第八章 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第八章 立体几何初步
数学
学习目标
①掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式．
②能解决与圆柱、圆锥、圆台、球的表面积、体积相关的问题．
学习重难点
重点：
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式．
难点：
解决与圆柱、圆锥、圆台、球相关的实际问题．
在前面的学习中,我们学习了棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积与体积的求法.今天我们将继续研究另一类空间几何体——圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积.
课堂导入
课堂探究
【问题探究】类比多面体的表面积求法，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形？
结论：如图，圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；圆台的侧面展开图是扇环.
探究一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
思考1 我们已经学习过圆柱、圆锥的体积公式，请同学们将公式写出来，并结合圆锥与圆台之间的关系，尝试推导出圆台的体积公式？
结论：V圆柱 = πr2h，r是底面半径，h 是高；
V圆锥 = πr2h，r是底面半径，h 是高；
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式： ，其中r，r′ 分别为上、下底面半径，h为圆台的高.
课堂探究
思考2 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
结论：V柱体 = S·h（S 为底面积，h 为柱体高）；
V锥体 = S·h（为底面积，h为锥体高）；
（S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高）.
课堂探究
思考2 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
结论：当S′ = S 时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′ = 0 时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式，如图所示：
课堂探究
思考3 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
结论：如图所示.
课堂探究
球的表面积：设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数. 事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是S球 = 4πR2.
课堂探究
探究二　球的表面积和体积
思考4 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
结论：利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积.如图，把球O的表面分成 n 个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成 n 个“小锥体”.
课堂探究
思考4 在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
当n 越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平. “小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是 .
由于球的体积就是这n 个“小锥体”的体积之和，而这n 个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积
课堂探究
【典例分析】
例1 如图， 某种浮标由两个半球和一个圈柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料 (π取3. 14)
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.847 8( )
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
（kg）
课堂探究
跟踪训练1
若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A. B. C. D.
解析：设底面圆半径为r，母线长为h，则h＝2πr，则
故答案为A.
A
课堂探究
【名师解惑】
旋转体的侧面积与表面积求法：
（1）对于旋转体的侧面积求解，主要思想还是将空间问题平面化，将旋转体侧面展开，进而求解；
（2）对于圆台的表面积求解，一定要注意到圆台与圆锥之间的关系；
（3）在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长.
课堂探究
【典例分析】
例2 如图， 圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，
因为 ,
所以 .
，
课堂探究
跟踪训练2
若长方体ABCD - A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________ ．
解析：由已知，球O是长方体的外接球，设球O半径为R，则长方体的对角线的长就是球O的直径，
所以 ，即 ，
所以 S球=4πR2=14π．
课堂探究
【名师解惑】
常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等.
②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
课堂探究
1.若四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB = ，AC=2，AD=3，则球O 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
B
评价反馈
2. 若一个圆锥的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，该圆锥的底面半径为 ，高为6，则球O 的表面积为（ ）
A．32π B．48π C．64π D．80π
C
3.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为π 的扇形，则此圆锥的表面积为__4π____.
4.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8 kg（铁的密度是g/m3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10 mm，求这堆螺帽大约有多少个？
评价反馈
课堂小结
必做题：教材第120页习题8.3第4，5题.
选做题：完成学案后的核心素养专练.
布置作业
谢谢大家