不等式的性质，将和分别进行讨论，看是否与解集一样，再进行解题即可．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题可知，
当时，不等式的解集为，不符合题意；
当时，不等式的解集为，符合题意；
故，
即．
故答案为：．
9．B
【分析】先求出不等式的解集，再把解集用数轴表示出来即可．本题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式解集，熟练掌握用数轴表示不等式解集是解题的关键．
【详解】解：，
解得：，
在数轴上表示为：
故选：B．
10．
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，正确解不等式是解决本题的关键；根据题意构造不等式，解不等式即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查解一元一次不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
12．(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键．
（1）按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式，再在数轴上表示解集即可；
（2）按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式，再在数轴上表示解集即可；
【详解】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
在数轴上表示为：
（2）解：去分母得：
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
在数轴上表示为：
13．C
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于的不等式是解题的关键．
求出不等式的解集，根据不等式至少有4个正整数解即可求得的取值范围．
【详解】解：解不等式得：，
又不等式至少有4个正整数解，
个正整数解肯定包括1、2、3、4，
，
解不等式得：，
故选：C．
14．C
【分析】此题主要考查解不等式的方法步骤，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键．先将不等式进行求解，然后根据解集即可得出最大整数解．
【详解】解：
移项，合并同类项得：
系数化为1得：
∴不等式的最大整数解是，
故选：C．
15．，最小整数解为
【分析】此题考查解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确解不等式是解题的关键．
按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可．
【详解】解：
，
解得：，
∴最小整数解为．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键．
（1）先解一元一次方程求出方程的解，再根据建立不等式，解不等式即可得；
（2）先根据（1）的结果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得．
【详解】（1）解：，
，
解得，
关于的方程的解是非负数，
，即，
解得．
（2）解：，且取最大整数，
，
代入得：，
，
，
，
解得，
∴不等式：的最小整数解为．
17．B
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据不等式组恰好有2个整数解即可得到答案．
【详解】解：解不等式得，
∵关于的不等式组恰好有2个整数解，
∴，
故选：B．
18．D
【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，由不等式组无解得出是解题的关键．解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组无解，
，
，
故选：．
19．
【分析】本题考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为，可以确定整数解必含，，这三个数，再根据解集确定a的取值范围．
【详解】解：解不等式组，
解不等式得，
解不等式得，
∵关于的不等式组有解，
∴，
∵所有整数解的和是，，
∴不等式组的整数解为①，，；②，，，0，
∴或，
∴或，即，
故答案为：．
20．
【分析】根据不等式组的解集为，得，解不等式即可．
本题考查了不等式组的解集，解不等式，正确理解题意、熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
【详解】解：不等式组的解集为，
得，
解得．
21．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键.
【详解】解：不等式组化为，
解集是，
，
解得：，
故选：D．
22．C
【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组有解求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键．
根据一元一次不等式组的解法及不等式组有解的条件得出不等式求解即可得到答案．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
不等式组有解，
，即，
故选：C．
23．
【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据不等式组的解集求参数，代数式求值问题，根据不等式组的解集求出参数是解决本题的关键．
首先可求得不等式组的解集，再根据不等式组的解集为，即可求得a、b的值，据此即可求得结果．
【详解】解：解第一个不等式，得
解第二个不等式，得，
不等式组的解集为，
，，解得：，，
．
24．(1)，作图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能求出关于a的不等式或不等式组的解集是解题的关键．
（1）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解得出，求出a的范围即可．
【详解】（1）解：，
解不等式①，得，
当时，由②可得，解得：，
所以不等式组的解集是；
在数轴上表示如下：
．
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵该不等式组只有2个整数解，
∴，即．
25．
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为正数，得到，据此求出，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可．
【详解】解：
得：，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解为正数，
∴，
解得，
∴满足条件的所有整数a有4、5、6，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
26．
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至少2个整数解，
∴，
∴；
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，
∴满足条件的整数之和是，
故答案为：．
27．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，求一元一次不等式的整数解，正确解二元一次方程组是解题的关键．
（1）先解关于二元一次方程组，求出值，根据为非正数，为正数列不等式组进行求解；
（2）将不等式变形为，根据不等式的解集为确定，结合（1）的结论最后求解即可．
【详解】（1）解：解方程组，得，
为非正数，为正数，
，
解，得
（2）整理不等式，得，
关于的不等式的解集为，
，即，
由（1）知，
，
取整数值为
28．(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的求解，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是关键；
（1）先解方程组，求出，再根据为非正数，为负数得到关于a的不等式组，解不等式组即可；
（2）将（1）中方程组的解代入不等式可求出a的范围，结合（1）题即可确定a的最小整数．
【详解】（1）解：解方程组，
得，
∵为非正数，为负数，即，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴a的最小整数解是．
29．(1)纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个
(2)制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个，根据卖出了150件手工艺品，总收入为2496元．再建立方程组解题即可；
（2）设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件，根据总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的建立不等式组求解的范围，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个，
由题意得：
解得：
答：纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个．
（2）解：设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件，
由题意得：
解得：
∴
∵m是整数 ∴，35
当时，，利润是元
当时，，利润是元
∵
方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件；
答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大．
30．(1)A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元
(2)方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；方案2：购买25本A种图书，45本B种图书
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元，根据购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即B种图书的单价），再将其代入中，即可求出A种图书的单价；
（2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书，根据“购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
∴（元）．
答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元；
（2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书，
根据题意得：，
解得：，
又∵y为正整数，
∴y可以为24，25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；
方案2：购买25本A种图书，45本B种图书．
31．(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元；
(2)甲最多购进3台
【分析】本题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用，
（1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案；
（2）设购进甲种型号手机台，则购进乙种型号手机台，根据题意列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种型号手机每部进价为元，乙种型号手机每部进价为元
，
解得，
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元；
（2）解：设购进甲种型号手机台，则购进乙种型号手机台，
根据题意得，，
解得，
∴甲最多购进3台．
32．(1)甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元
(2)最多购进甲种型号背包79个
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键．
（1）设甲、乙两种型号背包每个的进价分别是x、y元，根据题意列方程组求解可得；
（2）设购进甲型号背包m个，乙型号背包个，根据“获利超过元”列不等式求解可得．
【详解】（1）解：设甲种型号背包每个进价为元，乙种型号背包每个进价为元．
根据题意得：，解得
答：甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元．
（2）设购进甲种背包个，乙型号背包个，根据题意可得
，取最大整数解为79．
答：最多购进甲种型号背包79个．
33．(1)①；②或
(2)存在；或
(3)存在；或
【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可；
②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可；
（2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可；
（3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为：
；
②当时，点P在上，，
解得：；
当时，点P在上，，
解得：，
综上分析可知：或；
（2）解：存在；
当时，点在上，，
解得：，
∴此时；
当时，点在上时，，
解得：，
∴此时；
综上分析可知：或；
（3）解：存在；
当时，点Q从点A向点B运动，，
∴，
∴当时，；
当时，点Q从点B向点C运动，则，
解得：，
∴当时，；
当时，点Q从点C向点B运动，则，
解得：，
∴此时没有符合条件的t存在；
当时，点Q从点B向点A运动，，
整理得：，
∵此时，
∴，
∴总成立，
∴时，；
综上分析可知：或时，．
【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论．
34．(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论；
（2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
当时，，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，，
或，
，
或，
解得：或，
即或时，；
（3）解：，
点在线段上，
，
和的高相等，
，
即，
解得：，
即当秒时，．
35．(1)a=50-2b，15．
(2)
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可；
（2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b
当时，．解得．
（2）解：∵，，
∴
解这个不等式组得：．
答：矩形花园宽的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键．
36．(1)
(2)的值为或
(3)
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论．
（1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解；
（2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解；
（3）根据当时，，当时，，即可求解．
【详解】（1）解：，，
点整个运动过程中，路程为，
点整个运动过程中，所需时间为秒，
故 答 案 为：；
（2）当在上运动时，，
解 得：，
当在上运动时，，
解得：，
综上可得的值为或；
（3）当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上可得：．
37．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解出各不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：D．
38．A
【分析】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，在解题时要注意移项要改变符号这一点．不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确判断出a、b的取值范围及关系是解本题的关键．
根据的解集为，得出的等量关系，再将的等量关系代入，解出不等式即可．
【详解】解：∵的解集为，
又∵不等号发生了变化，
∴，
又∵，解得：，
∴，即，
∴，
将代入不等式，可得：，
解得：．
故选：A．
39．A
【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解题的关键．
利用不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了”确定a的范围即可．
【详解】解：∵不等式组有解，
∴a的取值范围是．
故选：A．
40．A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相加可得，再根据，可得，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
41．
【分析】本题考查了整体代入法解不等式，将当做整体得到，求解即可即可.
【详解】解：∵
∴
∵的解集为，
∴
解得
故答案为：
42．
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出原不等式组中两个不等式的解集，再根据“大大小小找不到（无解）”的口诀求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵原不等式组无解，
∴，
故答案为：．
43．6
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式．两式相加可得，代入已知不等式求出的范围，再确定的所有非负整数解即可求出结果．
【详解】解：
，得
的非负整数为3，2，1，0，
的所有非负整数之和为
故答案为：6．
44．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别求出不等式组中两不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”，即可确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来．
【详解】解：
由①得，
由②得，
不等式组的解为．
在数轴上表示如下：
45．(1)2
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，熟练掌握相关法则是解题的关键．
（1）利用整体的思想可得：，从而可得，然后进行计算即可解答；
（2）先解方程组可得：，然后根据已知易得：，，从而可得，最后解不等式组即可解答．
【详解】（1）解：，
①+②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得：，
∵，均为非负数，
∴，，
即，
解得：．
46．(1)A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元；
(2)最多能购买100件A种蜀绣作品．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过50000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元；
（2）解：设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种蜀绣作品．
47．(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断；
（2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可；
（3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出．
【详解】（1）解：，解得：，
，故①不成立；
，故②不成立；
，故③成立，
故答案为：③；
（2）∵是方程与不等式组的“调和解”，
∴，，
解得：，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）不等式组，解得：，
将代入，得，解得：，
∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，
∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组．
48．(1)A
(2)
(3)4
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可；
（2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可；
（3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可．
【详解】（1）解：解得
，
解得
，
∴方程的解是同时也是不等式的解，
∴是“友好解”，
故选A．
（2）解，得，
∵关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，
∴
解得．
（3）由，得
，解得．
由得
∵方程的解是不等式的“友好解”
∴，
解得，
∴的最小整数值为4
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