第七章 7.5正态分布--人教A版高中数学选择性必修第三册教学课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
7.5 正态分布
第七章 随机变量及其分布
数学
学习目标
①通过实例，借助于直观图象，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，了解3σ原则，会求正态变量在特殊区间的概率．
②掌握正态分布在实际生活中的意义和作用，会用正态分布解决实际问题．
③了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.
④通过本节学习，进一步熟悉函数思想的应用，注意数形结合思想在实际中的应用.
学习重难点
重点：
正态分布的概念、特点、均值、方差．
难点：
借助正态分布密度曲线的对称性，利用数形结合求解正态分布问题．
高斯是一个伟大的数学家,一生中的重要贡献不胜枚举.德国曾经在10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布密度曲线,这就传达了一个信息:在高斯的科学贡献中,正态分布对人类文明的影响是比较大的.那么,什么是正态分布 正态分布密度曲线有什么特征呢
课堂导入
自主学习
1.连续性随机变量
课堂导入
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.下面我们看一个具体问题.
问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下：
(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？
(2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？
课堂导入
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
课堂探究
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.
观察图形可知：
误差观测值有正有负，并大致对称地分布在 X=0 的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图所示.
根据频率与概率的关系，可用图中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布.例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中褐色阴影部分的面积表示.
课堂探究
由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数.那么，这个函数是否存在解析式呢？
课堂探究
答案是肯定的.在数学家的不懈努力下,找到了以下刻画随机误差分布的解析式:f(x)=,x∈R.其中μ∈R,σ>0为参数.
课堂探究
2.正态密度曲线
显然,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如下图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
如图，若X~N(μ,σ2),则X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.
1. 的图象在x轴的上方,即
2.x轴和曲线之间的区域的面积为1.
为图中区域A的面积
为图中区域A的面积
课堂探究
根据频率与概率的关系，可用下图中的钟形曲线（曲线与水平轴之间的区域面积为1）来描述袋装食盐质量误差的概率分布.
例如，任意抽取一袋食盐，误差落在 内的概率，可用图中褐色阴影部分的面积表示.
课堂探究
正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如，某些物理量的测量误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)，某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布.
课堂探究
由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点：
思考1：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
3.正态曲线的特点：
课堂探究
(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(2)曲线在x=μ处达到峰值;
(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
我们知道，函数 y=f (x-μ) 的图象可由 y=f (x) 的图象平移得到.因此，在
参数σ 取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，
如图所示.
思考2：一个正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
课堂探究
4.参数μ,σ的意义
课堂探究
当μ取定值时,因为正态曲线的峰值与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散.不妨取μ=0,σ=0.5,1,2,正态曲线如图所示.
观察两个图可以发现,参数μ反映了正态分布的集中位置,σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.实际上,若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ, D(X)=σ2.
课堂探究
5.正态分布的3σ原则
假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
上述结果可用下图表示.
由此看到,尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
设两个正态分布N(μ1，)(σ1>0)和N(μ2，)(σ2>0)的正态密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，
直线x=μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2;
σ反映的是正态分布的离散程度，
σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，
σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，
由图可知σ1<σ2，故选A.
课堂探究
【例题1】
A
李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1)估计X,Y的分布中的参数;
(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;
(3)如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由.
课堂探究
【例题2】
解: (1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数μ,用样本标准差估计参数σ,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).
(2)X和Y的分布密度曲线如图所示.
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由图可知，
所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，要选择坐公交车.
课堂探究
课堂探究
已知随机变量ξ～N(0,1)，若P(ξ≥1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝________.
解析：因为随机变量ξ～N(0,1)，
所以正态曲线关于直线x＝0对称．因为P(ξ≥1)＝p，所以P(ξ≤－1)＝p，所以P(－1<ξ<0)＝－p.故答案为－p.
【例题3】
－p
课堂探究
1.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为______.
2.已知某随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(0<ξ<1)＝0.3，则P(ξ<2)＝____.
跟踪训练
解析：
1.因为随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于直线x＝a对称，且P(X>a)＝0.5，由P(X>1)＝0.5，可知μ＝a＝1.
2.∵ξ～N(1，σ2)，且P(0<ξ<1)＝0.3，
∴P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝P(ξ<1)－P(0<ξ<1)＝0.5－0.3＝0.2.
∴P(ξ<2)＝1－P(ξ≥2)＝1－0.2＝0.8.
1
0.8
在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间[70,110]内的概率是多少
(2)若共有2 000名考生参加考试，试估计考试成绩在[80,100]内的考生有多少人
解：因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝10.
(1)由于正态变量在区间[μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间[70,110]内的概率是0.954 5.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间[μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩ξ位于区间[80,100]内的概率就是0.682 7.一共有2 000名考生，所以考试成绩在[80,100]间的考生大约有2 000×0.682 7≈
1 365(人)．
课堂探究
【例题4】
设ξ～N(1，22)，试求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；
(2)P(3<ξ≤5)；
(3)P(ξ>5).
解　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3<ξ≤5)＝P(－3≤ξ<－1)，
课堂探究
【跟踪训练】
课堂探究
1.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
解析:∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x=0.
∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4.故选B.
评价反馈
B
2.某地区一模考试数学成绩X服从正态分布 ，且 , 从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生，数学成绩在 的人数记作随机变量 ，则 的方差为( )
A.2 B.2.1 C.2.4 D.3
解析：由正态分布知，每个人数学成绩在 内 的概率为2×(0.5-0.2)=0.6，所以10个学生数学成绩在[70,110]内的人数服从二项分布B(10,0.6),，所以方差为10×0.6×(1-0.6)=2.4.故选C.
评价反馈
C
3. 设在一次数学考试中,某班学生的分数X服从正态分布N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.
解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X≥μ-σ)=1-P(X<μ-σ)=1-0.158 5=0.841 5.
∴54×0.841 5≈45(人),即及格的人数约为45人.
∵P(X>130)=P(X>μ+σ)=P(X<μ-σ)=0.158 5.
∴54×0.158 5≈9(人),
即130分以上的人数约为9人.
评价反馈
课堂小结
1.连续性随机变量：
大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量.
2.正态曲线的定义：
若f(x)=,x∈R.其中μ∈R,σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
总结归纳
课堂小结
3.正态曲线的特点：
(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(2)曲线在x=μ处达到峰值;
(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
4.正态分布的定义：
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为
X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
课堂小结
5.正态分布的特征：
(1)当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，参数μ反映了正态分布的集中位置.
(2)当μ一定时,正态曲线的形状由σ确定，σ越小,正态曲线越“瘦高”,表示随机变量X的分布越集中;σ越大,正态曲线越“矮胖”,表示随机变量X的分布越分散.
σ反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度.
6.3σ原则：
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
布置作业
教科书第87页练习第1,2题及习题7.5第1,2,3题.
谢谢大家