(共25张PPT)
6.2.1 排列
第六章 计数原理
数学
学习目标
①能通过实际问题抽象出排列的定义,并能用自己的语言解释排列的定义,提升数学抽象素养.
②能通过实例,利用排列的定义判断排列问题,提升逻辑推理素养.
环节一 问题探究,分析特性
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选取2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?
要完成的一件事是“选出2名参加活动,1名同学参加上午的活动,另1名同学
参加下午的活动”,可以分两个步骤:
如图所示,可以先取后排,从3名同学中选取2名同学,有3种选法:{甲,乙},{甲,丙},{乙,丙},每种选法均有2种排法;也可以边取边排,分两步完成,即先从3名同学中选1名参加上午的活动,有3种选法,再从剩下的2名同学中选1名参加下午的活动,有2种选法.
根据分步乘法计数原理,不同的选法种数为
3×2=6.
课堂探究
追问 :上述“先取后排”与“边取边排”两种方法各自的有点是什么?
“先取后排”是先选人再安排上午、下午,是先定人再定序,很直接,但如果定人的情况多,列举法不容易做到“不重不漏”;“边取边排”是先上午后下午,人和顺序一起考虑,程序简捷.
课堂探究
归纳本质:如果把上面问题中被取出的对象叫做元素,那么问题可叙述为:从3个不同的元素a,b,c中任意取出2个,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?
所有不同的排列是
ab,ac,ba,bc,ca,cb,
不同的排列方法种数为
3×2=6.
此处的顺序是指的什么?
课堂探究
问题2 从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?
(1)问题2中要完成的是一件什么事?
(2)如何完成这件事?
(3)用什么计数原理可以得到三位数的个数?
课堂探究
环节一 问题探究,分析特性
显然,从4个数字中,每次取出3个,按“百位、十位、个位”的顺序排成一列,就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题:
第1步,确定百位上的数字,从1,2,3,4这4个数字中任取1个,有4种方法;
第2步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个数字中去取,有3种方法;
第3步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的2个数字中去取,有2种方法.
根据分步乘法计数原理,从1,2,3,4这4个不同的数字中,每次取出3个数字,按“百位、十位、个位”的顺序排成一列,不同的排法种数为
4×3×2=24.
因而共可得到24个不同的三位数,如图所示.
课堂探究
百位
十位
个位
由此可写出所有的三位数:
123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432.
课堂探究
追问1 :如果把问题2中的数字1,2,3,4叫做元素,并用表示,这个问题可以怎样叙述?
课堂探究
归纳本质: 从4个不同的元素a,b,c,d 中任意取出3个,并按照一定的顺序排成一列 共有多少种不同的排列方法?
追问2 : 在问题2中,“按一定顺序排列”体现在哪里?
课堂探究
确定一个三位数的本质就是确定百位、十位、个位上的数字.这样,“百位、十位、个位”就是“一定的顺序”.
问题1的本质是:从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法.
问题2的本质是:从4个不同的元素中, 任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.
问题3:上述问题1和问题2的共同点是什么?你能将它们推广到一般情形吗?
课堂探究
环节二 抽象概括 形成概念
一般地,从n个不同元素中取出m (m ≤ n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
注意:
(1)元素不能重复.
(2)“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是否是排列问题的关键.
(3)两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同,而且元素的排列顺序 也完全相同.
(4)为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏, 最好采用“树状图”.
(有序性)
(互异性)
概念形成
课堂探究
追问1 : 问题1中“甲乙”与“乙甲”是相同的排列吗?
课堂探究
“甲乙”与“乙甲”是不同的排列,因为前者是“甲参加上午的活动,乙参加下午的活动”,后者是“乙参加上午的活动,甲参加下午的活动”.
追问2 : 两个排列相同要满足什么条件?
课堂探究
两个排列相同的充要条件:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
追问3 :从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,求解有多少种方法时,我们选择更好的求解思路是什么?
课堂探究
可以选择“先取后排”,但很多时候最好选择“边取边排”.
例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队,每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场,那么每组共进行多少场比赛?
(1)我们要完成一件什么事?这件事的完成与“顺序”有关吗?
(2)可以化归为“从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列”的排列问题吗?
(3)如何利用计数原理计算比赛场次?
课堂探究
环节三 应用概念 巩固理解
解: 先从6支队选1支队为主队,然后从剩下的5支队中选1支队为客队,按分步乘法计数原理,每组进行的比赛场数为
6×5=30.
课堂探究
练习1 判断下列两个问题是不是排列问题,请说明理由.
(1)从2,3,5,7中任取两数相除,可以得到多少个不同的商?
(2)从2,3,5,7中任取两数相乘,可以得到多少个不同的积?
课堂探究
(1)从2,3,5,7中任取两数相除,因为被除数与除数具有顺序性,这是排列问题.
(2)从2,3,5,7中任取两数相乘,因为乘法具有交换律,所以没有顺序性,不是排列问题.
例2 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜,甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜,共有多少种不同的取法?
(2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙、丙3名同学每人从中选一种,共有多少种不同的选法?
分析: 3名同学每人从5盘不同菜中取1盘菜,可看作是从这5盘菜中任取3盘,放在3个位置(给3名同学)的一个排列.
解: (1)先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理,不同的取法种为
5×4×3=60.
课堂探究
解:(2)先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从从5种菜中选1种,有5种选法; 最后让同学丙从5种菜中选1种,有5种选法. 按分步乘法计数原理,不同的取法种数为
5×5×5=125.
分析:3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种,每人都有5种选法,
不能看成一个排列.
例3 (1)一张餐桌上有5盘不同的菜,甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜,共有多少种不同的取法?
(2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙、丙3名同学每人从中选一种,共有多少种不同的选法?
课堂探究
练习2 (1)4本不同的书中取2本分给2名同学,每人一本,有多少种不同的分法?
(2)3本不同的书分给3名同学,每人一本,有多少种不同的分法?
课堂探究
(1)“从4本不同的书中取2本分给2名同学,每人一本”可以化归为“从4个元素中取出2个元素排成一列”的排列问题,分两步完成:先从4本书中取1本给第1名同学,再从剩下的3本书中取1本给第2名同学.由分步乘法计数原理,得不同的分法种数为.
(2)“将3本不同的书分给3名同学,每人一本”可以化归为“从3个元素中取出3个元素排成一列”的排列问题,分三步完成:先从3本书中取1本给第1名同学,再从剩下的2本书中取1本给第2名同学,最后将剩下的1本书给第3名同学.由分步乘法计数原理,得不同的分法种数为.
目标检测,巩固知识
1.判断下列问题是不是排列问题,
(1)从班上50名学生中选出正、副班长各一人,共有多少种选举结果?
(2)某单位从10名员工中派2名员工去开会,共有多少种派遣方案?
2.教科书第16~17页练习第1,2,3题.
课堂探究
课堂小结
课堂小结
回顾本节课所学内容,并回答下列问题:
(1)排列的定义中有哪些关键词?
(2)如何判断一个计数问题是不是排列问题?
(3)如何求出一个排列问题中所有排列的个数?
布置作业
作业1:教科书第26页习题6.2第5,9题.
作业2:预习教科书6.2.2排列数,说一说排列数与排列的关系.
谢谢大家