第六章 6.3.2二项式系数的性质--人教A版高中数学选择性必修第三册教学课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
第六章 计数原理
数学
学习目标
①发现和推导二项式系数的性质，体会从特殊到一般的归纳思想.
②通过对二项式定理中a，b的关系与取值的探讨，体会一般到特殊的思想与赋值法的作用，能应用二项式系数的性质解决简单的实际问题.
环节一 复习回顾，引出课题
课堂探究
什么是二项式定理？什么是二项式系数？二项展开式的通项是什么？
环节二 图形直观，发现规律
用计算工具计算的展开式的二项式系数,并填入表中.
6
5
4
3
2
1
(a＋b)n的展开式的二项式系数
n
课堂探究
1 4 6 4 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
为了便于发现规律，上表还可以写成如下形式.
探究新知
课堂探究
图6.3-1
课堂探究
观察图6.3-1,你还能发现哪些规律
1.每行两端都是1,即;每行前后是对称的,即组合数性质;每行都是先增后减,中间的一个或两个值最大,即函数,当是偶数时,取最大值;当是奇数时,时取最大值.
2.从左至右与从右至左斜行是对称的,第一斜行全是1,第二斜行是数列,第三斜行是数列等.
3.某行每个数字都是上一行肩上相邻两个数字之和,即组合数性质.
4.令,可得每行的和是,即的展开式的各二项式系数之和为
课堂探究
生成新知
性质1:对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
性质2:增减性与最大值
当是偶数时,中间的一项取得最大值;当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.
性质3:各二项式系数的和
的展开式的各项二项式系数的和等于,即
课堂探究
对于的展开式的各二项式系数,令,这是以为自变量的函数.对于这个函数,你想研究一些什么问题 你能得出哪些结论
可以研究定义域、值域、单调性、最大(小)值、对称性等.
环节三 纳入体系，寻求解释
课堂探究
追问1 对于确定的,例如和,请画出的图象,比较它们的异同,你发现了什么规律
当n=6时,函数的图象是7个离散点;时,函数的图象是8个离散点,如图6.3-2所示
结合图6.3-1和图6.3-2可以发现:
(1)图形具有对称性:从函数图象直接看出,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,函数图象的对称轴是直线.
(2)图形增减性与最大值:从函数图象直观看出二项式系数的值具有先增后减的特征,当时,在时取得最大值;当时,在时,同时取得最大值.
课堂探究
追问2 你能给出二项式系数的单调性与最大值的证明吗
方法一(作差法):即,由于,所以.现比较与0的大小,当时,随的增加而增大;当时,随的增加而减小.当为偶数时,时取得最大值,当为奇数时,不是整数,此时应取与最近的整数或,令,则,由对称性知=,故均为最大值.
方法二(作商法):由可知,比较与1的大小关系即可,也即比较与0的大小,后续同方法一.
课堂探究
追问3 我们已经知道,你能归纳一下得到这个结论时所用的思想方法吗
把二项展开式中的字母赋特殊值,即令得出结果,代入公式得到结果.这样的方法在解决代数问题时是常用的.例如,要求展开式中的各项系数的和,令即可.
方法总结
赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.例如，在=++…+的展开式中，通常需要令取0,1,-1等特殊值.
课堂探究
课堂探究
环节四 例题练习,强化运用
例1 在的展开式中,与第5项的二项式系数相同的项是( )
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
第5项的二项式系数为,由二项式系数的对称性可知,与之相同的是第8项的二项式系数为,故选C.
C
课堂探究
例2 在的展开式中,二项式系数最大的项是( )
A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第6项
由于是奇数,展开式有12项,因此中间两项的二项式系数最大,所以二项式系数最大的项是第6项和第7项,故选C.
C
课堂探究
例3 求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明:奇数项的二项式系数的和为;
偶数项的二项式系数的和为:;
在中,
令,则得,
即,
即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
课堂小结
一般地,展开式的二项式系数有如下性质:
(1) (对称性)
(2)当n为偶数时,最大,而当n为奇数时,,且同时取得最大值
(3)
(4)
作业1：教科书第34页练习第4题.
作业2：教科书第35页习题6.3第7，8，9，10，11题.
布置作业
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