第八章 8.4.1平面--人教A版高中数学必修第二册教学课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
8.4.1 平面
第八章 立体几何初步
数学
学习目标
①理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．
②能够借助于符号语言准确描述空间点、直线、平面之间的位置关系．
③掌握有关平面的三个基本事实和三个推论．
学习重难点
重点：
掌握有关平面的三个基本事实和三个推论．
难点：
用符号语言及图形语言表达空间点、直线、平面之间的位置关系;运用三个基本事实及三个推论解决问题．
课堂导入
前面我们初步认识了简单几何体的组成元素,知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素.我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系,从而得到了多面体的一些结构特征，如观察下图.为了进一步认识立体图形的结构特征,需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质,在此基础上,研究空间点、直线、平面之间的位置关系.
【问题探究】
在初中,我们已经对点和直线有了一定的认识,知道它们都是由现实事物抽象得到的.生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉,如课桌面、黑板面、平静的水面等.那么在几何中,怎么描述平面
结论：几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的概念. 类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的.
课堂探究
思考1 回想直线的表示法及画法，我们可以怎样表示平面，应该怎样画出平面？
结论：与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.如图所示，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向.
课堂探究
如图：
我们常用希腊字母 α，β，γ 等表示平面，如平面 α、平面 β、平面 γ 等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如上图中的平面 α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.
课堂探究
思考2 直线、平面都可以看成由无数个点构成的全体，因此我们可以将点作为元素，则直线、平面都是由点构成的集合，所以，我们可以借助于元素与集合关系的表示，来描述点、直线、与平面的关系，试着完成下面表格：
课堂探究
文字语言 符号语言 图形语言
点 A 在直线 l 上 A l
点 A 在直线 l 外 A l
点 A 在平面 α 内 A α
点 A 在平面 α 外 A α
直线 l 在平面 α 内 l α
直线 l 在平面 α 外 l α
直线 l ，m 相交于点 A
直线 l，平面 α 相交于点 A
平面 α，平面 β 相交于直线l
课堂探究
思考3 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机；由这些事实和类似经验说明什么？
结论：基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.可以简记为：不共线的三点确定一个平面.
课堂探究
思考4 在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上. 这里面蕴含怎样的几何关系？
结论：上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
课堂探究
思考5 试着给出基本事实2的图形表示及符号表示？
结论：图形表示如图.
符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α.
课堂探究
思考6 如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B 结合直线的无线延伸和平面的无限延展性，解释为什么
结论：基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
课堂探究
思考7 试着给出基本事实3的图形表示及符号表示？
结论：图形表示如图.
符号表示：P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l；
课堂探究
【探究应用】
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
用图形表示出上面三个推论：
课堂探究
【典例分析】
例1 请用数学符号表示以下点 直线 平面间的关系：
（1）点A，B 在直线 a 上：_________，___________.
（2）直线 a 在平面α上：_________；点C 在平面α上：_________.
（3）点O 不在平面α上：___________.
课堂探究
跟踪训练1
用符号表示下列关系，并画出相应的图形：
（1）点 A在直线 a上，直线 a 在平面 α 内；
（2）直线 a 经过平面 α 外的一点 A；
（3）直线 a 既在平面 α 内，又在平面 β 内．
课堂探究
【名师解惑】
三种语言表示方法的转换:
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号选取,如点与直线、点与平面之间的关系只能用“∈”或“ ”表示,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”表示.
课堂探究
【典例分析】
例2 在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ， DB的延长线交于点N，RP， DC的延长线交于点K. 求证：M，N，K三点共线.
课堂探究
证明 因为M∈PQ,直线PQ 平面PQR,M∈BC,直线BC
平面BCD,
所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即点M在平
面PQR与平面BCD的交线l上.
同理可证,点N,K也在直线l上.
所以,M,N,K三点共线.
跟踪训练2
如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
课堂探究
证明 方法1:∵l1∩l2=A,
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2.
∵l2 α,∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3,C∈l3,∴l3 α.
∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法2:∵l1∩l2=A,
∴l1,l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2 α,∴A∈α.
∵A∈l2,l2 β,∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
【名师解惑】
（1）证明多点共线问题，很多时候会用到基本事实3，利用交线的唯一性，通过证明这些点分别在两个平面内，所以点在相交平面的交线上；也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
（2）证明多线共面时，常见的有两种处理方式：
①纳入法：先由其中两条直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.
②同一法：先利用部分直线确定一个平面，再利用另外的直线确定另一个平面，最后证明这两个平面重合，即证得所有直线在同一个平面内.
课堂探究
1.下列命题正确的是（ ）.
A. 三点确定一个平面
B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 圆心和圆上两点可确定一个平面
D. 梯形可确定一个平面
解析：由基本事实1可知A项、C 项错误；由推论1可知 B 项错误；借助于推论3，由于梯形的上底下底互相平行，故可以确定一个平面，故 D 正确.
D
课堂练习
2. 判断下列命题是否正确.
（1）书桌面是平面.
（2）平面 α 与平面 β 相交，它们只有有限个公共点.
（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.
解：（1）因为平面是可以无限延展的，因此书桌面只是书桌面所在平面的一部分，故说法是错误的；
（2）由基本事实3可知，若两个平面相交，则必有一条公共直线，即交线，交线上的点都是这两个平面的公共点，故说法错误；
（3）由基本事实1可知，该说法是正确的.
评价反馈
3.不共面的四点可以确定几个平面 请画出图形说明你的结论.
解：4个，如图，三棱锥A-BCD中，A，B，C，D四点不共面，所确定的平面有平面ABC，平面ABD，平面ACD，平面BCD.
评价反馈
4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形:
（1）点A在平面 α 内，点B在平面 α 外；
（2）直线 a 既在平面 α 内，又在平面 β 内．
解：（1）A∈α，B α，如图①.
（2）a α且a β ，如图②.
评价反馈
（1）平面的表示及画法；
（2）平面的特征：无厚度，可以无限延展；
（3）三个基本事实及三个推论的内容及符号表示，图形表示.
课堂小结
必做题：教材第128页练习1-3题.
选做题：完成学案的核心素养专练.
布置作业
谢谢大家