第七章 7.4.1二项分布--人教A版高中数学选择性必修第三册教学课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
7.4.1 二项分布
第七章 随机变量及其分布
数学
学习目标
①能举例说明伯努利试验以及n重伯努利试验的特征, 能用例子解释二项分布的特征，掌握随机变量服从二项分布的有关计算．
②能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题．
③会求服从二项分布的随机变量的均值和方差.
问题1 观察下列一次随机试验的共同点：
试验 出现的结果 共同点
1.掷一枚硬币
2.检验一件产品 3.飞碟射击 4.医学检验 正面朝上；反面朝上
合格；不合格
中靶；脱靶
阴性；阳性
只包含两个结果
课堂导入
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
n重伯努利试验的特征:
课堂探究
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验
称为n重伯努利试验.
(1) 同一个伯努利试验重复做n次；
(2)各次试验中的结果相互独立.
问题2 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是,那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少？
1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
课堂探究
随机试验 是否为n重伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数
1 是 抛掷一枚质地均匀的硬币 0.5 10
2 是 飞碟运动员进行射击 0.8 3
3 是 从一批产品中随机抽取一件 0.95 20
问题3 伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们 关注事件A发生的次数X，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际上关心的是它的分布列及均值和方差.
课堂探究
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：
问题4 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
课堂探究
P(X=0)
P(X=1)
P(X=2)
P(X=3)= P(A1A2A3)
= 3×0.8×0.22
= 3×0.82×0.2
= 0.83
课堂探究
3次独立重复试验共有8中可能结果，它们两两互斥，每个结果都是由3个相互独立
事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得
问题4 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
为了简化表示,每次射击用1表示中靶,用0表示脱靶,那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011,110,101,这三个结果发生的概率都相等,均为,并且与哪两次中靶无关.因此,3次射击恰好2次中靶的概率为.同理可求中靶0次,1次,3次的概率.
于是,中靶次数的分布列为.
课堂探究
思考: 如果连续射击4次, 类比上面的分析, 表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.
每次射击用1表示中靶,用0表示脱靶,表示中靶次数.
X等于2的结果有:0011,0101,0110,1001,1010,1100,共6种.
中靶次数X的分布列为
P(X=k)=×0.8k×0.24-k,k=0, 1, 2, 3, 4.
课堂探究
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p).
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0课堂探究
思考 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗
服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=×pk×(1-p)n-k 正好是二项式定理[(1-p)+p]n展开式的第k＋1项，故有
课堂探究
随机变量X服从二项分布的三个前提条件：
(1) 每次试验都是在同一条件下进行的；
(2) 每一次试验都彼此相互独立；
(3) 每次试验出现的结果只有两个.
提醒：一般含有“恰好”“恰有”等字样的问题往往考虑独立重复试验的模型.
课堂探究
思考 二项分布和两点分布有什么联系？
二项分布的分布列如下表：
当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表：
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
课堂探究
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
解 设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5).
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
＝ ×0.510＝＝；
×0.510+ ×0.510+ ×0.510＝＝.
课堂探究
例2 一块高尔顿板的示意图如图所示. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放人，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0，1，2， ，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
解 设＝“向右下落”，则＝“向左下落”，
且（）＝0.5.
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以.
于是，的分布列为
＝0，1，2，…，10.
课堂探究
的概率分布图如图所示.
课堂探究
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利
解1 若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0, 3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
.
.
课堂探究
解2 若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为
课堂探究
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.
解 采用7局4胜制,不妨设赛满7局,用X表示7局比赛中甲胜的局数,
则X~B(7,0.6).
甲最终获胜的概率为
P 3=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)
=.
课堂探究
追问1:若采用7局4胜制甲获胜的概率又是多少呢 (结果保留两位小数)
追问2:我们可以得到什么结论
解 比赛局数越多,对水平高的一方更有利.
一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:
方法规律：
课堂探究
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p).
从简单开始, 先考察n较小的情况.
(1)当n=1时, X服从两点分布, 分布列为
P(X=0)=1-p, P(X=1)=p.
均值和方差分别为
E(X)=p, D(X)=p(1-p).
(2)当n=2时, X的分布列为
P(X=0)=(1-p)2, P(X=1)=2p(1-p), P(X=2)=p2.
E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2 =2p.
D(X)= 02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2 -(2p)2=2p(1-p).
均值和方差分别为
猜想：如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p).
问题5 假设随机变量服从二项分布，那么的均值和方差各是什么？
课堂探究
一般地，可以证明：如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p).
对均值的证明：
.
令，则
.
课堂探究
例4 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求该学生在这一次测验中的成绩的均值和方差．
解 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数为Y，由题意知，Y＝4X，且X～B(25，0.6)，
则E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别是60和96.
课堂探究
1. 下列例子中，随机变量X服从二项分布的个数为( )
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n 次抽取中出现次品的件数.
A.0 B.1 C.2 D.3
B
2. 某人通过某个测试的概率是 ，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，则其中恰有1次通过的概率是( )
A. B. C. D.
C
3.已知随机变量X～B(n，p)，E(X）＝8，D(X）＝1.6，则n＝_______，p_______．
评价反馈
10
0.8
4.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个十字路口，假设他在各个十字路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.求这位司机遇到红灯数X的均值与方差．
解 易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B(6, )，
所以E(X)＝6× ＝2，
D(X)＝6× (1- ) ＝ .
评价反馈
1. 二项分布的定义：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p).
P(X=k)=×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n).
课堂小结
(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;
(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;
(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p).
3. 二项分布的均值与方差：
二点分布是特殊的二项分布.
若X~B(n, p)，则有E(X)=np,D(X)=np(1-p).
课堂小结
2.确定一个二项分布模型的步骤:
布置作业
教科书第76~77页练习第1,2,3题.
谢谢大家