第八章 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
第八章 立体几何初步
数学
学习目标
①掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积求法．
②掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式．
③能解决一些棱柱、棱锥、棱台相关的计算问题．
学习重难点
重点：
棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积公式．
难点：
解决棱柱、棱锥、棱台相关的计算及实际应用问题．
课堂导入
【导入新课】
在日常生活中,我们经常会遇到一些与空间几何体相关的问题,比如说粉刷房屋墙壁时,需要计算粉刷面积;建造粮仓时,需要计算粮仓体积.本节课我们就研究一下常见的空间几何体的表面积与体积的求法.
思考1 类比正方体与长方体的表面积，猜想一下多面体的表面积的定义是什么？具体到棱柱、棱锥、棱台，它们的表面积指的是什么？
结论：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
课堂探究
思考2 初中求解正方体与长方体表面积的方法，在求棱柱、棱锥、棱台的表面积时是否一样适用？
结论：将正方体或长方体展开，求解展开图的面积（如图），将空间问题转化为平面问题.
同理，求解棱柱、棱锥、棱台的表面积时，只需将其各个面的面积分别求出，然后求和即可.
课堂探究
课堂探究
【典例分析】
例 1 如图所示，四面体P -ABC 的各棱长均为，求它的表面积.
解：由已知，四面体P -ABC 的四个面都是边长为的正三角形，又 ，所以四面体的表面积
跟踪训练1
已知正四棱台上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.
解析：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，O1O为正四棱台的高，则O1O＝12，连接OE，O1E1，则OE＝ AB＝ ×12＝6 ，O1E1＝ A1B1＝3，过 E1作E1H⊥OE，垂足为 H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3，
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，
所以E1E＝3 ，
所以S侧＝4× ×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3 ＝108 .
课堂探究
【名师解惑】
多面体的侧面积与表面积求法：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和侧面积是所有侧面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
课堂探究
思考3 以前学过的正方体、长方体的体积公式是什么？
结论：V正方体= a3 (a为正方体的棱长)，
V长方体= abc(a，b，c为长方体的长、宽、高)，
正方体、长方体的体积公式可以统一为S·h.
课堂探究
思考4 正方体、长方体都是棱柱，那么对于一般棱柱，上面的体积公式是否还适用？棱柱的高是什么？
结论：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，则棱柱的体积V棱柱 =S·h .
课堂探究
思考5 观察下面图①，一个三棱柱可以分解成三个三棱锥（如图②），这三个三棱锥的体积有什么关系？因此三棱锥的体积与同底等高三棱柱的体积之间什么关系？一般棱锥是否成立？
① ②
结论：这三个三棱锥体积相等，所以上图中每一个三棱锥的体积都等于原三棱柱体积的 . 这个结论可以对于一般棱锥也是普遍适用的，因此，三棱锥的体积公式为
课堂探究
思考6 回顾一下棱台的定义，想想如何求棱台的体积？
结论：由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差求棱台的体积，得到棱台的体积公式为
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高（指两底面之间的距离）.
课堂探究
思考7 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
结论：
课堂探究
【典例分析】
例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01 m3）？
解：由题意知 ；
；
所以这个漏斗的容积 .
课堂探究
跟踪训练2
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
课堂探究
解析：由V三棱锥A1-D1EF=V三棱锥F-A1D1E,
∵S△A1D1E=EA1.A1D1=
又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a，
∴ V三棱锥A1-D1EF=V三棱锥F-A1D1E= a× a2= a3
【名师解惑】
1.公式法：直接代入公式求解（柱锥台体积公式）；
2.等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；
3.补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补:成棱柱，三棱柱补成四棱柱等；
4.分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
课堂探究
1. 若一个长方体的三个面的面积分别为 则这个长方体的体积为( )
A．6 B． C．3 D．2
B
评价反馈
2. 若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E 为 BC 上一点，则三棱锥B1－AC1E的体积为（ ）
A． B． C． D．
D
评价反馈
3. 若正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为 ，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为（ ）
A．S1 > S2 B．S1 < S2
C．S1 = S2 D．以上都不是
A
评价反馈
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积及侧面积求法.
（2）棱柱、棱锥、棱台的体积公式及应用.
课堂小结
总结归纳
必做题：教材第119页习题8.3第1-3题.
选做题：完成学案后的核心素养专练.
布置作业
谢谢大家