2025年苏科版七年级数学暑假培优作业11定义、命题、证明（含解析）

作业11 定义、命题、证明
【积累运用】
要点一、定义、命题、真命题、假命题
定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义．
命题：判断一件事情的句子叫命题．
注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题．
假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题．
【注意】当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可．要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理，证明它的正确性．
要点二、证明
根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理．
证明的步骤：（1）根据题意，画出图形；（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程． 推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理．
要点三、互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题是另一个命题的逆命题．
每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题．
要点四、定理
定义：经过证明的真命题称为定理．定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的具有普遍正确性的命题．
【积累运用】
二层必刷：巩固提升+能力培优
题型一、判断是否是命题
1．下列语句是命题的是（ ）
A．对顶角一定相等吗 B．人们经常用实验、归纳的方法去发现命题
C．画一个角等于已知角 D．若，则
2．下列语句不是命题的是（ ）．
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．垂线段最短
D．在线段上取点，使得
3．下列语句是命题的是（ ）
A．画出两条相等的线段 B．所有的同位角都相等吗？
C．延长线段到C，使得 D．对顶角相等
4．下列语句中不是命题的是（ ）
A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线
C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于
题型二、判断命题真假
5．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．垂线段最短
C．相等的两个角是对顶角
D．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线不止一条
6．下面四个命题中：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③直角三角形两锐角互余；④如果a，b都是正数，那么．它们的逆命题是真命题的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
7．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．两点确定一条直线 D．如果，那么
8．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．相等的角是对顶角
D．互为相反数的两数和为零
题型三、举反例
9．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）．
A． B． C． D．
11．对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．要证明命题“若则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、已知证明过程填写理论依据
13．补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
14．补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
题型五、写出命题的逆命题
15．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C．对顶角相等
D．如果，那么
16．以下命题的逆命题中，属于真命题的是（ ）
A．如果，，则 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若，则
17．下列各命题成立，且它们的逆命题也成立的是（ ）．
A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．如果，那么 D．如果，那么
18．命题“若，则”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
题型六、用反证法证明命题
19．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空：
证明：假设a，b，c都不是 ，
不全为0，
中至少有一个为正数，
0，这与已知相 ，
∴ ，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
20．如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空：
证明：假设 ，
（ ）．
这与 相矛盾，故 不成立．
与不平行．
21．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．任何数的偶次幂都大于0
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
22．下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．有理数和数轴上的点是一一对应的
23．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．垂线段最短
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
24．下列命题：①如果，那么；②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果，那么；④如果与互补，那么，其中假命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．a ＝3
26．能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
27．对于命题“如果，那么”，能说明这个命题是假命题的是( )
A．， B．，
C．， D．，
28．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
29．判断命题“如果，那么”是假命题，只举出一个反例，反例中 ．
30．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．求证：．
证明：假设________，
，
________，
________，
________，这和“平角的定义”矛盾，
假设________不成立，即．
31．（1）完成下面的推理说明：
已知：如图，，，分别平分和．
求证：．
证明：，分别平分和（已知），
_____，_____（_____________）．
（已知），
（_______________），
（___________），
（等式的性质），
（_____________）．
（2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．
32．如图，①，②平分，③平分，④．
(1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题；
(2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例．
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可．
【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意；
B、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意；
C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意；
D、符合命题的定义，本选项符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．
根据命题的定义分别进行判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意；
B、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意；
C、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意；
D、在线段上取点，使得，为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了命题的定义，理解并掌握命题的定义是解题的关键．
根据命题的定义“判断一件事情的句子”判定即可求解．
【详解】解：A、画出两条相等的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
B、所有的同位角都相等吗？是疑问句，不是命题，不符合题意；
C、延长线段到C，使得，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
D、对顶角相等，作出真假判断，是命题，符合题意；
故选：D ．
4．B
【分析】本题主要考查角的比较与运算，还考查命题的知识点，不是很难．答题时首先知道命题是由题设和结论构成，然后判断．
【详解】解：锐角小于钝角，对顶角相等，三角形的内角和等于都是命题，
作的垂直平分线不是命题，没有结论，
故选：B．
5．B
【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义分别对每个选项进行判断后，即可确定正确的选项．本题考查了真命题的定义，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义及正确命题是真命题等知识．
【详解】解：A、应该是两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、垂线段最短是真命题，故本选项符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
D、应该是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是写一个命题的逆命题，判断命题的真假，对顶角的性质，平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，有理数的乘法的含义，熟悉命题，逆命题的概念是解本题的关键．
先分别写出各命题的逆命题，再作判定即可．
【详解】解：①逆命题为相等的角为对顶角，是假命题；
②逆命题为两直线平行，内错角相等，是真命题；
③逆命题为两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题；
④逆命题为如果，那么a，b都是正数，是假命题．
故它们的逆命题是真命题的是②③．
故选：C
7．B
【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线公理对C进行判断；根据绝对值的性质对D进行判断．
【详解】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；
B、两直线平行，同位角相等，所以B选项为假命题；
C、两点确定一条直线，所以C选项为真命题；
D、如果，那么，所以D选项为真命题．
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查命题与定理知识，根据平行线的性质、垂直以及对顶角和相反数的性质等知识判断即可，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，为真命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故原命题为假命题，符合题意；
D、互为相反数的两数和为零，为真命题，不符合题意
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．
【详解】解：A、满足，但不满足，满足题意；
B、满足命题“如果，那么．”，不符合题意；
C、不满足命题“如果，那么．”，不符合题意；
D、不满足命题“如果，那么．”，不符合题意；
故选：A．
10．A
【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、满足，但不满足，故该选项符合题意；
B、既不满足也不满足，故该选项不符合题意；
C、既不满足也不满足，故该选项不符合题意；
D、既满足也满足，故该选项不符合题意；
故选：A
11．A
【分析】本题考查的命题和定理，根据条件，把数值代入计算，判断即可．
【详解】解：A、，但，故符合反例要求，符合题意；
B、，故不符合反例要求，不符合题意；
C、，且，故不符合反例要求，不符合题意；
D、，故不符合反例要求，不符合题意；
故选A．
12．B
【分析】本题考查了命题与定理，解题的关键是通过反例的方法代入数据进行计算．
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可．
【详解】解：A、，满足，但，选项不符合题意；
B、，满足，但，所以选项能作为证明原命题是假命题的反例，选项正确，符合题意；
C、，满足，但，选项不符合题意；
D、，满足，但，选项不符合题意；
故选：B．
13．答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（　同位角相等，两直线平行　），
∴（　两直线平行，同位角相等　），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（　内错角相等，两直线平行　）．
14．答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案；
【详解】解：∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（对顶角相等），
．
15．C
【分析】本题考查的是逆命题．首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】解：A、逆命题是两直线平行，同位角相等，成立，本选项不符合题意；
B、逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立，本选项不符合题意；
C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立，本选项符合题意；
D、逆命题是如果，那么，成立，本选项不符合题意；
故选：C．
16．C
【分析】本题考查逆命题，逆命题的真假识别，掌握逆命题把原命题的题设变为结论，把结论变为题设，逆命题的真假识别方法是解题关键．
首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论得出答案．
【详解】解：A．逆命题为：如果，则，，反例，，，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意；
B．逆命题为：相等角是直角，反例，但不是直角，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意；
C．逆命题为：同位角相等，两直线平行，根据平行线判定定理知其是真命题，故该选项的逆命题是真命题，符合题意；
D．逆命题为：，则，反例，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
17．B
【分析】本题考查真假命题的判定，逆命题的定义，熟练掌握对顶角性质、直角三角形现锐角互余的性质、等式的性质是解题的关键．先写出每个选项中命题的逆命题，然后再进行判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，此命题是假命题，故此选项不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是三角形中两个角互余的三角形是直角三角形，此命题是真命题，故此选项符合题意；
C、如果，那么的逆命题是如果，那么，此命题是假命题，故此选项不符合题意；
D、如果，那么的逆命题是如果，那么，此命题是假命题，故此选项不符合题意．
故选：B．
18．假
【分析】本题考查的是真假命题的判断，写命题的逆命题，先写出逆命题为：若，则；再举反例说明逆命题是假命题即可．
【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则；
当时，，而，
∴这个逆命题是假命题；
故答案为：假．
19． 负数 矛盾 假设不成立
【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键．
首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解．
【详解】证明：假设a，b，c都不是负数，
不全为0，
中至少有一个为正数，
，这与已知相矛盾，
∴假设不成立，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
故答案为：负数，，矛盾，假设不成立．
20． 两直线平行，同位角相等
【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，先假设，根据平行线的性质得出，说明与矛盾，从而证明原结论正确．
【详解】证明：假设，
（两直线平行，同位角相等）．
这与相矛盾，故不成立．
与不平行．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；．
21．D
【分析】本题考查命题真假判断，关键在于回忆对顶角、同位角、幂的性质及平行线判定定理．需注意命题成立的条件是否完备，如选项B缺少两直线平行的前提，而选项D满足平面几何的基本定理．需要逐一分析每个选项的命题是否符合数学定义或定理．
【详解】解： A、对顶角的定义是两个角有公共顶点且两边互为反向延长线，因此相等的角不一定是位置关系对顶的角．例如，等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故选项A为假命题；
B、只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同位角才相等．若两条直线不平行，则同位角不相等，因此选项B缺少前提条件，是假命题；
C、0的偶次幂等于0，而0并不大于0，因此“任何数”包括0时该命题不成立，选项C为假命题；
D、根据平行线的判定定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线必定平行，因此选项D是真命题．
故选：D．
22．C
【分析】本题考查真假命题的判断，根据平行线的性质与判定，数轴与实数一一对应，垂线段最短逐项分析判断即可．
【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，A选项是假命题，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，B选项是假命题，不符合题意；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，C选项是真命题，符合题意；
实数和数轴上的点是一一对应的，D选项是假命题，不符合题意；
故选：C．
23．B
【分析】本题主要考查真假命题、平行线的性质与判定、对顶角及线段的意义，熟练掌握各个定理是解题的关键．根据平行线的性质与判定、对顶角及线段可进行求解．
【详解】解：A、“垂线段最短”是真命题，故不符合题意；
B、“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，故原命题为假命题，故符合题意；
C、“内错角相等，两直线平行”是真命题，故不符合题意；
D、“如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角”是真命题，故不符合题意；
故选：B．
24．C
【分析】本题考查的是命题与定理，根据绝对值、同位角的概念、实数的大小比较、补角的概念判断即可．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【详解】解：①如果，那么，故本小题命题是假命题；
②两个角相等，这两个角不一定是同位角，故本小题命题是假命题；
③如果，那么，是假命题，例如：，而；
④如果与互补，那么，是真命题；
故选：C．
25．B
【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则判断即可．
【详解】解：A、当时，，，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，不符合题意；
B、当时，，则，能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，符合题意；
C、当时，，，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，不符合题意；
D、当时，，，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，不符合题意；
故选：B．
26．B
【分析】本题考查举反例，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．根据题目的要求举一个反例即可．
【详解】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：，
∵，但是，
∴B正确；
故选：B．
27．D
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．将四个中的值代入验证即可．
【详解】解：A、，，满足“如果，那么”，故不能说明命题为假命题，故不符合题意；
B、，且，满足“如果，那么”，故不能说明命题为假命题，故不符合题意；
C、，且，此时不但不满足，也不满足不成立，故不能说明命题为假命题，故不符合题意；
D、，且，此时满足，但不能满足，即意味着命题“如果，那么”不能成立，故符合题意．
故选：D．
28．假
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．利用可判断命题“如果，那么”是假命题．
【详解】解：命题“若，则”是假命题；
故答案为：假．
29．（答案不唯一）．
【分析】本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．
【详解】解：当时，符合条件，
但，与矛盾，
∴命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：（答案不唯一）．
30．，，，，
【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可．
【详解】证明：假设，
，
，
，
，这和“平角的定义”矛盾，
假设不成立，即，
故答案为：，，，，．
31．（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
（1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ；
（2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知），
（角平分线的定义），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
（等式的性质），
（内错角相等，两直线平行），
故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；
（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．
32．(1)真
(2)见解析
【分析】本题考查了命题，平行线的性质，角平分线的性质，
（1）根据命题的真假即可判断；
（2）根据得，根据平分得，根据平分得，根据可得，等量代换，进行计算即可得；
掌握命题，平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：即若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是真命题，
故答案为：真；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵
∴，
，
，
．
答案第1页，共2页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
答案第1页，共2页